2矩陣典型習(xí)題解析

1、2 矩陣矩陣是學(xué)好線性代數(shù)這門課程的基礎(chǔ)， 而對(duì)于初學(xué)者來講， 對(duì)于矩陣的理解 是尤為的重要； 許多學(xué)生在最初的學(xué)習(xí)過程中感覺矩陣很難， 這也是因?yàn)閷?duì)矩陣 所表示的內(nèi)涵模糊的緣故。 其實(shí)當(dāng)我們把矩陣與我們的實(shí)際生產(chǎn)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)相聯(lián)系 的時(shí)候，我們才會(huì)發(fā)現(xiàn)， 原來用矩陣來表示這些 “繁瑣”的事物來是多么的奇妙 ！ 于是當(dāng)我們對(duì)矩陣產(chǎn)生無比的興奮時(shí)，那么一切問題都會(huì)變得那么的簡單 !知識(shí)要點(diǎn)解析2.1.1 矩陣的概念1矩陣的定義由mKn個(gè)數(shù)aij （i 1,2,m; j 1,2,n）組成的m行n列的矩形數(shù)表a11a12a1nAa21a22a2nAam1am2amn稱為mKn矩陣，記為A （aj）mn2

2、特殊矩陣（1）方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣；（2）上（下）三角陣：主對(duì)角線以下 （上）的元素全為零的方陣稱為上 （下）三角陣；（3）對(duì)角陣：主對(duì)角線以外的元素全為零的方陣；（4）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上元素相同的對(duì)角陣；（5） 單位矩陣：主對(duì)角線上元素全是1 的對(duì)角陣，記為 E；（6）零矩陣：元素全為零的矩陣。3矩陣的相等設(shè) A （aij ） mn;B （bij ）mn若 aj bj(i 1,2, ,m;j 1,2, , n)，則稱 A 與 B 相等，記為 A=Bo2.1.2 矩陣的運(yùn)算1加法(1)定義：設(shè) A (Aj)mn，B (bj)mn，則 C A B j bj ) mn( 2 )運(yùn)算規(guī)律 A

3、+B=B+A匚 A+B) +C=A+ (B+C)A+O=AA+ (-A) =0, 是A的負(fù)矩陣2數(shù)與矩陣的乘法(1) 定義：設(shè) A (aj)mn，k 為常數(shù)，則 kA (kaj)mn(2) 運(yùn)算規(guī)律 K(A+B)=KA+KB (K+LA=KA+LA (KL)A=K(LA) 3矩陣的乘法(1)定義：設(shè) A (aj )mn，B (bj)np.則nAB C (Cij )mp, 其中 Cijaikbkjk1( 2)運(yùn)算規(guī)律 (AB)C A(BC)； A(BC)AB AC(B C)ABACA3)方陣的冪定義： A(aij)n，則 AkAKA運(yùn)算規(guī)律：AmAn Amn?(Am)nA(4)矩陣乘法與冪運(yùn)算與

4、數(shù)的運(yùn)算不同之處。 AB BA AB 0, 不能推出 A 0或 B 0;(AB)k Ak Bk4矩陣的轉(zhuǎn)置(1) 定義：設(shè)矩陣A=(aj)mn，將A的行與列的元素位置交換，稱為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置，記為 AT (aji )nm，( 2)運(yùn)算規(guī)律(At)t A;(A B)t At Bt ；(kA)T KAt;(AB)t Bt At。3)對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣若At A,則稱A為對(duì)稱陣；AtA，則稱A為反對(duì)稱陣。5.逆矩陣(1) 定義：設(shè)A為n階方陣，若存在一個(gè)n階方陣B,使得AB=BA=E則稱A為可逆陣，B為A的逆矩陣，記作B A 1。(2) A可逆的元素條件：A可逆 A 0(3) 可逆陣的性質(zhì) 若A

5、可逆，則A-1也可逆，且(A-1)-1=A; 若A可逆，山0,則kA可逆，且(kA)1-A 1;k 若A可逆，則AT也可逆，且(At) 1 (A 1)T ; 若A，B均可逆，則AB也可逆，且(AB) 1 B 1A 1。(4) 伴隨矩陣 定義：A* (A)：，其中Aij為a.j的代數(shù)余子式， 性質(zhì)：i) AA* A*A |AE ;ii) A*|;* * I n 2iii) (A ) A A ;iv) 若A可逆，則A*也可逆，且(A*) 1 (A1)*1 AIA 用伴隨矩陣求逆矩陣公式：A 1丄A*IA2.1.3方陣的行列式1. 定義：由n階方陣A的元素構(gòu)成的n階行列式(各元素的位置不變)叫做方陣

6、A的行列式，記為A或detA。2. 性質(zhì)：(1) AT| A，(2) kA knA，(3) AB AB，(4) A1 占3 特殊矩陣的行列式及逆矩陣2.1.單位陣E: E（2）數(shù)量矩陣對(duì)角陣:1；kE：kEkn;當(dāng) k0 時(shí),（kE）1 -E k4.上（下）三角陣a11a22a11a22a nnann若A 0，則A1仍為上（下）三角陣矩陣的初等變換與初等矩陣1 矩陣的初等變換（1）定義：以下三種變換 交換兩行（列）；k； 某行（列）乘一個(gè)不為零的常數(shù) 某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，稱為矩陣的初等變換。2初等矩陣（1）定義：將n階單位陣E進(jìn)行一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣;交換i ,

7、j兩行（列），記為E（i, j）；第i行（列）乘以不為零的常數(shù)k記為E（i（k）；第j行的k倍加到第i行上去，記為E（j（k）i；(2) 初等矩陣的性質(zhì)初等陣是可逆陣，且逆陣仍為同型的初等陣；而E(ij)1 E(ij) E(i(k) 1 E(i 1 )kE(j(k)i) 1 Ej( k)i(3) 方陣A可逆與初等陣的關(guān)系若方陣A可逆，則存在有限個(gè)初等陣R,P2, ,R，使A RP2 Pt，(4) 初等陣的行列式E(ij) 1,E(i(k) k, E(j(k)i) 1(5) 初等陣的作用：對(duì)矩陣A進(jìn)行一次初等行(列)變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的初等陣左(右)乘矩陣A，且E(ij)A |A, |E(i(k

8、)A kA, |E(j(k)i) |A3 矩陣的等價(jià)(1) 定義：若矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變到矩陣 B,則稱A與B等價(jià),(2) A與B等價(jià)的三種等價(jià)說法， A經(jīng)過一系列初等變換變到B; 存在一些初等陣 巳，也,片，,Ft，使得EsE1AF1 Ft B 存在可逆陣P，Q,使得PAQ=B2.1.5分塊矩陣1 分塊矩陣的定義以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。2分塊矩陣的運(yùn)算(1)設(shè)A，B為同型矩陣，米用相同的分法有AnA1tB11B21Bs1B1tB2tBstAA21A2tA.As1AstB則A B(AjBij)(i 1,2,s; j 1,2,t)(2)kA(kAj)(i1,2,s; j 1

9、,2,t)(3)設(shè)A(aij ) mn , B(bij ) np,分塊成A11A1tB11B1rABAs1AstBt1Btr其中Ai,A2,Ait的列數(shù)分別等于Bij,B2j,Btj的行數(shù)，則tAB C(Cij)sr，其中 CijAikBkj(i 1,2,3, s; j 1,2, r)k 13 準(zhǔn)對(duì)角陣(1)定義：形如AA為ni階方陣的矩陣稱為準(zhǔn)對(duì)角陣。A2(2)準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式及逆矩陣A2Ai A? I As ;若每個(gè)Ai可逆，則As逆，且A11A?1(3) 特殊的準(zhǔn)對(duì)角陣A2若A1, A2可逆，則A 1A1A21(ii) AA2，若A1, A2可逆，則A 1A?1(iii) A是 B 0,

10、C0,則 A |B|CA1A1B 1DC 1C1(iv)AC，B0, C0，則A1BC 1DB 1經(jīng)典題型解析2.2.1矩陣的運(yùn)算1、若 2L 1L1L bL 21L 22L 13Lc111則c=解：由 4 1 a 5得a=0, c11 =4而-1+2b+6=-1 得 b=-3, C22 =-7從而c =提示：對(duì)于最基本的矩陣的四則運(yùn)算我們一定要爛熟于心12、設(shè)A為三階矩陣，且A 4,則（2A2 一-解：Ca)2-A2JgA21 12444易錯(cuò)提示：本題是道特別基本的有關(guān)矩陣基本性質(zhì)的類型題，考生易犯的錯(cuò) 誤就是對(duì)矩陣進(jìn)行行列式計(jì)算時(shí)，把（1 A）2的階數(shù)給忘記計(jì)算。3、設(shè) A 為 3 3 矩

11、陣，B 為 4 4,且 A 1, |b2,則 | B A _.解：Il B A b|3|a2g 8.易錯(cuò)題示：本題同上，但還應(yīng)值得我們注意的是，在計(jì)算時(shí)| B A B| A 2 3gl2是我們常犯的錯(cuò)誤4、設(shè) A 1L 2L 3，B1L 1L 1 ,則atb k解：ATB * AtB g AtBAtBAt(BAt)(BAt) (BAt)B11L 1L 16k1 2 1L 1L 6k 1 2L 2L 233L 3L 31易錯(cuò)提示：本題關(guān)鍵是要求我們注意到 AT B是矩陣，但BAt= 1L 1L 1 2 =63卻是數(shù),1L 1L 1則計(jì)算式相當(dāng)繁瑣的1L 1L 1i1L 0L 13L 3L 33L

12、 3L 35、設(shè)A0L 1L 0 ，求A n.0L 0L 1解：方法一：數(shù)學(xué)歸納法.1L 0L 11L 0L 2因?yàn)锳0L 1L 0 ， A2AgA 0L 1L 0 ，0L 0L 10L 0L 1倘若先計(jì)算A B2L 2L 2，然后再求 2L 2L 21L 0L 332A A gA 0L 1L 0 ，0L 0L 11L 0L n 1一般的，設(shè) An-10L 1L 0，0L 0L 11L 0L n 1 1L 0L 11L 0L n則 An An 1gA0L 1L 0 0L 1L 00L 1L 00L 0L 10L 0L 10L 0L 11L 0L n所以，有歸納法知A 0L 1L 0 。0L 0

13、L 164個(gè) A8方法二：因?yàn)锳是初等矩陣，A EgAgA A，相當(dāng)于對(duì)單位矩陣1L 0L 0E= 0L 1L 0，施行了 n次初等列變換（把第一列加到第三列），故0L 0L 11L 0L nAn0L 1L 0 o0L 0L 1方法三：利用對(duì)角矩陣和主對(duì)角線上為零的上三角矩陣幕的特點(diǎn)來進(jìn)行計(jì)算。1L 0L 11L 0L 00L 0L 1令 A= 0L 1L 00L 1L 00L 0L 00L 0L 10L 0L 10L 0L 0E B，0L 0L 1其中 B 0L 0L 0 ，0L 0L 00L0L 10L 0L 10L 0L 0又因?yàn)锽20L0L 00L 0L 00L 0L 00L0L 00

14、L 0L 00L 0L 01L 0L n，所以BkO(k 2)。故有 An En ngEn1B E nB0L 1L 0 .0L 0L 1提示：除上述方法外，本題還可以與后面的特征值聯(lián)系起來計(jì)算,方法也算不少,讀者只需選擇一種或幾種適合自己的且快捷簡便的方法為宜。86，求 A100 2A50 o53L 0L 8解：A的特征多項(xiàng)式f()3L 1L 62L 0L 5(1)(1)2，若設(shè) g( )= 1002 50，那么所求 A100 2A50 g(A),而 dgL_)100100 49,d由代數(shù)學(xué)中的整除性質(zhì)，q( ),st g( )=q( )f( ) a 2 b c,-1 =1 100-2 150

15、=g(1)=q(1) f(1) a b c a b c,-1 = (-1 )100 2(-1 ) 50 q(-1) f( 1) a b c a b c, 0=-100+100=- (1)2a b,d解之得：a=b=0,c=-1。所以，g( )=q()f( ) 1，從而 a100 2A50g(A)=q( A) f (A) E E。點(diǎn)評(píng)：本題可謂是到綜合性極強(qiáng)的一道題，對(duì)于解這種類型題時(shí)，讀者除需要掌握牢固扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還應(yīng)具備真正能夠做到各知識(shí)點(diǎn)前后相連， 融會(huì)貫通的能力。所以，我們平時(shí)學(xué)習(xí)是應(yīng)該養(yǎng)成多動(dòng)腦，勤思考，?？偨Y(jié)得好習(xí) 慣。，求An7、設(shè)A0 013B 0解：由分塊矩陣知A 0 C

16、，其中BAnBn 00 Cn2E PBn 2E P n (2E)n n(2E)n1P 2n n 2n102n3939而1 3的秩為1有1 3n1 391 3n從而Ann 2n 1002n0003 6n 19 6n 1J 1n 1063 62n0002.2.2矩陣的逆（逆矩陣）及其運(yùn)用1、設(shè)A為三階方陣,A為A的伴隨矩陣，A1，計(jì)算（?-1 8A*解：因?yàn)閍* AA1 1a1，所以1 -1*tA1 8A33A 1A 1 2A 12rA64。易錯(cuò)提示：切記將2提出時(shí)應(yīng)為2k，其中k為該矩陣的階數(shù)。-12、已知矩陣A滿足關(guān)系式A2 2A 3E O，求A 4E 。解：因?yàn)? A22A3E A+4EA-

17、2E+8E-3 E21A4EA-2E5EA4E E-A E，55-i2 1A 4EE A.55思路提示：遇到有關(guān)此類問題時(shí)，我們首先應(yīng)想到的是把所求問題的因式給分 解出來，那么問題就會(huì)變得容易多了。3、設(shè)n階可逆矩陣A i, 2, n ， i為n維列向量（i=1,2,-n）,為n維非零列向量，且與1, 2, n i均正交，則B 1, 2, n1, 可逆。解：要證明矩陣B可逆，我們這里只需要證明向量組1, 2, n1,線性無關(guān)即可。為此，我們令：k1 1 k2 2kn 1 n 1 kn0，兩邊同乘以T，即Tk1 T 1k22Tkn 1n1kn T0，0，(i=1,2，n-1)kn T我們可以得出

18、 kn0，那么即得：k1又QA是可逆矩陣,12n 1 線性無關(guān)。從而我們有 k1=k2 =kn =0,即證明了線性無關(guān),是可逆矩陣。同時(shí)也就說明了矩陣思路提示 ：對(duì)于這某矩陣時(shí)可逆矩陣的方法也算不少， 這里我們不妨預(yù)先前所熟悉的線性方程組來建立聯(lián)系。 這就要求我們對(duì)與矩陣與線性方程組建的關(guān)系要特別的熟悉與掌握,這對(duì)于今后解線性方程組也會(huì)只很有幫助的。事實(shí)上,對(duì)于m n矩陣A，我們可以把其每一列看作一列向量(記為12n )，則A=(可逆 向量組線性無關(guān)。4、設(shè)A為n階實(shí)矩陣，若A+At為正定矩陣，則A 為可逆矩陣。)，這就很形象的轉(zhuǎn)化為線性方程組問題了， 而A=(證明：用反證法假設(shè) A 為不可逆

19、矩陣，則 n 維列向量 X00，使得 AX00，而對(duì)于 X 0(A+A )X 0 X 0 AX0 X 0TAT X0 X0T( AX 0)(AX0)TX0=X0T0 0TX00，從而我們知存在 X0 0，使得 X0(T A AT)X0 0 ，但這與A+At為正定矩陣相矛盾，從而假設(shè)不成立,這也就說明了 A 為可逆矩陣點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些證明題，當(dāng)我們感覺無處下手之時(shí)，不妨嘗試一下反證法，很多時(shí)候反證法也未嘗不是條光明道路。對(duì)于如何說明矩陣A是正定矩陣,我們應(yīng)掌握以下幾個(gè)等價(jià)定理：(1) 定義法(最基本，也較常用，本題就是利用次方法來證明出矛盾來的 的)；(2) 來說明A的所有特征值全部都大于零；(3

20、) 來說明A的所有順序主子式都大于零(這種方法再給出具體的矩陣表 達(dá)形式時(shí)較常用)；(4) 存在可逆矩陣P，使得A=PTP；KT1Q，使得 QAQ Q AQ= M O 0 L(5) 存在正交矩陣S，使得A=S;0(6)存在正交矩陣M ， i 0(i1,2, n)n225、已知二次型 f (Xi，x 2，x 3) 4x2 3x342 4x1X3 8X2X3，(1)寫出該二次型的矩陣表達(dá)式;(2)用正交矩陣的方法把該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)性，并寫出對(duì)應(yīng)的正交矩陣。解:(1)f的矩陣表達(dá)式為f (x1, X2, X3) (X1, X2, x3)X2 ；X3(2)由(1)得知該二次型的矩陣為A的特征方程為1)(6)( 6)=0，由此可得出A的特征值:1， 26,6，對(duì)應(yīng)的特征向量為對(duì)應(yīng)的單位特征向量為:因此可得正交矩陣Q !1= 0 ， 2 =5，3=1。1221