高考數(shù)學(xué)難點突破難點28求空間距離

1、難點28求空間距離空間中距離的求法是歷年高考考查的重點，其中以點與點、點到線、點到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距離.難點磁場()如圖，已知 abcd 是矩形，ab=a,ad=b,pa，平面 abcd , pa=2c,q 是 pa 的 中占 . i ef |2a 0)2(2)oe (0,2 22a a)2 (0422a),of (a, a,0)44a)2%, ef 42oe of 0 ,a 42. 2. 2(ta)(ta) 7a 0求：(1)q到bd的距離；(2)p到平面bqd的距離.案例探究例1把正方形abcd沿對角線ac折起成直二面角，點 e、f分別是ad、bc的中 點，點

2、o是原正方形的中心，求：(1)ef的長；(2)折起后/ eof的大小.命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運算來解決立體幾 何問題，屬*級題目.知識依托：空間向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積公式錯解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)系.其中必須保證x軸、y軸、z軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種，其中以。點為原點，以ob、oc、od的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向最為簡單.解：如圖，以o點為原點建立空間直角坐標(biāo)系oxyz,設(shè)正方形abcd邊長為a,則a(0,2、22a, a),f( a, a,0)2. 2 八 .222a,0),b( a,0,0),c(0, - a,0),d(0,0, a),e(0,-

3、|oe| a，|of | oe ofcos oe,of；|oe |of | ./ eof=120例2正方體abcdaibicidi的棱長為1,求異面直線 aici與abi間的距離.命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬*級題目知識依托：求異面直線的距離， 可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離，或面面距離，亦可由最值法求得 .錯解分析：本題容易錯誤認(rèn)為oib是aic與abi的距離，這主要是對異面直線定義不熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距離技巧與方法：求異面直線的距離，有時較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想， 轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求得

4、.解法一：如圖，連結(jié) aci,在正方體 aci 中，aici /ac,，aici/平面 abic, /. a1c1 與平面abic間的距離等于異面直線 aici與abi間的距離.連結(jié) bidi、bd,設(shè) bidin aici=oi,bdaac=o. acxbd, acxddi, . . ac,平面 bbidid 平面 abic,平面 bbidid,連結(jié) bio,則平面 abica平面 bbidid=bio作 oigbio 于 g,則 oigl平面 abicoig為直線aici與平面abic間的距離，即為異面直線aici與abi間的距離.在 rtaooibi 中，. oibi=22 , ooi=

5、i，.二 obi=ooi2 oib；=近22 .oig=oi oibi e3,即異面直線aici與abi間距離為w3 .obi33解法二：如圖，在aic上任取一點 m,作mnabi于n,作mraibi于r,連結(jié)rn,.平面 aibicidi,平面 aiabbi,，mr，平面 aiabbi, mrxabi abi rn,設(shè) air=x，則 rbi=i x- / ciaibi= z abiai=45 ,2mn mr2 rn2. x2 ；(i x)2mr=x,rn=nbi= (i x)3/i、2i、-(x-)-(0xi)233當(dāng)x=:時，mn有最小值上3即異面直線aici與abi距離為 333錦囊妙

6、記空間中的距離主要指以下七種：(1)兩點之間的距離.(2)點到直線的距離.(3)點到平面的距離.(4)兩條平行線間的距離.(5)兩條異面直線間的距離.(6)平面的平行直線與平面之間的距離.(7)兩個平行平面之間的距離 .七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點到平面的距離在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離

7、.(3)體積法.求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的.殲滅難點訓(xùn)練一、選擇題面角1.()正方形abcd邊長為2, e、f分別是ab和cd的中點，將正方形沿 ef (如圖)，m為矩形aefd內(nèi)一點，如果/ mbe=/mbc, mb和平面bcf所成角的正切值為1,，八一一，-,那么點m到直線ef的距離為()2222 .()三棱柱 abca1b1c1 中，aa1=1, ab=4, bc=3 , /abc=90，設(shè)平面 a1bc1 與平面abc的交線為l ,則a1c1與l的距

8、離為()a. ,10b. .11c.2.6d.2.4二、填空題3 .(* )如左下圖，空間四點a、b、c、d中，每兩點所連線段的長都等于a,動點p在線段ab上，動點q在線段cd上，則p與q的最短距離為 .4 .()如右上圖，abcd與abef均是正方形，如果二面角e-ab-c的度數(shù)為30 ,那么 ef與平面 abcd的距離為 .三、解答題5 .(* )在長方體 abcdaibicidi 中，ab=4, bc=3, cci=2,如圖:(1)求證：平面 aibci/平面 acdi;(2)求(1)中兩個平行平面間的距離；求點bi到平面aibci的距離.6 .(* )已知正四棱柱 abcdaibici

9、di,點e在棱did上, 截面eac/dib且面eac與底面abcd所成的角為45 ,ab=a，求：截面eac的面積；(2)異面直線aibi與ac之間的距離；(3)三棱錐bi-eac的體積.7 .()如圖，已知三棱柱 aibici-abc的底面是邊長為 2的 正三角形，側(cè)棱 aia與ab、ac均成45角，且 aiexbib于e, aif ，cci 于 f.求點a到平面bibcci的距離；(2)當(dāng)aai多長時，點 ai到平面abc與平面bibcci的距離相等.6 .()如圖，在梯形 abcd 中，ad/bc, z abc= ,ab= - ad = a,23,paw abcd 且 pa=a.2 l

10、/ adc =arccos , 5 5(i)求異面直線 ad與pc間的距離；6(2)在線段ad上是否存在一點f,使點a到平面pcf的距離為參考答案難點磁場e為垂足解：(i)在矩形 abcd中，作 aexbd ,連結(jié)qe,qa，平面abcd,由三垂線定理得 qexbeqe的長為q到bd的距離在矩形 abcd 中，ab=a,ad=b,ab, a2 b2，一， 一 1在 rtqae 中，qa=-pa=cqe= , c22. 2a b2-2a b2.2距離為2a bc2. 2 .a b(2)解法一：二平面 bqd經(jīng)過線段pa的中點，p到平面bqd的距離等于 a到平面bqd的距離在4aqe中，作 ahx

11、qe, h為垂足. bd，ae,bd，qe,.bd，平面 aqe . bdlah. ahl平面 bqe,即ah為a到平面 bqd的距離.ab在 rtaaqe 中，aq=c,ae=2.2a b. ah=abc,2 .2. 22. 2,(a b )c a bp到平面bd的距離為abc/ 22、22.2,(a b )c a b解法二：設(shè)點 a到平面qbd的距離為h,由va-bqd=vq-abd,得-s；a bqd h= - saabd aq 33s abd aqabch=sbqd.(a2 b2)c2 a2b2殲滅難點訓(xùn)練一、1.解析：過點 m作mm ef,則mm ，平面bcf. / mbe=z mb

12、c.bm為/ ebc為角平分線,/ebm =45 ,bm = 72，從而 mn = 答案：a2.解析：交線l過b與ac平行，作cdl 于d,連cid,則cid為aici與l的距離, 而cd等于ac上的高，即cd = 12,rhc1cd中易求得cid= 13=2.6答案：c二、3.解析：以a、b、c、d為頂點的四邊形為空間四邊形，且為正四面體，取p、q2分別為ab、cd的中點，因為 aq=bq=a,，pqab,同理可得pqxcd,故線段pq的長為p、q兩點間的最短距離，在rta apq中，pq=：aq2 ap2號a)2 (歹答案：a24.解析：顯然/ fad是二面角eab c的平面角，z fad

13、=30 于g,則g必在 ad上，由ef /平面abcd .，過f作fg，平面abcdafg為ef與平面abcd的距離，即fg=-2答案：a2三、5.(i)證明：由于 bci/adi,貝u bci/平面 acdi 同理，aib/平面acdi,則平面 aibci/平面acdi(2)解：設(shè)兩平行平面 aibci與acdi間的距離為d,則d等于di到平面aibci的距離.易求 aici=5, aib=2 %5 , bci= y1,則 cosaibci=，貝u sinaibci=，貝u s aiblci = v 6i ,i. i ii2,6i由于vdi abci vb acidi ,則1s abci d

14、=w4八口戶。) bbi,代入求得d = 一:，即兩平 33 26 1r行平面間的距離為12烏.6i(3)解：由于線段bidi被平面aibci所平分，則bi、di到平面aibci的距離相等，則由(2)知點bi到平面aibci的距離等于6.解：(i)連結(jié)db交ac于o,底面abcd是正方形 doxac,又 edw abcd eoxac,即/ eod=45i2._6i.6i連結(jié)eo,2又 do = -a(2)aia，底面 abcd,do, 2=a,&eac= acos452 aiaxac,又 aiaxaibi1 aia是異面直線 aibi與ac間的公垂線又 eo/bdi,。為 bd 中點，dib=

15、2eo=2a-did=2 a,小曲與ac距離為v2 a連結(jié)bid交dib于p,交eo于q,推證出 bid! eac一一 八一3，biq是三棱錐 bieac的圖，得 biq=2a、,i 2 2 32 3vbi eac 3 -a -a-a7 .解：(i) / bbixaie, ccixaif, bb1/cc1，bbi,平面 aief即面 aief，面 bbicic在 rtmiebi 中, /aibie=45 , aibi=a2口, 22 aie= a,同理 aif=a,又 ef=a, . . aie= a222-2同理 aif= a,又 ef=a2 . eaif為等腰直角三角形，/ eaif=90

16、過ai作ainef,則 n為ef中點，且 ain,平面bccibi即ain為點ai到平面bccibi的距離ain= a22a又,aai/面bccib, a到平面bccibi的距離為 一2，a=2, 所求距離為2(2)設(shè)bc、bici的中點分別為 d、di,連結(jié)ad、ddi和aidi,則dd i必過點n,易證 add iai為平行四邊形.bicidid,biciainbici,平面 addiai bc，平面 add 1al得平面abc,平面add iai,過ai作aiml平面abc,交ad于m ,若 aim=ain,又 / aiam = /aidin, z amai = z aindi=90 .

17、 amaia aindi,，aai=aidi= j3,即當(dāng) aai=73 時滿足條件.8 .解：(i) / bc / ad,bc 面 pbc,，ad/面 pbc從而ad與pc間的距離就是直線 ad與平面pbc間的距離.過 a 作 aepb,又 ae bc.ael平面 pbc, ae為所求.在等腰直角三角形 pab中，pa=ab=a.22-ae= a2 _(2)作 cm /ab,由已知 cosadc=gj5tanadc=,即 cm= - dm 22abcm 為正方形，ac= v,2 a,pc= j3 a6過 a 作 ah，pc,在 rtafac 中，得 ah= 3下面在ad上找一點f,使pccf

18、取md中點f, acm、 fcm均為等腰直角三角形 ./acm+/fcm =45 +45 =90fc，ac,即fc，pc.在ad上存在滿足條件的點f.學(xué)法指導(dǎo)立體幾何中的策略思想及方法立體幾何中的策略思想及方法近年來，高考對立體幾何的考查仍然注重于空間觀點的建立和空間想象能力的培養(yǎng).題目起點低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地.大題綜合性強，有幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系 . 因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語言的基礎(chǔ)上， 以總結(jié)空間線面關(guān)系在幾何體中的確定方法入手， 突出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題的有效的策略思想及方法.一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變.運用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類比，函數(shù)觀點仍是考查中心，選擇好典型例題， 在基本數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下， 歸納一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過熟練運用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗，解決一般基本數(shù)學(xué)問題就會自然流暢 .二、探尋立體幾何圖形中的基面立體幾何圖形必須借助面的襯托