高考數(shù)學(xué)圓錐曲線專題復(fù)習(xí)

1、圓錐曲線一、知識(shí)結(jié)構(gòu)1.方程的曲線在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線c(看作適合某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線.點(diǎn)與曲線的關(guān)系若曲線c的方程是f(x,y)=0 ，則點(diǎn)p0(x 0,y 0)在曲線c上 f(x。/ 0)=0 ;點(diǎn) p0(x0,y 0)不在曲線 c上 f(x 0,y 0) wo兩條曲線的交點(diǎn)若曲線g, g的方程分別為fi(x,y)=0,f 2(x,y)=0,則fi(x 0,y 0)=0r點(diǎn)p0(

2、x0,y0)是ci, c2的交點(diǎn)f 2(x 0,y 0) =0方程組有n個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，兩條曲線就有 n個(gè)不同的交點(diǎn)；方程組沒有實(shí)數(shù)解，曲線 就沒有交點(diǎn).-4 -2.圓圓的定義：點(diǎn)集：m| | om| 二r,其中定點(diǎn)。為圓心，定長(zhǎng)r為半徑.圓的方程:(1)標(biāo)準(zhǔn)方程圓心在c(a,b),半徑為r的圓方程是(x-a) 2+(y-b)2=12圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為 r的圓方程是x2+y2=r2(2) 一般方程當(dāng)d2+e2-4f 0時(shí)，一元二次方程x2+y2+dx+ey+f=0叫做圓的一般方程，圓心為心,一 1),半徑是也丁配方，將方程x2+y2+dx+ey+f=0 化為(x+ d)2+(y+ e)2=

3、22d2e2 -4f4.22當(dāng)d+e-4f=0時(shí)，萬程表布一個(gè)點(diǎn)u請(qǐng));當(dāng)d2+e2-4fv0時(shí)，方程不表示任何圖形點(diǎn)與圓的位置關(guān)系已知圓心c(a,b),半徑為r,點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x0,y 0),i mc| v r 點(diǎn)m在圓c內(nèi)，| mc| =r 點(diǎn)m在圓c上，| mc| r 其中 i mci =. (x-a)2 (y0-b)2.(3)直線和圓的位置關(guān)系直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相切有一個(gè)公共點(diǎn)直線與圓相離沒有公共點(diǎn)直線和圓的位置關(guān)系的判定(i)判別式法的大小關(guān)系來判aa bb c(ii) 利用圓心 c(a,b)到直線ax+by+c=0的距離d=,與半

4、徑r,a2b23.橢圓、雙曲線和拋物線基本知識(shí)曲質(zhì)橢圓雙曲線拋物線軌跡條件m | | mf | + | mf | =2a, | f1f2 | v 2am | | mf | - | mf | .= 2a, | f2f2 | 2a.m | mf| 二點(diǎn) m 到直線l的距離.圓形*71.1* i -b,j標(biāo)準(zhǔn)方程222- + 2-= =1(a b 0) a b222 - -2- =1(a 0,b 0) a by2=2px(p 0)頂點(diǎn)ai(-a,0),a2(a,0);bi(0,-b),b2(0,b)a(0,-a),a 2(0,a)o(0,0)軸對(duì)稱軸x=0,y=0長(zhǎng)軸長(zhǎng)：2a短軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸x=0

5、,y=0實(shí)軸長(zhǎng)：2a虛軸長(zhǎng)：2b對(duì)稱軸y=0住 日fi（-c,0）,f 2（c,0）焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸上fi（-c,0）,f2（c,0）焦點(diǎn)在實(shí)軸上f（ , 0） 2焦點(diǎn)對(duì)稱軸上焦距i f1f2 | =2c, c= ja2 - b2i f1f2 | =2c, c= ja2 b2準(zhǔn)線2. a x=c準(zhǔn)線垂直于長(zhǎng)軸，且在 橢圓外.2. a x=c準(zhǔn)線垂直于實(shí)軸，且在兩 頂點(diǎn)的內(nèi)側(cè).x=衛(wèi) x2準(zhǔn)線與焦點(diǎn)位于頂點(diǎn)兩側(cè)，且到頂點(diǎn)的距離相等.離心率e= c,0 e 1 ae=14 .圓錐曲線的統(tǒng)一定義平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)p(x,y)到一個(gè)定點(diǎn)f(c,0)的距離與到不通過這個(gè)定點(diǎn)的一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e(e

6、0),則動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中定點(diǎn)f(c,0)稱為焦點(diǎn)，定直線 l稱為準(zhǔn)線，正常數(shù) e稱為離心率.當(dāng)0vev1時(shí)，軌跡為橢圓，當(dāng) e=1時(shí)，軌跡為拋物線當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線5 .坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換在解析幾何中，把坐標(biāo)系的變換 (如改變坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置或坐標(biāo)軸的方向)叫做 坐標(biāo)變換.實(shí)施坐標(biāo)變換時(shí)，點(diǎn)的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改 變點(diǎn)的坐標(biāo)與曲線的方程.坐標(biāo)軸的平移坐標(biāo)軸的方向和長(zhǎng)度單位不改變，只改變?cè)c(diǎn)的位置，這種坐標(biāo)系的變換叫 做坐標(biāo)軸的平移，簡(jiǎn)稱移軸坐標(biāo)軸的平移公式 設(shè)平面內(nèi)任意一點(diǎn) m它在原坐標(biāo)系 xoy中的坐標(biāo)是9x,y),在新坐 標(biāo)系x o y中的坐標(biāo)是(x

7、 ,y ).設(shè)新坐標(biāo)系的原點(diǎn) o在原坐標(biāo)系 xoy中的坐標(biāo)是 (h,k),則x=x +hx =x -h(1) 或(2) 1 y=y +ky =y -k公式或(2)叫做平移(或移軸)公式.中心或頂點(diǎn)在(h,k)的圓錐曲線方程見下表.方程住 日焦線對(duì)稱軸橢圓(x -h)2 +(y-k)22.2ab( c+h,k)2x= +h cx=hy=k(x-h)2 +(y-k)2,22ba(h, c+k)2y= - +k cx=hy=k雙曲線22(x -h) (y - k) _12,2ab( c+h,k)2工a =+k cx=hy=k22(y-k)(x-h)2.2ab(h, c+h)y= +k cx=hy=k

8、拋物線(y-k) 2=2p(x-h)(p +h,k)x= - +hy=k(y-k) 2=-2p(x-h)(-+h,k)2x=1+hy=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,-p +k)y=- *+kx=h(x-h) 2=-2p(y-k)(h,- y +k)y寸+kx=h二、知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)提示( 一 ) 曲線和方程，由已知條件列出曲線的方程，曲線的交點(diǎn)說明 在求曲線方程之前必須建立坐標(biāo)系，然后根據(jù)條件列出等式進(jìn)行化簡(jiǎn) . 特別是在求出方程后要考慮化簡(jiǎn)的過程是否是同解變形，是否滿足已知條件，只有這樣求 出的曲線方程才能準(zhǔn)確無誤 . 另外，要求會(huì)判斷 曲線間有無交點(diǎn)，會(huì)求曲線的交點(diǎn)坐標(biāo) .三、 考綱

9、中對(duì)圓錐曲線的要求：考試內(nèi)容：. 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 橢圓的參數(shù)方程；. 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；考試要求：. (1)掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程；. (2)掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (3)掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；. (4)了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。四 對(duì)考試大綱的理解高考圓錐曲線試題一般有3 題 (1 個(gè)選擇題 , 1 個(gè)填空題 , 1 個(gè)解答題 ), 共計(jì) 22 分左右 , 考查的知識(shí)點(diǎn)約為 20 個(gè)左右 . 其命題一般

10、緊扣課本, 突出重點(diǎn) , 全面考查 . 選擇題和填空題考查以圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)為主, 難度在中等以下， 一般較容易得分， 解答題常作為數(shù)學(xué)高考中的壓軸題，綜合考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等諸方面的能力，重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn) , 通過知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 , 往往結(jié)合平面向量進(jìn)行求解，在復(fù)習(xí)應(yīng)充分重視。- 5 -求圓錐曲線的方程【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查識(shí)圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn) 化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求熟練掌握好 圓錐曲線的定義、

11、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對(duì)稱問題、弦長(zhǎng)問題、最值問題等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用先定形，后定式，再定量 ”的步驟.-38 -定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置定式根據(jù) 形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用， 如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=i(m0,n0).定量一心題設(shè)中的條件找到我”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小22【例i】 雙曲線上 %=i(be n)的兩個(gè)焦點(diǎn)fi、f2, p為雙曲線上一點(diǎn),4 b“|op|5,|pfi|,|fif2|,|pf2成等比數(shù)列，則

12、 b2= 解：設(shè) fi(c,0)、f2(c,0)、p(x,y),則 |pfi|2+|pf2|2=2(|po|2+|fio2) v 2(52+c2), 即 |pfi|2+|pf2250+2c2,又|pfi|2+|pf2|2=(|pfi|_ |pf2|)2+2|pfi| pf2|, 依雙曲線定義，有|pf i| |pf2|=4,依已知條件有 |pfi| |pf2|=|fif2|2=4c2i6+8c2 50+2c2c2 17,3 ,又 c2=4+b2 - ,.-. b2o,bo) b22由 e2= cr2 a2 xa2,得 b 9a 2.兩漸近線op1、0p2 方程分別為 y= 3 x y= - -

13、 x 2233設(shè)點(diǎn) p1(x1, - x1),p2(x2,- - x2)(x1 o,x2o),則由點(diǎn)p分rp；所成的比=空=2, pp2得p點(diǎn)坐標(biāo)為（32x2 x1 2x2又點(diǎn)p在雙曲線32 x 2 a,2所以(x1 2x2) 9a2(x124y2.-2-=1 上, 9a_=1 c 2,9a），又 |or |292x1x14sin p1of22 tan p ox1 tan2 p|oxj3x1,|0p|2 j 12d 91314x2292-x24. 13x22s p10p21八八八& | of1110p2 | sin f1of213一 “x?41213274由、得a2=4,b2=922故雙曲線方

14、程為上=1.49【例5】過橢圓2c: -y-2 a2k 1(a b 0)上一動(dòng)點(diǎn)p引圓o： x2 +y2 =b2的兩條切線 b2pa、pb, a、b為切點(diǎn)，直線ab與x軸，y軸分別交于 m、n兩點(diǎn)。(1)已知p點(diǎn)坐標(biāo)為(xo, y0 )并且x0y0w0,試求直線 ab方程；(2)若橢圓的短軸長(zhǎng)為22 or8,并且a25 ,求橢圓 c的萬程；(3)橢圓c上| om |2 |on |216是否存在點(diǎn)p,由p向圓o所引兩條切線互相垂直？若存在，請(qǐng)求出存在的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由。解：(1)設(shè) a(xi, y1), b(x2, y2)切線 pa: x1x y1y b2 , pb: x2x y2y

15、b2p 點(diǎn)在切線 fa、pb 上，xixo yy0,2.2bx2xoy2yo b直線 ab 的方程為 x0x y0y b2(x0y0 0)(2)在直線ab方程中，令2y=0,貝u m( , 0)；令 x=0,貝u n(0 xoyo2, 22222ab ayx0a25222(2)2| om |2|on|2 b2a2b2b2162b=8b=4 代入得 a2 =25, b2 =1622橢圓c方程：y 1(xy 0)(注：不剔除xyw0,可不扣分)25 16 假設(shè)存在點(diǎn) p(x。，y。)滿足paxpb,連接oa、ob 由 |pa|=|p b| 知,四邊形paob為正方形，|op|二 j2|oa|-22

16、2 xy0 2b 又.p點(diǎn)在橢圓c上a2x2 b2y2 a2b2222、2. 2由知x0 b .22b ), ya ba bab0a2 b20當(dāng)a2-2b20,即a*5b時(shí)，橢圓c上存在點(diǎn)，由p點(diǎn)向圓所引兩切線互相垂直;(2)當(dāng)a2-2b20,即ba即y 2一 (x 5),過定點(diǎn)(5, 2).k2 1(3)將 a(m,2)代入 y2 4x得m 1,設(shè)直線 de 的方程為 y kx b,d(x1,y1),e(x1,y1),y kx b,)由2得k2x2y 4x一 一 2_2(kb 2)x b2 0,y1 2 y2 22,2一 -y2一2(221),x1 1 x2 1且y1 kx1 b, y2 k

17、x2 b2、，一 ,、，(k 2)x*2 (kb 2k 2)(x1洛2(kb 2)b2府 k x2 2,x1x2k2k2b (k 2).將bk2代入ykxb彳導(dǎo)ykx將b2k代入ykx京導(dǎo)ykx定點(diǎn)為(1, 2)2【例8】已知曲線合2 ab (0, b)兩點(diǎn)，原點(diǎn)。到l2(2) (b 2)2 0,代入化簡(jiǎn)得b2 (k 2)2, b (k 2).k2k(x1)2,過定點(diǎn)(1, 2).2kk(x1)2,過定點(diǎn)(1,2),不合，舍去，二 1(a 0,b 0)的離心率e，直線l過a (a, 0)、 b23.3.2(i )求雙曲線的方程;(n)過點(diǎn)b作直線m交雙曲線于m、n兩點(diǎn)，若omon 23 ,求直

18、線m的方程.解：(i)依題意，1方程冬-y- a b為啦，得 ab ab 332.a2 b2 c 22故所求雙曲線方程為工y2 131,即bx ay ab 0,由原點(diǎn)。到l的距離又e c 21b 1,a.3a 3(n)顯然直線m不與x軸垂直，設(shè)m方程為y=kx- 1,則點(diǎn)m、n坐標(biāo)(x1，y1)、(x2, y2)是方程組y kx 1的解消去 y,得(1 3k2 所求的橢圓方程為1. 94 (2)方法 由題知點(diǎn)d、m、n共線，設(shè)為直線 m,當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)為 k,則直線m的方程為y = k x +3代入前面的橢圓方程得 (4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判別式 (54

19、k)2 4 (4 9k2) 45 0 ,得 k2 5. 再設(shè) m (x 1 , y 1 ), n ( x2 , y2),則一方面有dm(x1* 3) dn(x2,y2 3) ( x2, (y2 3),得)x2 6kx 6 02依設(shè)，1 3k 0,由根與系數(shù)關(guān)系，知xix26k6-72, xi x2-723k 1 3k 1om on (x1,y1)(x2,y2) x1x2 y1y2x1x2(kx1 1)(kx2 1)22=(1 k )x1x2 k(x1x2) 1 = 6(1 k ) 6k3k2 1 3k2 13k2 16.1om on23z- 1=-23, k= 3k2 121當(dāng)k= 1時(shí)，萬程

20、有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根2故直線i方程為y 1x 1,或y -x 12222【例9】 已知?jiǎng)狱c(diǎn)p與雙曲線 匕 1的兩個(gè)焦點(diǎn)23ff2的距離之和為定值,1且 cos f1pf2的最小值為 一.9(1)求動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程;(2)若已知 d(0,3) , mn在動(dòng)點(diǎn)p的軌跡上且dmdn ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(1)由已知可得:、.5a2 a2 (2c)22a22222a 9 , b a c 4x1x2yi3(v2 3)另一方面有xi x254k452 , xix24 9k24 9k將xix2代入式并消去x 2可得32444362-2 9 ,由刖面知， 0 - 一5（1） kk 59324 281,解得

21、15.5（1）255又當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，不難驗(yàn)證： 1或 55所以15為所求。5方法二：同上得x1x2yi3(y23)設(shè)點(diǎn) m (3cos a , 2sin a ), n (3cos 3 ,2sin 3 )則有cos cos2sin 3(2 sin 3)由上式消去a并整理得13 2185 ,十sin 2, 由于 1 sin 112()1 13一218一5 1 ,解得15為所求.12()5方法三：設(shè)法求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)d的距離的最大值為 5,最小值為1.進(jìn)而推得的取值范圍為15。5【求圓錐曲線的方程練習(xí)】一、選擇題1 .已知直線 x+2y3=0與圓x2+y2+x 6y+m=0相交于p、q兩

22、點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 opxoq,則m等于（）a.3b.-3c.1d.-12 .中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為（0, 5四）的橢圓被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)的橫 ，, ， 1 一，一、一一， 坐標(biāo)為1 ,則橢圓方程為（）2_ 2_ 2八 2x22y2.a.-1257522x yc. 一 -125 75b.至75x2d.-75宜1252匕125二、填空題3 .直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點(diǎn)p,若過點(diǎn)p且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點(diǎn)作 橢圓的焦點(diǎn)，那么具有最短長(zhǎng)軸的橢圓方程為 .4 .已知圓過點(diǎn)p(4, 2)、q(1, 3)兩點(diǎn)，且在y軸上截得的線段長(zhǎng)為 4/3,則該圓的方程為

23、.三、解答題5 .已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為 f, m是橢圓上的任意 點(diǎn)，|mf|的最大值和最小值的幾何平均數(shù)為2,橢圓上存在著以 y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn) m1和m2,i且|m1m2|=w0 ,試求橢圓的方程.6.某拋物線形拱橋跨度是20米，拱高4米，在建橋時(shí)每隔4米需用一支柱支撐，求其中最長(zhǎng)的支柱的長(zhǎng).2x-2 a7.已知圓c1的方程為(x2)2+(y1)2=20，橢圓c2的方程為32j2三=1(a b 0), c2的離心率為-，如果c1與c2相交于a、b22b兩點(diǎn)，且線段ab恰為圓c1的直徑，求直線 ab的方程和橢圓 c2的方程.參考答案一、1.解析：將直線方程變

24、為x=32y,代入圓的方程x2+y2+x6y+m=0,得(3 2y)2+y2+(3 2y)+m=0.整理得 5y220y+12+m=0,設(shè) p(xi,yi)、q(x2,y2)12 m yiy2=,yi+y2=4.5又二 p、q在直線x=3 2y上,xix2=(3 2yi)(3 2y2)=4yiy2 6(yi +y2)+9故 yiy2+xix2=5yiy26(yi+y2)+9= m 3=0 ,故 m=3.答案：a222.解析：由題意，可設(shè)橢圓方程為：22 。=i,且a2=50+b2,a b22即方程為_y_ a_=i.50 b2 b2將直線3xy 2=0代入，整理成關(guān)于 x的二次方程.由 xi+

25、x2=i 可求得 b2=25,a2=75.答案：c二、3.解析：所求橢圓的焦點(diǎn)為fi( 1,0),f2(1,0),2a=|pfi|+|pf2|.l上找一點(diǎn)p.使|pfi|+|pf2|最小，利用對(duì)稱性可解.欲使2a最小，只需在直線22答案：二匕=1544.解析：設(shè)所求圓的方程為2(4 a) ( 2 b) 則有(1 a)2 (3 b)：|a |2 (2 3)2 r2(x a)2+(y b)2=r22ab2 r13ab2 r27由此可寫所求圓的方程 答案：x2+y2 2x 12=0 或 x2+y210x8y+4=0三、5.解：|mf|max=a+c,|mf|min=a c,則(a+c)(ac)=a2

26、c2=b2,22，b2=4,設(shè)橢圓方程為三工1a24設(shè)過mi和m2的直線方程為y= - x+m將代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m2 4a2=0設(shè) mi(xi,yi)、m2(x2,y2),mim2 的中點(diǎn)為(x0,y0),21 ,、 a mx0= - (xi + x2)=242代入y=x,得-a-4 a,y0= xo+ m=a4m/2 ,4 a4m4 a2由于 a24,，m=0,，由知 xi+x2=0,xix2=-4a22a又|mim2|= . 2 (x1 x2)2 4x1 x24.103代入xi+x2,xix2可解a2=5,故所求橢圓方程為:=i.6.解：以拱頂為原點(diǎn)，水平線為 x軸

27、，建立坐標(biāo)系,如圖，由題意知，|ab|=20, |om|=4, a、b 坐標(biāo)分別為(10, 4)、(10, 4)設(shè)拋物線方程為 x2= 2py,將a點(diǎn)坐標(biāo)代入，得 100= 2px4),解得p=12.5,于是拋物線方程為 x2=-25y.由題意知e點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4), e 點(diǎn)橫坐標(biāo)也為2,將2代入得y=0.16，從而 |ee |=(0.16) ( 4)=3.84.故最長(zhǎng)支柱長(zhǎng)應(yīng)為3.84米.2227.解：由e=匚,可設(shè)橢圓方程為 j =1,22b2故所求橢圓方程為-匕=1.168b2又設(shè) a(x1,y1)、b(x2,y2),則 x1+x2=4,y+y2=2,2222又三，1,丹冬=1,兩式相減

28、，得2bb 2bb2 x12 x22b222y1y22- =0,b即(xi+x2)(xi x2)+2(y1+y2)(y1 y2)=0.化簡(jiǎn)得y-y2 = 1,故直線ab的方程為y=-x+3, xi x2.230代入橢圓方程得3x2 12x+18 2b2=0.有 a=24b2720,又伊8|=45r1x2)2 4x1x2得跖,%g0 ,解得b2=8.191 3直線與圓錐曲線【復(fù)習(xí)要點(diǎn)】直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置 關(guān)系的判定，弦長(zhǎng)問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，要求考生分析問題

29、和解決問題的能力、計(jì)算能力較 高，起到了拉開考生 檔次”，有利于選拔的功能.1 .直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.2 .當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用筆達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用 弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用 差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn) 坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍.【例1】 已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)o,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與橢圓交于p和q,且o

30、poq, fqf、10 ,求橢圓方程.解：設(shè)橢圓方程為 mx2+ny2=1(m0,n 0), p(xi,yi),q(x2,y2)y x 1由 22得(m+n)x2+2nx+n1=0,mx ny 134n2 4(m+n)(n1) 0,即 m+n mn0,由 opoq所以 x1x2+y1y2=0，即 2x1x2+(x1+x2)+1=0,2(n 1) 2n +1=0, m+n=2 m n m n又 2 4(m n mn)m n呼)2,將m+n=2,代入得m n= 34由、式得 m= ,n= 或 m= ,n= 一2222故橢圓方程為 工+3y2=1或3*2y2=1.2222【例2】如圖所示，拋物線y2

31、=4x的頂點(diǎn)為o,點(diǎn)a的坐標(biāo)為(5, 0),傾斜角為一的4直線l與線段oa相交(不經(jīng)過點(diǎn)?；螯c(diǎn)a)且交拋物線于 時(shí)直線l的方程，并求 4amn的最大面積.m、n兩點(diǎn)，求4amn面積最大解：由題意，可設(shè)l的方程為y=x+m,5vmv 0.y x mcc由方程組 2，消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 y 4x直線l與拋物線有兩個(gè)不同交點(diǎn)m、n,，方程的判別式a=(2m 4)2 4m2=i6(1 - m)0,解得mv 1,又一5v mv 0,，m的范圍為(一5, 0)設(shè) m (xi,yi),n(x2,y2)則 xi+x2=4 2m, xi x2=m2,|mn|=4 2(1 m).點(diǎn)a到直線l的

32、距離為d=5-=m.、2sja =2(5+ m) hm，從而 sa2=4(1 m)(5+m)22 2m 5 m 5 m ,=2(2 2m) (5+m)(5+m) 0,即kv 3，又kw5，故當(dāng)k- v2或石vkv j2或v,2 k 2時(shí)，方程(*)無解，l與c無交點(diǎn).綜上知：當(dāng)k=j2，或k=_3 ,或k不存在時(shí)，l與c只有一個(gè)交點(diǎn)； 2當(dāng)v2 v k 2成22 v k 3時(shí)，l與c沒有交點(diǎn).2(2)假設(shè)以 q 為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為 ab,且 a(xi,yi),b(x2,y2),則 2xi2y12=2,2x22y22=2 兩式相減得：2(xi x2)(xi+x2)=(yi y2)(yi +y2

33、)又 xi+x2=2,yi+y2=22(xi x2)=yi yi即kab=上=2xi x2但漸近線斜率為72,結(jié)合圖形知直線 ab與c無交點(diǎn)，所以假設(shè)不正確，即以q為中點(diǎn)的弦不存在【例4】 如圖，已知某橢圓的焦點(diǎn)是fi( 4, 0)、f2(4, 0),過點(diǎn)f2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為b,且|fib|+|f2b|=10,橢圓上不同的兩點(diǎn) a(xi,yi),c(x2,y2)滿足條件：|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數(shù)列.jly(1)求該弦橢圓的方程；(2)求弦ac中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；x(3)設(shè)弦ac的垂直平分線的方程為 y=kx+m, 求m的取值范圍.解：由橢圓定義及條件知，2a=|

34、fib|+|f2b|=10，得a=5, 又 c=4,所以 b= va2 c2 =3.22故橢圓方程為x l=1.25 x:，曷心率為4,根259(2)由點(diǎn)b(4,yb)在橢圓上，得|f2b|=|yb|=9 .因?yàn)闄E圓右準(zhǔn)線方程為5據(jù)橢圓定義，有4 25 冽=5(丁4 25-x1),|f2c|=-(t-x2),由|f2a|、|f2b|、|f2c|成等差數(shù)列，得(空一xi)+ - ( x2)=2 秘,由此得出：xi+x2=8. 5 45 45設(shè)弦 ac 的中點(diǎn)為 p(xo,y0),貝(j xo= 2 x2 =4.(3)解法一：由 a(x1,y1),c(x2,y2)在橢圓上. 22得 9xi 250

35、9 25 一 2 一 2 一 一9x225 y29 25一得 9(x12x22)+25(y12y22)=o,即 9x(x1x2) 25(1一y2) cy1一y2)=o(x1 歡2)22x1x2收 x1x2v / y1y2怡xo 4,22y1y2yo,xx21一 ， r-(kw球入上式，得1 94+25yo(- - )=0()25.即k= 一 yo(當(dāng)k=o時(shí)也成立).36所以由點(diǎn)p(4, yo)在弦ac的垂直平分線上，得yo =4k+ m,m=yo-4k=yo-2516yo=- yo.由點(diǎn)得一v yov 所以-1616p(4, yo)在線段bb舊與b關(guān)于x軸對(duì)稱)的內(nèi)部,解法二：因?yàn)橄?ac的

36、中點(diǎn)為p(4,yo),所以直線ac的方程為1y yo= - - (x 4)(kw o) k22將代入橢圓方程 工=1,得259(9 k2+25) x2 5。( kyo+4) x+25( kyo+4)2 25 x9k2=o所以 x + x2= 5，o_4 =8，解得 k=25yo.(當(dāng) k=o 時(shí)也成立)9k2 253622_ 一 一.x y 1ox 2o o 相(以下同解法一).【例5】已知雙曲線 g的中心在原點(diǎn)，它的漸近線與圓1 一切.過點(diǎn)p 4,o作斜率為一的直線l ,使得l和g交于a, b兩點(diǎn)，和y軸交于點(diǎn)c , 4并且點(diǎn)p在線段ab上，又滿足 pa pb(1)求雙曲線g的漸近線的方程;

37、(2)求雙曲線g的方程;(3)橢圓s的中心在原點(diǎn)，它的短軸是 g的實(shí)軸.如果 s中垂直于l的平行弦的中點(diǎn)的軌跡恰好是g的漸近線截在s內(nèi)的部分，求橢圓s的方程.解：(1)設(shè)雙曲線g的漸近線的方程為：y 則由漸近線與圓x2 y2 1ox 2o o相切可得:所以，k 1雙曲線g的漸近線的方程為：y -x.2(2)由(1)可設(shè)雙曲線g的方程為：x2 4y2 m.把直線l的方程1，一 一也2-x 4代入雙曲線方程，整理得 3x2 8x 16 4mo.4則 xaxbxaxb16 4m一；一（*）3 pa pbpcp,a, b,c共線且p在線段ab上,xpxaxbxp2xpxc,即：xb 44 xa16 ,

38、整理得：4 xa xb xaxb 32 0將（*）代入上式可解得:m 28.所以，雙曲線的方程為22土匕1. 287（3）由題可設(shè)橢圓s的方程為:2x282l 12aa2 j7 ,下面我們來求出s中垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡.設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 m x1,y1,nx2, y2mn的中點(diǎn)為p %,丫0 ，則兩式作差得:x1x2 x1 x228由于y24x1x2所以,x04 y028 a22 x1282 x228y1xi x2 2xo , y10,所以，垂直于l的平行弦中點(diǎn)的軌跡為直線又由題，這個(gè)軌跡恰好是 g的漸近線截在2y12a2y22ay2y y2y22 y0x284y2a0截在橢圓s內(nèi)的部分.s內(nèi)的部分,2所以