專題17直角三角形中的比例線段

1、由此得出的等積式在計(jì)算與證明專題17直角三角形中的比例線段閱讀與思考借助相似三角形法研究直角三角形，我們會(huì)得到許多在解題中應(yīng)用極為廣泛的結(jié)論.如圖，在 RtAABC中，/ A=90, AD丄BC于D，則 1圖中角的關(guān)系：/ B= / DAC,/ C= / DAB ;2 同一三角形中三邊平方關(guān)系：2 2 2 2 2 2 2 2 2AB =AD +BD , AC =AD +CD ； BC =AB +AC 3. 三角形之間的關(guān)系： ABDCADCBA，由此得出的線段之間的關(guān)系：2 2 2AD =BD?DC, AB =BD?BC, AC =CD?BC.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角

2、形相似, 中應(yīng)用極為廣泛，其特點(diǎn)是： 一線段是兩個(gè)三角形的公共邊; 另兩條線段在同一直線上.例題與求解【例1】如圖，RtA ABC中，CD為斜邊 AB上的高，DE丄CB于E.若BE=6, CE=4，則AD=（上海市競(jìng)賽試題） 解題思想：圖中有兩個(gè)基本圖形，恰當(dāng)選取相應(yīng)關(guān)系式求出AD .例2題圖【例2】如圖，在RtA ABC 中，/C=90 , CD 丄 AB,下列結(jié)論：-AC2ADCD?AB=AC?BC; 21 BC2BD 1 11 2 2 -2 ;AC+BOCD+AB.AC BCCD其中正確的個(gè)數(shù)是()A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：綜合運(yùn)用直角三角形性質(zhì)

3、逐一驗(yàn)證，從而作出判斷.【例3】如圖，在等腰 RtAABC中，AB=1，/ A=90，點(diǎn)E為腰AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在底邊BC上，且EF 丄BE,求厶CEF的面積.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）1解題思想：欲求 EFC的面積，由于EC=，只需求出 EFC中EC邊上的高，或求出 EC邊上的2高與EC的關(guān)系.本例解法甚多，同學(xué)們的解題思路，自由探索與思考，尋求更多更好的解法.【例4】如圖，直線 OB是一次函數(shù)y =2x的圖象，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0, 2），在直線OB上找一點(diǎn)C,使（江蘇省競(jìng)賽試題） ACO為等腰三角形，求點(diǎn) C的坐標(biāo).解題思想：注意分類討論.能力訓(xùn)練1.如圖，在兩個(gè)直角三角形中，/ACB = Z

4、ADC=900,AC=、6 , AD=2，當(dāng) AB=時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似.D（第 2題圖）（第3題圖）2.如圖，在 RtA ACB中，CD丄AB于點(diǎn)D ,/ A的平分線 AF交CD于E,過(guò)E引EG / AB交BC于G,若CE=，則BG的長(zhǎng)為（上海市競(jìng)賽試題）3.如圖，ABCD為矩形，ABDE為等腰梯形,BD=20 , EA=10，貝U AB=（“五羊杯”競(jìng)賽試題）4. 如圖，梯子 AB斜靠在墻面上，AC丄BC, AC=BC，當(dāng)梯子的頂端 A沿AC方向下滑X米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則X與y的大小關(guān)系是A. x =yB. x y)C. X ： yD .不確定 （江蘇省競(jìng)賽試題）5.如圖

5、，矩形ABCD中,AB= 乜, BC=3,AE丄BD于E,則EC等于（.152.2126.在厶ABC中，ADA .小于902是高，且ADB .等于90-BD CD，那么/C .大于90BAC的度數(shù)是（7.BD=15,D .不確定（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）如圖，在厶ABC中，已知/ C=900, AD是/ CAB的角平分線，點(diǎn)E在AB 上, DE / CA , CD=12, 求AE , BE的長(zhǎng).（上海市中考試題）（第 7題圖）8.如圖，在矩形 ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE丄AC交AC于F，過(guò)F作FG / AB交AE于G,求證: AG2=AF FC.（西安市中考試題）D（第 8題圖）B9如圖，

6、在 RtAABC 中，/ ACB=90, CD 丄AB, DE 丄 AC, DF 丄 BC, D, E, F 分別為垂足，求 證：CD =AB AE BF （四川省中考試題）（第9題圖）10.如圖，在RtAABC中，/ ACB=900, AD平分/ CAB交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE丄AD于點(diǎn)E,CE的延長(zhǎng)線交 AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)E作EG / BC交AB于點(diǎn)G, AE AD=16 , AB=4、5 . 求證：CE=EF; 求EG的長(zhǎng).（河南省中考試題）（第10題圖）（第 11題圖）11.如圖，在厶ABC中，已知/ ACB=90 , BC= k AC, CD丄AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn),PE丄

7、AC于E, PF丄BC于F.CE當(dāng)k=2時(shí)，則=:BF當(dāng)k=3時(shí)，連結(jié)EF , DF，求匡的值；DFL LQ , JQ當(dāng)k =時(shí)， 二（直接寫出結(jié)果，不需證明）DF 3B級(jí)1 如圖，在 RtA ABC中，/ A=90, AD丄BC, P為AD的中點(diǎn)，BP交AC于E, EF丄BC于F , AE=3, EC=12，貝U EF=（黃岡市競(jìng)賽試題）（第 1題圖）2. 如圖，在RtA ABC中，兩條直角邊 AB，AC的長(zhǎng)分別為1厘米，2厘米，那么直角的角平分線 的長(zhǎng)度等于厘米.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3. 如圖，EFGH 是矩形 ABCD 的內(nèi)接矩形，且 EF : FG=3 : 1 , AB: BC=2

8、 : 1，貝U AH : AE=（上海市競(jìng)賽試題）（第3題圖）/?4如圖， ABC中，/ ACB=900, CD和CE分別是底邊 AB上的高和/ C的平分線，若 CED s ABC，則/ ECD 等于（)200C. 22.50D. 30（山東省競(jìng)賽試題）A.180B.5.(如圖,）在厶ABC中,D ,E分別在AC, BC 上,且 AB丄AC , AE丄BC , BD=DC=EC=1，貝U AC=A.2B. . 3C.32D . 33E.逅（美國(guó)高中統(tǒng)一考試題）6.如圖,在等腰 Rt ABC中，F(xiàn)為AC邊的中點(diǎn)，AD 丄 BF.求證：BD=2CD .（武漢市競(jìng)賽試題）7.如圖，P, Q分別是正方

9、形 ABCD的邊AB, BC上的點(diǎn)，且BP=BQ,過(guò)B點(diǎn)作PC的垂線，垂 足為H .求證：DH丄HQ .（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）（第7題圖）& ABC 中，BC=a, AC=b, AB=c.若/ C=90，如圖 1,根據(jù)勾股定理，則 a2+=c2若 ABC 不是直角三角形，如圖 2、圖3，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想 a2+b2與c2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖1B圖39.已知/ AOB=90,在/ AOB的平分線 0M上有一點(diǎn)C,將一個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合,它的兩條直角邊分別與 OA, OB （或它們的反向延長(zhǎng)線）相交于點(diǎn)D, E.當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)，如圖1,易證:od+

10、oe= Hoc .當(dāng)三角形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直，如圖2,圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？ 若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段OD , OE , OC之間，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.圖1圖2Od10.如圖1 ,在厶ABC中，點(diǎn)D, E, Q分別在 AB, AC, BC上，且DE / BC, AQ交DE于點(diǎn)P.求證:DP PEBQ QC在 ABC中，/ BAC=900,正方形 DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在 ABC的邊上.連接 AG , AF分別交DE 于M , N兩點(diǎn). 如圖2，若AB=AC=1，直接寫出 MN的長(zhǎng)； 如圖3，求證：MN2=DM EN.（武漢市中考試題）圖

11、1圖2圖3專題17直角三角形中比例線段4 .例13 15例2 B提示：只有結(jié)論是錯(cuò)誤的1例323提示：過(guò)F點(diǎn)作FM丄EC于M，由 Rf ABEsRf MEF，得型=AB = 2 EMMF AE 11= 2MF 又 FM =MC=EC= 36f 8例4提示：滿足題意的點(diǎn) C有4個(gè)，坐標(biāo)分別為 ，15 S45石,1,1 CAB ,匹，從而字罟.32DF 3DF 3AP bpB級(jí) 1.6 提示：延長(zhǎng)FE , BA交于G ,GE BE3. 5 :提示：過(guò)B作BE/ AD，交CA的延長(zhǎng)線于 E. 線，交AD延長(zhǎng)線于G,1 , EBDGCD ,PD,GE= EF, EF14. C 5. C由 AABF s

12、EBA,2. 2 &36.提示：過(guò)C作AC的垂 EB : AE= AB : AF = 2 : AGEFCE .貝UAABEBA CAG , AE = CG , BD : DC = EB : CG = EB : AE= 2 : 1, BD = 2CD .7.提示：由 RtAPBHs RtABCH 及 BP = BQ,ABC為銳角三角形時(shí)，過(guò)得BQ =，從而有竺=豈，可推證得 AbhqsCHD . 8.提示：當(dāng)厶BC HCDC BQA作AD丄BC于D，可證a2+b2乳當(dāng)厶ABC為鈍角三角形時(shí)，過(guò) B作BD丄AC于D,可證a2 + b2v c2.9.提示：圖2結(jié)論：0D + OE = .2 OC .過(guò)C作CP丄OA于P, CQ丄OB 于 0,則厶 CPD CQE , DP = EQ, OP = DO + DP, OQ = OE - EQ.又 OP+ OQ = . 2 OC，即OD + DP + OE-EQ = . 2 OC，故 OD + OE =2 OC.圖3的結(jié)論