專題27數(shù)形結(jié)合

1、專題27數(shù)形結(jié)合閱讀與思考數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡單地說就是“數(shù)”與“形”，對現(xiàn)實世界的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們在研究“數(shù)”的性質(zhì) 時，離不開“形”；而在探討“形”的性質(zhì)時，也可以借助于“數(shù)”我們把這種由數(shù)量關(guān)系來研究圖形性質(zhì)，或由圖形的性質(zhì)來探討數(shù)量關(guān)系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學問題的思想叫作 數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合有下列若干途徑：1借助于平面直角坐標系解代數(shù)問題；2 借助于圖形、圖表解代數(shù)問題；3借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；4.借助于函數(shù)解幾何問題.現(xiàn)代心理學表明：人腦左半球主要具有言語的

2、、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具 有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識別的形象思維的功能.要有效地獲得知識，則需要 兩個半球的協(xié)同工作，數(shù)形結(jié)合分析問題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能代數(shù)表達及其運算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因為如此，笛卡爾創(chuàng)立 了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問題.從而成為現(xiàn)代數(shù)學的先驅(qū).幾何問題代數(shù)化乃是數(shù)學的一 大進步.例題與求解: 2 2【例I】設y+2x+2+、；x 4x + 13，貝U y的最小值為 .（羅馬尼亞競賽試題）解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼.y = . x 1 2 1 ； x - 2

3、2 9 =（x+1 了十（02 +p（x2 2+（0-3 2，于是問題轉(zhuǎn)化為：在 x軸上求一點C（x , 0），使它到兩點A （- 1, 1）和B（2, 3）的距離之和（即 CA+ CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長為整數(shù)，它的周長是x厘米，面積是x平方厘米，這樣的直角三角形（）A .不存在B.至多1個C .有4個D .有2個（黃岡市競賽試題）解題思路：由題意可得若干關(guān)系式，若此關(guān)系式無解，則可推知滿足題設要求的直角三角形不存在； 若此關(guān)系式有解，則可推知這樣的直角三角形存在，且根據(jù)解的個數(shù)，可確定此直角三角形的個數(shù).1 1+AE BE解題思路：圖形中含多個重要的基本圖形, 別計算

4、出各個線段，利用代數(shù)法證明.（湖北省競賽試題） 待證結(jié)論中的代數(shù)跡象十分明顯可依據(jù)題設條件，分【例4】 當a在什么范圍內(nèi)取值時，方程x2 - 5x =a有且只有相異的兩實數(shù)根?【例3】如圖，在 ABC中，/ A= 90，/ B = 2/ C,Z B的平分線交 AC于D , AE丄BC于E,DF 丄 BC 于 F.求證：bd .df ae BF（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數(shù)的觀點看，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y = x25x與函數(shù)y = a（a0）圖象有且只有相異兩個交點.作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍.三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：【例5】 設厶ABC三邊上的三個內(nèi)接正方形（有兩個

5、頂點在三角形的一邊上，另兩個頂點分別在 ABC為正三角形.（江蘇省競賽試題）解題思路：設 ABC三邊長分別為a , b , c,對應邊上的高分別為 ha, hb, hc , ABC的面積為S，則易得三個內(nèi)接正方形邊長分別為2S2Sa h/ b hb2丄，由題意得ah bh c hc,chc2S2S2S即abcL.則a, b , c適合方程ab c【例6】設正數(shù)x , y , z滿足方程組x2 xy2乂 z23=9，求 xy 2yz - 3zx 的值.2zx x =16(俄羅斯中學生數(shù)學競賽試題)能力訓練1. 不查表可求得tan 150的值為.332. 如圖，點 A, C都在函數(shù)y(X 0)的圖

6、象上，點 B，D都在x軸上，且使得厶OAB，xBCD都是等邊三角形，則點 D的坐標為 .(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)3. 平面直角坐標系上有點P( 1, 2)和點Q(4, 2)，取點 R(1 , m)，當m=時，PR +RQ有最小值4若a a0 , b0 x1), 與y軸交于C點，且Z BAC = Z BCO.(1) 求這個二次函數(shù)的解析式；(2) 以點D ( 2 , 0)為圓心O D，與y軸相切于點 0,過=拋物線上一點 E(X3 , t)(t 0, X3 v0)作x軸的平行線與O D交于F , G兩點，與拋物線交于另一點 H .問是否存在實數(shù)t，使得EF + GH =(武漢市中考題)CF?如果

7、存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由.212. 已知正數(shù) a , b , c, A, B, C 滿足 a + A = b + B = c + C= k .求證：aB十 b C + cAv k .13. 如圖，一個圓與一個正三角形的三邊交于六點，已知AG = 2, GF = 13 , FC = 1 , HI = 7,求DE .（美國數(shù)學邀請賽試題）14. 射線QN與等邊 ABC的兩邊 AB，BC分別交于點 M，N，且AC/QN，AM = MB = 2cm, QM = 4cm.動點P從點Q出發(fā)，沿射線 QN以每秒1cm的速度向右移動，經(jīng)過 t秒，以點P為圓心，3 cm為半徑的圓與厶ABC的邊相

8、切（切點在邊上）請寫出t可以取的一切值： （單位：秒）.AC第14題圖15. 如圖，已知 D 是厶 ABC 邊 AC 上的一點，AD: DC = 2: 1,Z C= 45，/ ADB = 60 .求證：AB是厶BCD的外接圓的切線.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）第15題圖16. 如圖，在 ABC中，作一條直線I / BC,且與AB、AC分別相交于 D , E兩點，記 ABC, BED的1面積分別為S, K 求證：K 得b,3b4，要使a,b為整數(shù)，只有兩種取法：若b=5 時,a=12(或 b= 12,a=5);若 b=8 時,a=6(或 b=6,a=8).1BE=X,DF =DA=2例 3 設 AB

9、=x，貝U BC=2x,AC= , 3x ,12x,BD . x.在RtAEB中求得.3. 3當a=0時,時，y=a與252a一時，y=a與y = x -5x圖象有且只有相異二個交點25個不同交點，當y = x2 -5x圖象有42s2s2s2s例5由abcL ，知正數(shù)a, b, c適合方程xL.當x = 時，有abcxx2 - Lx 20，故a,b,c是方程的根.但任何二次方程至多只有兩個相異的根，所以a,b,c中的某兩數(shù)必相同.設a = b若c T- a ,由得a-c = 2s1 - 1 = a - c ,則ac=2s=a ha,這樣ZABC2 a 丿 ac就是以/ B為直角的直角三角形，b

10、a，矛盾，故a=c,得證.例 6，SAOB S.Boc S.AOC - S ABC ,.1ysin150 z y - xzsin120=14 3,2.32,322即1 y 11 y 13 z + xz =6/2 ,322,322化簡得 xy 2yz 3zx =24. 3.能力訓練1.2 一 .3提示：構(gòu)造含15的RtAABC.2. 2,6,0提示:如圖，分別過點 A,C作x軸的垂線，垂足分別OE=a, BF=b，則 AE= 3a , CF= . 3b，所以點 A,C 的坐標為a, 13a , 2a b, . 3b ./2i 3a =33,q l3b(2a +b )=3妁a i 3,點 D 坐標

11、為 2 6,0 .b = 6 -3.解得為E, F.設3. - 提示:當54. b乞x乞aR,P，Q三點在一條直線上時,PR+RQ有最小值.5. 36提示:由,則有ABOB.在OB上截取 OC=AB=x,又由AB =OA，則 OAB ABC,AB=AC=OC. BC AB6. C提示：由題所給的數(shù)據(jù)結(jié)合坐標系可得，A55是第14個正方形上的第三個頂點，位于第一象限，所以A55的橫縱坐標都是14.7. A8. B 提示：由條件 a2 ab a = ab b2,即 b2 = a a c ,a 易證ABCDAC，得/ ABC=Z D+ / BAD=2 / D=2 / BAC.9. Da亠c，延長CB

12、至D，使BD =AB ,b10. C提示：設直角三角形的兩條直角邊長為a,bab,則aa2 b2 = k 1ab (a,b,k均為正2整數(shù))，化簡得(ka -4lkb -4)=8,丿八1,或kb 4 =84一 2,解得kb 4 = 4kf2 y =5,或丿a =3,或*A =12=4ik =1,a = 6,即有3組解.b =8211.(1) y=x -2x -1(2)過 D 作 DM 丄EH 于 M ，連結(jié) DG,DM 二t,DG=D0 =$2, FG =2MG =2 2-t2.若 EF+GH=FG 成立，則 EH= 2FG.由 EF/x 軸，設H 為 X4 ,t ,又 E,H為拋物線上的兩個

13、點,2 2.X3 2x3 -1 = t, x4 -2x4 - 1 = t,即 x3, x4 是方程x2 -2x -1 =t的兩個不相等的實數(shù)根，.x3 x2,x3x4EH = x4 _x3 = ?(x3 +x4 2 4x3x4 = 2 J2 +t ,”. 2J2 + t = 2 *2%：2 - t2詈（舍去）212.a十A=b+B=c十C=k,可看作邊長為k的正三角形，而從 k聯(lián)想到邊長為k的正方形的面積.如圖,將aB+bC+cA看作邊長分別為 a與B,b與C,c與A的三個小矩形面積之和，將三個小矩形不重疊地嵌入 到邊長為k的正方形中，顯然 aB+bC+cAk2.13. AC=AG+GF +

14、FC=16，由 AH AI=AG AF，得 AH I(AH + 7) = 2X (2 + 13),解得 AH = 3,從而 HI = 7, BI = 6.設 BD= x, CE= y,則由圓幕定理得CE?CD = CF?CG 前，即BD?BE= BI?BH 霍6y）=6爲解得；匚胃嗇.故 DE = 16（x+ y）=炯.14. t = 2或3wtw 7或t= 8.提示：本題通過點的移動及直線與圓相切，考查分類討論思想.由題意知/AMQ = 60, MN = 2 .當t= 2時，圓P與AB相切；當3 t 7時，點P到AC的距離為 3,圓P 與AC相切；當t= 8時，圓P與BC相切.15. 設 A

15、D = 2, DC = 1,作 BE丄 AC,交 AC 于 E.又設 ED = x,則 BE= . 3x,BE = EC= . 3x.又 1 + x= .3 x,Ax=,BE=-,AE = AD ED = 2 x=寧，AB2 = AE2+ BE2= () 2+ ()=6，而AD?AC = 6. AB = AD?AC.故由切割線定理逆定理知，AB是厶BCD的外接圓的切線.、卄 AD AE_ 一八.S abe AE. c-e. Sabde BD AB 一 AD .16. 設ab = AC = m(o、1). - S= AC= m， Saabe = m Saabc .又.s = ab = ab = 1 m,AB ACSa abc ACSa abe AB AB Sa bde= (1 m)? Saabe = m(1 m)? Saabc .即 K = (1 m)?mS,整理得 Sm Sm+ K= 0,由0 得 1KW； S.417分以下幾種情況: 若此等腰三角形以 OA為一腰，且/ BAC為頂角，則AO = AG = 2 .設6 （ x,2x）,則 x2 +（ 2x 2） 2 =