2020屆高三數(shù)學精準培優(yōu)專練八平面向量(理科)教師版

1、2020屆高三培優(yōu)點八平面向量、平面向量的建系坐標化應(yīng)用uuu uuir例1在 ABC中，BC 6, BC邊上的高為2,則AB AC的最小值為【答案】5【解析】以BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸，建立如圖所示平面直角的坐標系,則 B( 3,0)，C(3,0)，A(x,2)，uniuuuuuiuuu2即 AB( 3 x, 2)，AC(3 x,2)，ABAC(3 x)(3 x) 4 x25，故當x 0時，取得最小值為5，此時AB AC .A二、平面向量中三點共線問題例2：設(shè)a，b是兩個不共線的單位向量，若c滿足c (3 2 )a (212)b，且 |c 一，則當 |a b3最小時，在a與b

2、的夾角的余弦值為【答案】79uuuuuuuuir【解析】作OAa，OBb， OC c， c (3 2 )a (22)b，且 (3 2 ) (22)1，二 A,B,C 三點共線,uuu uur uuu/ a b OA OB BA,1，如圖所示，當OC AB時,3又 a , b為單位向量，cos AOC 1,3即a與b的夾角的余弦值為2cos2 AOC 1三、平面向量與三角形的四心問題例3：已知A, B ,C是平面內(nèi)不共線三點， O是厶ABC的外心，動點P滿足uuu 1OP 3(1uuu)OAuuu(1 )OB(1uuu)OC( R)，則P的軌跡一定通過 ABC的()A .內(nèi)心B .垂心C.外心D

3、 .重心【答案】【解析】UUU取AB邊的中點M，則OAuuu uuuuOB 2OM ,uuu 由OP1uuu3(1 )OA (1 3uur可得3OPuuuu uuur2OM OCuuur 所以MP1 2 uuin丁MC(ULU)OBuuur(OC(1uuuuOM )UUT)0C)(uuuu3OMR),(1 2uuur)MC ,R)，即點P的軌跡為三角形中四、平面向量與三角函數(shù)結(jié)合例 4：已知向量 a (cos x sin x,sin x) , b ( cosf(x) a b ( R)的圖象關(guān)于直線x n對稱，其中(1)求函數(shù)f (x)的最小正周期;n(2) y f (x)的圖象經(jīng)過點 ，0 ，

4、求函數(shù)f(x)在區(qū)間4AB邊上的中線，故選x sin x,2.3cos, 為常數(shù)，且0,3n上的取值范圍.5X)，設(shè)函數(shù)【答案】（1）1 .2,2 2 .【解析】（1）由題意得,f(x)2 sin x2 cosx 2、3 sin x cos xcos23s in22sin(2 x 6直線xf （x）圖象的一條對稱軸, 2 n又n kn6(1,1)，Z），解得k】(k2 356，Z),即f（X）的最小正周期是(2 )T y f (x)圖象過點n小4,0，0,即故 f (x)/ 0 x2si n(5x33nsin(3x 9n2si n(-6 2 n 2， n 5 nx -361，可得2sin n

5、2 ,42sin(5x J . 22. 2 ,363 n上的取值范圍為故函數(shù)f (x)在0, 一5對點增分集訓(xùn)、選擇題1.已知向量a (cosA. 12,sin )，其中B. 22,sin ),R，則|a |的最小值為（）C.5D. 3【答案】A【解析】/ a(cos- | a |. (cos2)2sin21 4cos454cos ,又R ,1 cos 1，即 | a | 的最小值為、541.2.在厶ABC中，G為 ABC的重心，過G作直線分別交直線ULUTxAB，uuuuAB, AC 于點 M , N，設(shè) AMULT UUTxyAN yAC，則上L()x y1A. 3B .-3【答案】B【解

6、析】/ GABC的重心,uuuuUUUulutULUT/ AMxAB,ANyAC ,C.2ULUTAG1 TUT -AB1 UJU AC ,33UULT1 uuuu AM1 UULT AN ,AG3x3y1，解得丄x y又 G , M , N三點共線,1 13x 3y3若O為 ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足UUU UUUT UUU UULT |OB OC | | OB OCUUT2OA|，則 ABC的形狀為（A 等腰直角三角形B 直角三角形C.等腰三角形D .等邊三角形【答案】B【解析】/UUU OBUULTOCUUUUUUCB , OBUUTOCUUU2OAUUUOBUUU OAUUTOCUU

7、UOAUUU ABUULTAC ,UUUUUUUULTUUUUULTUUUUUT原式化為|CB| ABAC |，即ABAC| ABAC |對角線構(gòu)成平行四邊形為矩形,（sin 20 ,cos20 ），若t是實數(shù)，且u a tb，則| u |的最小值 ABC為直角三角形.為（）A.2B . 1c. 1D .22【答案】C【解析】/ a(cos 25 ,sin 25 ) , b(sin 20 ,cos 20 ),4.已知向量 a (cos25 ,sin 25 ) , b u a tb (cos25tsin 20 ,sin 25 t cos20 ) | u | .(cos25 tsin 20 )2

8、(sin 25tcos20)2、1 t2 2tsin455.已知非零向量on2當t丄2時取等號.222uuuuiuruuuBCuuu uuuruub虛）0 且-ABACL 1|AB|AC |AB | |AC|2B 直角三角形，則 ABC為（uunuuirAB與AC滿足(A 三邊均不相等的三角形D .等邊三角形C.等腰非等邊三角形【答案】Duuuuuur【解析】/ （-ABL -ACC-） BC O： A的角平分線與BC垂直，即AB AC ,|AB| |AC|uuuuuA ABAC1 An，即 BC八n又 cosA -A -,|AB|AC|2，33故三角形為等邊三角形.uuuruuuuuuuuu

9、uuur116.在 ABC 中，3ANNC ,P線段BN上的一點，且APmABnAC (m 0, n 0)，貝y-m n的最小值時，a （m, n）的模為（)A .乏B.5c.D.2466【答案】Cuuuruuuruuuuuuruuuuuuuuuruuuuuuuuir【解析】/ 3ANNC , AC4AN ,- APmABnAC , APmAB4nAN B,P,N 三點共線， m 4n 1,即 1 1 (丄!)(m 4n) 5 m 4n 9,m nm nnmm4n11當且僅當一，即nm -時取等號，nm631 1/ 1 21 2- a(；,；)，可得a（匚）3 6Y 366uuuuuu uuu

10、uiuruiuruuu7.在平面內(nèi)有 ABC和點0 ,若AB(OA OB) AC(OCOA)0，則點O是厶ABC的（)A .重心B.垂心c.內(nèi)心D.外心【答案】Duuu uuuuuuUULTUULTuuuuuuuuuuuuUULTUUUTuuu【解析】/ AB (OAOB)AC(OCOA)0,ABOBOA ,ACOCOA ,uuuuuu uuuuuuUULTUUUuuuUULT (OBOA) (OAOB)(OCOA)(OAOC)0 ,UUU2 即OAUUU2OBuuuUUIT2OC，可得OAUUUOBUUjrOC，故O是厶ABC的外心.8 O是平面上定點,UUUA,B,C是平面內(nèi)不共線三點，動

11、點P滿足0PUUUOAUUU(關(guān)|AB|UULT爲)，0,則P的軌跡一定通過 ABC 的(A .外心B .內(nèi)心C.重心垂心【答案】【解析】UUU設(shè)(-UUTL)|AB|UUJT UUUAB為AB上的單位向量,UUTAC UUUUUULT(-UU4) AC為AC上的單位向量, ACUUU貝 y(-UUU-|AB|UJIT-UUL)的方向為I ACUULTBAC的角平分線 AD的方向,0,所以UUU(UUU|AB|UUITUUU 由OPUJUOAUJU(閹I AB|UUUTUULTAC、1 / ABACUUUT )與(UUTuuurI AC I I AB I IAC|）的萬向相同,UUjrACUU

12、U-AU#)，可得 AP I AC |uuuUuur/ AB AC 、I UUUJUUU),AB| |AC9.已知點O是平面上一個定點，A、B、C是平面內(nèi)不共線三點，動點PuuuUULTuuuuuuABAC滿足OPOA(uuuUUUT),R ,則動點P一定通過 ABC的（)AB I cos BI AC IcosCA .內(nèi)心B .外心c.重心D .垂心【答案】DuuuUULTuuuuuuUUU,ABAC【解析】/APOPOA(uuuUUUT),AB I cos BI AC I cosCUJUuuuUULT UULTUUU UULTABBCAC BCUULTuuu AP BC(uuu-UtUT)(

13、IBCIIBCI )0 ,AB IcosBI AC I cosC ABC的內(nèi)心，故選B .所以點故P的軌跡一定是通過UUTP在AD上移動,10.在平行四邊形ABCD中，E,F分別是BC , CD的中點,uuuDE交AF于點H，記ABuura, BC b,uuuuuu可得APBC，即點P在BC邊的高上，故點 P的軌跡經(jīng)過 ABC的垂心.UULT則 AH ()4b24U24U24UB. - abC.abD .ab555555【答案】B【解析】如圖,E, F分別是BCCD的中點，A,H,F三點共線,存在實數(shù)mUULT 使得AHUJUr mAFUUU m(ADUurDF)UUU m(BC1 UUU2A

14、B)UUU m UUUmBC 2ab， D,H,E三點共線，.存在實數(shù),，且UurUuruuu使得AHADAELUUBCUUU 1 UUU(AB 2BC)(UJU2)bcUUU AB ,m2“ m34即，解得,m2551Uur 故AH4 UUU -BC52 uuuAB54b.11.如圖，在厶ABC中,uur uju BF CF 1 ,uuu UUUD是BC的中點，E , F是AD上的兩個三等分點，BACA 4 ,uuu uuu則BE CE的值是（）C. Luur BAuuu(b a, c) , CA(buuu ba, c) , BF (33c uuua,3) , CF3a,3)A. 4【答案】

15、C【解析】以D為原點，BC為x軸，BC的垂線為y軸，建立坐標系,b c2b 2c設(shè) B( a,0) , C(a,O) , A(b,c)，則 F(?3), E(石，石),3 33 3uuuuuu 4b224c27即BECEa299812.已知舊O是厶ABC的外心，AB 2a,則的最小值為()A. 2B. 4【答案】A2uuiTuuuuuuAC -, aBAC 120，若 AOABAC ,C. 5D. 2-LuuuBE晉礙),uuu CEa，uuuuuuuuumm丁 BACA4 , BFCF1 , b22 ac24,丄22 c a1，解得a2, b2c2459988【解析】如圖，以AC所在直線為x

16、軸，過點A作BC的垂線為y軸，建立直角坐標系,則 A。）, B（為）,C（|,。），uuu AB(a,、3a),UULT ACUULTuuuUUUTAOABAC ,12 aaa3a41/12-(Z-a33 a2求出兩直線的交點坐標即圓心坐標2.3a3即2 （當且僅當)(-,0)a二、填空題13.設(shè) 0n，向量a【答案】【解析】又 cos0 , 2sina1 73 2y3a 3auurAO(a解得12a33a3a2(sin 2 ,cossin 2 coscos ,14. O是厶ABC所在平面上的一點,【答案】等腰uuu uuut uuu uur【解析】/ (OB OC) (OB OCcos即ta

17、nuuu 若(OBuuu2OA)1時,取等號）(cos ,1)，若a/ b，則tan12 .UUUTOC)uuu ULUT(OB OCuuu2OA) 0，則 ABC 是三角形.uuu uur uuu uuu uuur uuu (OB OC)(OB OA) (OC OA)uuuuuruuruuiruuuuuuuuir(OBOC)(ABAC)CB(AB AC)uuuuuruuruuiruuu2 uur 2(ABAC)(ABAC)|AB|I AC |0 ,UJU uuirIAB| |AC|. ABC為等腰三角形.15.設(shè)a b c 0 , c 2J3, a b與c的夾角為120，則ta (1 t)b

18、的最小值為 3【答案】2【解析】/ a b c 0 , a b c,ujuluuuur又 a b與c的夾角為120，可作OA a , OB b , OC c ,uur如圖所示，令OD ta (1 t)b ,/ t (1 t) 1,. A, B,D 三點共線，uur由圖可知當OD AB時，OD ta (1 t)b的值最小，c243, ta (11t)b的最小值為|c sin6016如圖，AB是半徑為3的圓O的直徑，P是圓O上異于的A, B一點，Q是線段AP上靠近A的三等uur uuu分點，且AQ ABuuu uuu4，貝y BQ BP的值為【答案】24【解析】如圖，以O(shè)點為坐標原點， AB所在直

19、線為x軸，建立直角坐標系,則圓 O : x2 y29，設(shè) P(3cos ,3sin ) , A( 3,0) , B(3,0),(5 cos )(3cos 3) 3sin Q是線段AP上靠近A的三等分點，UULTuuu即AQ(1cos,sin),AB(6,0),uuuruuu1AQAB4 , 6(1cos )4，解得cos3uuuuuu即BQBP(5cos,sin )(3cos3,3sin)umr i uuuAQ 3ap，解得 Q( 2 cos，sin )，22918cos 15 3cos 3sin118 18cos 18 18 ( -)24,3uuur uuu故BQ BP的值為24 .三、解答題17.已知向量 a (sin x,cos x)， b (sin x,sin x)， c ( 1,0).n(1 )若x，求向量a、c的夾角；3(2)求函數(shù)f (x) a b的圖象的對稱中心與對稱軸.5n” 亠、 k n n 1k n 3 n【答案】(1); (2)對稱中心：，一，k Z，對稱軸：x, k Z .6 2 8 2 2 8【解析】(1)設(shè)向量a、c的夾角為. n .當 x 時，a(1,0) , cos.3:Ja c 2|a| |c| TT又 0n, .5 n即向量6a、c的夾角為(2)由題意得f (x)2a b sin xsinx cos x -,nn