數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文18974

1、題目： 行列式的計(jì)算目錄摘要 2引言 3一、行列式的定義和性質(zhì) 31、行列式的定義 32、行列式的性質(zhì) 5二、行列式計(jì)算的若干方法 81、化三角形法 8 2、降階法（按行（列）展開法） 14 3、升階法（加邊法） 18 4、拆分法 19 5、泰勒公式法 21 6、利用范德蒙行列式 23 7、導(dǎo)數(shù)法 24 8、積分求行列式 25 9、行列式乘積法 27 10、遞推法 29 11、數(shù)學(xué)歸納法 32 12、循環(huán)矩陣的行列式的計(jì)算方法 35 13、利用矩陣行列式公式 39 14、利用方陣特征值與行列式的關(guān)系 40結(jié)束語 42參考文獻(xiàn) 43行列式的計(jì)算摘要：行列式是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)基本的概念。求解行列式是

2、在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中遇到的基本問題，每一種復(fù)雜的高階行列式都有其獨(dú)特的求解方法。本文主要介紹了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如：化三角形法、降階法、升階法、泰勒公式法、范德蒙行列式等十多種方法。并對(duì)相應(yīng)例題進(jìn)行了分析和歸納，總結(jié)了與每種方法相適應(yīng)的行列式的特征。關(guān)鍵詞：行列式，定義，計(jì)算方法。the calculation of determinantxu yuanjiao（department of mathematics bohai university liaoning jinzhou 121000 china）abstract: the determinant is

3、 a basic concept of higher mathematics. the solution of determinant is the basic question, and each kind of complex higher order determinant has its special solution method. this paper mainly introduces the methods for calculation of determinant. for example, the triangle method, rise-lower method,

4、analyzes the law, taylor formula, vandermonde determinant, and so on. the paper also analyzes the corresponding examples, and summarizes the characteristic of determinants corresponding to each method.key words: determinant, definition, calculation.引 言行列式是高等代數(shù)中的重點(diǎn)部分，講到行列式,我們通常會(huì)聯(lián)想到用克蘭姆法則求解線性方程組.但是行列式

5、的作用不僅僅只用于求解線性方程組.在解析幾何中,用行列式方法可以判別三點(diǎn)共線和三向量共面、計(jì)算平行六面體的體積等等.它不僅是研究線性方程組基本工具，也是討論向量矩陣和二次型的重要工具之一。而且在科技領(lǐng)域中得到廣泛的應(yīng)用。因此行列式有著重要的作用，當(dāng)然行列式的解法也有著不可替代的作用。本文將歸納和總結(jié)各種行列式的計(jì)算方法與技巧，通過進(jìn)行討論這些方法和技巧也將深刻理解數(shù)學(xué)中的相關(guān)知識(shí)。這些方法與技巧也許不能包含所有解法，隨著知識(shí)的發(fā)展我們相信還會(huì)有更好的，更新的方法來解決行列式的計(jì)算問題。一、 行列式的定義和性質(zhì) 1、行列式的定義行列式的定義為： 。也就是說級(jí)行列式等于所有取自不同行不同列的幾個(gè)元

6、素的乘積的代數(shù)和。這里是1,2的一個(gè)排列，當(dāng)是偶排列時(shí)，式取正號(hào)，當(dāng)是奇排列時(shí)式取負(fù)號(hào)。定義法是計(jì)算行列式的根本方法，對(duì)任何行列式都適用。例1：計(jì)算分析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，在展開式中應(yīng)該有項(xiàng)，但由于出現(xiàn)很多的零，所以不等于零的項(xiàng)數(shù)就大大減少。具體的說，展開式中的項(xiàng)的一般形式是。顯然，如果，那么，從而這個(gè)項(xiàng)就等于零。因此只須考慮的項(xiàng)，同理只須考慮的這些項(xiàng)，這就是說，行列式中不為零的項(xiàng)只有，而，所以此項(xiàng)取正號(hào)。故解： 例2：計(jì)算行列式。解： 。例3：計(jì)算分析：展開式中的項(xiàng)的一般形式是，在行列式第行中的元素除去的外全為零。因而，只要考慮的那些項(xiàng)。在第行中，除去外。其余的項(xiàng)全為零。因而只有和這兩種可

7、能，由于，所以只能取，這樣逐步推上去，不難看出，在展開式中除去一項(xiàng)外，其余的項(xiàng)全是零，而這一項(xiàng)的列指標(biāo)所成的排列為偶排列，故解：由上面的例子我們看到當(dāng)行列式中含有很多的零元素時(shí)，用定義法可以減少相加的項(xiàng)而使計(jì)算變得簡(jiǎn)單。我們知道階行列式是由項(xiàng)組成的，當(dāng)行列式中元素只有幾個(gè)為零或全都不是零，且時(shí)，用定義法計(jì)算行列式是相當(dāng)復(fù)雜的。所以我們要掌握一些特殊的求高階行列式的方法。2、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式行列互換，行列式的值不變，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式的值相等。設(shè)行列式若行列式中則稱反對(duì)稱行列式。利用反對(duì)稱行列式的性質(zhì)及性質(zhì)1也可以解一些特殊的行列式。例4：計(jì)算分析：這是一個(gè)5級(jí)反對(duì)稱行列式，將其

8、每一行都乘以（1）則可得到它的轉(zhuǎn)置行列式，故解：我們可以證明，對(duì)于任何的奇數(shù)級(jí)反對(duì)稱行列式均有，但要強(qiáng)調(diào)指出，這個(gè)性質(zhì)只適用于奇數(shù)級(jí)反對(duì)稱行列式，而對(duì)于偶數(shù)級(jí)反對(duì)稱行列式一般沒有這個(gè)結(jié)論。行列式性質(zhì)4：如果行列式中有兩行（列）相同，那么行列式為零。行列式性質(zhì)5：如果行列式中兩行（列）成比例，那么行列式為零。由這兩條性質(zhì)，在行列式的求解過程中，若能判斷行列式符合上面的性質(zhì)，則不論多么復(fù)雜的行列式，我們都可以直接判斷它為零，而不需要化成別的簡(jiǎn)單的形式進(jìn)行計(jì)算。例5：計(jì)算分析：這個(gè)行列式看起來比較復(fù)雜，但稍加分析便會(huì)發(fā)現(xiàn)，行列式的后三列元素展開后對(duì)應(yīng)的成二階等差數(shù)列，故做兩次減法后便會(huì)出現(xiàn)相同的項(xiàng)。

9、解：從第四列起，第列減前一列，得新行列式后，后三列再依次做差。例6：計(jì)算階行列式解:將第一行的（-1）倍加到第2，3，行，得當(dāng)3時(shí)，由于上式右端的行列式中至少有兩行成比例，故=0.當(dāng)=1時(shí)，；當(dāng)=2時(shí)，例 7：計(jì)算行列式解：設(shè)，則所以有因子。又由于行列式的定義知應(yīng)為4次多項(xiàng)式，即。令代入上式兩端，可算出，故注：中的待定常數(shù)可確定如下：中含有的項(xiàng)為與，所以的系數(shù)為-3，左右兩邊比較系數(shù)得。二、行列式計(jì)算的若干方法1、化三角形法由定義法的例子我們看出，如果行列式可以化成上（下）三角形，那么它的值的絕對(duì)值就是主（次）對(duì)角線上元素的乘積，值的符號(hào)由列指標(biāo)的奇偶性來判斷。從而，我們得出求高階行列式的一種

10、常用的方法化三角形法。能化為三角形的行列式主要有以下幾種：（1）比例相加法。行列式對(duì)角線以下（上）的元素與行列式中某一行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例。這樣的行列式，只要把行列式的某一行（列）乘的適當(dāng)倍數(shù)加到其它行（列），即可化為三角形。例8：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線下方的元素與第一行元素對(duì)應(yīng)相同，故用第一行的（1）倍加到下面各行便可使主對(duì)角線下方的元素全部變?yōu)榱恪＝猓簩⒌牡谝恍械模?）倍分別加到第2,3（）行上去，可得（2）提公因式法（）。行列式各行（列）元素的和都相同，這一類行列式的計(jì)算方法是把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因數(shù)，便可轉(zhuǎn)化為（1）的形式或直接化為三角形的形式

11、。例9：計(jì)算分析：這是一個(gè)四級(jí)行列式，用定義法我們知道它的值是4！個(gè)項(xiàng)的和，能準(zhǔn)確的找出24項(xiàng)也是一件麻煩的事情，觀察行列式我們會(huì)發(fā)現(xiàn)它每行（列）的和都是111710，因此經(jīng)過變換提公因數(shù)后會(huì)出現(xiàn)全為1的一行（列），在化三角形法中，我們最愿意看到的就是一行（列）1，故解：把所有列都加到第一列，提公因數(shù)，得由此可見，用提公因數(shù)的方法計(jì)算某些行列式，可以減少計(jì)算量，降低出現(xiàn)錯(cuò)誤的可能性。我們?cè)賮砜匆粋€(gè)高階行列式的例子。例10：計(jì)算：分析：觀察行列式的特點(diǎn)，行列式每行的和都為，故可提出公因數(shù)使第一列全變?yōu)?，則便形成（1）的形式，同樣可以化為三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因數(shù)，得再將第一列的

12、倍分別加到第列，得（3）提公因式法（）。有些行列式，雖然各行（列）元素的和不相同，但第行（列）乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到第一行（列）后，也可以提出公因數(shù)或直接化為三角形。例11：計(jì)算分析：這是一個(gè)三階行列式用前面介紹的定義法便可求出結(jié)果，即雖然是三階行列式，但計(jì)算量也是相當(dāng)大的，仔細(xì)觀察行列式會(huì)發(fā)現(xiàn)，行列式三行的和都是1000的倍數(shù)，且后兩列的元素分別相差100，因此可以進(jìn)行變換，然后提出公因數(shù)，使計(jì)算簡(jiǎn)便。解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列減去第三列，則得d= =例12：計(jì)算階行列式（空白處全為0）分析：這個(gè)行列式中含有很多的零，但零的個(gè)數(shù)沒有多到可以直接用定義法簡(jiǎn)化所有的項(xiàng)的和，但觀察行列

13、式會(huì)發(fā)現(xiàn)除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有兩個(gè)元素，且在對(duì)角線下方，只有第一列元素不為零，故只要能把第一列中變?yōu)榱憔涂苫癁槿切巍＝猓寒?dāng)將的第列乘以加到第一列，則得當(dāng)某一個(gè)時(shí)，比如，則把按第列展開，可得（4）逐行（或列）相加（減）法。有的行列式的行（列）乘的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，逐行（列）相加（減）后，可化為前面的幾種形式，進(jìn)而化為三角形或直接化為三角形。例13：計(jì)算分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例題相似，但細(xì)看便會(huì)發(fā)現(xiàn)它們的不同，這個(gè)行列式前行的和雖然都相同，但卻是零，用提公因式法就沒有作用了，同時(shí)我們也可以看出，對(duì)角線上方的元素要全部化為零是比較容易實(shí)現(xiàn)的，故此題我們用逐列相加的方法。解

14、：將第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此類推，得例14：計(jì)算分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線上方的元素按列（行）成等差數(shù)列，而主對(duì)角線下方的元素按行（列）成常數(shù)列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素變?yōu)榱悖徊糠秩優(yōu)橄嗤?，從而更有利于化為三角形。一般的，若行列式?duì)角線兩側(cè)的元素有一定的規(guī)律，如：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列或相等時(shí)，用逐行（列）相加法可使行列式變的簡(jiǎn)單易算。解：從的第二行起，每行乘以（1）后加到上一行，則得從第一行開始，每行都減去下一行，又得以上的四種方法都是利用化三角形的方法來解求行列式，由定義法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于對(duì)角線上元素相乘時(shí)要注

15、意前面的符號(hào)，為了書寫結(jié)果簡(jiǎn)單，通常我們?cè)敢饫弥鲗?duì)角線元素的乘積來表示結(jié)果，但若化為次對(duì)角線乘積更簡(jiǎn)便的方法，只要注意結(jié)果的符號(hào)，化為次對(duì)角線元素的乘積也是完全正確可行的。2、降階法 （按行（列）展開法） 降階法與行列式按行（列）展開類似，使高階行列式用低階行列式來表示，逐步簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。設(shè)為階行列式，根據(jù)行列式的按行（列）展開定理有或其中為中的元素的代數(shù)余子式按行（列）展開法可以將一個(gè)階行列式化為個(gè)階行列式計(jì)算。若繼續(xù)使用按行（列）展開法，可以將階行列式降階直至化為許多個(gè)2階行列式計(jì)算，這是計(jì)算行列式的又一基本方法。但一般情況下，按行（列）展開并不能減少計(jì)算量，僅當(dāng)行列式中某一行（列）

16、含有較多零元素時(shí)，它才能發(fā)揮真正的作用。因此，應(yīng)用按行（列）展開法時(shí)，應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行（列）化為有較多的零元素，再按該行（列）展開。例15：計(jì)算行列式。 解：設(shè)原行列式為，按第五行展開得: 例16：計(jì)算20階行列式分析：這個(gè)行列式中沒有一個(gè)零元素，若直接應(yīng)用按行（列）展開法逐次降階直至化許許多多個(gè)2階行列式計(jì)算，需進(jìn)行次加減法和乘法運(yùn)算，這人根本是無法完成的，更何況是階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素，則很快就可算出結(jié)果。注意到此行列式的相鄰兩列（行）的對(duì)應(yīng)元素僅差1，因此，可按下述方法計(jì)算：解：例17：計(jì)算。 解：先將第行減去第+1行（=1，2，3，-1），然后再將第列分

17、別加到第1列，第2列，第-1列有，=。階行列式等于它的任意一行（列）各元素與其對(duì)應(yīng)代數(shù)余子式乘積的和。既行列式按一行（列）展開能將高階行列式化為階數(shù)比較低的行列式進(jìn)行計(jì)算，此法稱為降階法。這是一種計(jì)算數(shù)字行列式的常用的方法。值得注意的是在使用時(shí)應(yīng)先利用行列式的性質(zhì)，將某行（列）元素盡可能的多的消去零。然后再展開計(jì)算能更方便，對(duì)一些特殊構(gòu)造的行列式可以利用拉普拉斯定理降階計(jì)算。3、升階法（加邊法）有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把原行列式加上一行一列再進(jìn)行計(jì)算，這種計(jì)算行列式的方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。要根據(jù)需要和原行列式的特點(diǎn)選取所加的行和列

18、。加邊法適用于某一行（列）有一個(gè)相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分別為-1個(gè)元素的倍數(shù)的情況。加邊法的一般做法是：特殊情況取 或 當(dāng)然加法不是隨便加一行一列就可以了。那么加法在何時(shí)才能應(yīng)用呢？關(guān)鍵是觀察每行或每列是否有相同的因子。如下題：例18：計(jì)算階行列式：分析：我們先把主對(duì)角線的數(shù)都減1，這樣我們就可明顯地看出第一行為x1與x1,x2, xn相乘，第二行為x2與x1,x2, xn相乘，第n行為xn與 x1,x2, xn相乘。這樣就知道了該行列式每行有相同的因子x1,x2, xn，從而就可考慮此法。解：注意：在家一定要記住，加邊法最在的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，

19、就可利用行列式的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化計(jì)算的效果。4、拆分法有些行列式，當(dāng)把某一行（列）的每一個(gè)元素都看成兩個(gè)元素的和然后把原行列式拆成兩個(gè)行列式的和時(shí)，就可利用前面的方法來求解。例19：計(jì)算階行列式分析：觀察行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線上全為，兩側(cè)一側(cè)全為另一側(cè)全為，似乎可以逐行相加的方法，但只要在草紙稍加計(jì)算便會(huì)發(fā)現(xiàn)，逐行相加法并不能容易的計(jì)算出這個(gè)行列式，一般的，當(dāng)行列式主對(duì)角線元素相同，主對(duì)角線兩側(cè)元素分別全部相同時(shí)，我們用拆分法來解。解：按的第一列及第一行分別用拆分法，把拆成兩個(gè)行列式的和（2）由（1）、（2）兩式可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)用提公因數(shù)的方法通

20、常這類行列式我們分別按一行，一列拆分兩次，然后利用二元一次方程組來解出。5、泰勒公式法利用泰勒公式法計(jì)算行列式主要思路，根據(jù)所求行列式的特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的行列式函數(shù)，再把行列式函數(shù)按泰勒公式在某點(diǎn)展開，只要求出行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)即可。例20：求階行列式的值解：把看作的函數(shù)，記則將在處展開這里下面求的各階導(dǎo)數(shù)類似的有：遞推關(guān)系還可以推出： 代入在的泰勒公式有：如果則如果則令：得結(jié)論：只要行列式函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)比較容易計(jì)算，則應(yīng)用泰勒公式計(jì)算行列式就顯得十分簡(jiǎn)便。6、利用范德蒙行列式范德蒙行列式：例21：計(jì)算階行列式解：顯然該題與范德蒙行列式很相似，但還是有所不同，所以先利用行列式的性質(zhì)把它化為范德

21、蒙行列式的類型。先將的第行依次與第-1行，-2行，,2行，1行對(duì)換，再將得到到的新的行列式的第行與第-1行，-2行，,2行對(duì)換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第行與第-1行對(duì)換，這樣，共經(jīng)過次行對(duì)換后，得到上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的結(jié)果得： 7、導(dǎo)數(shù)法在分析討論函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)很有力的工具，在其它場(chǎng)合，導(dǎo)數(shù)也是非常有效的?，F(xiàn)在我們用導(dǎo)數(shù)來計(jì)算行列式。例 22：證明證明：令則f(x)為次數(shù)不超過次的的多項(xiàng)式且而易知從而有 （1） 其中（1）式用到了0點(diǎn)的泰勒展開式。8、積分求行列式此法適用范圍：把行列式某行某列改寫為定積分。交換積分計(jì)算與行列式計(jì)算次序后，所得行列

22、式比所求行列式簡(jiǎn)單。例23：求階行列式的值（為偶數(shù)）解：注意到從而，把行列式看作是另一個(gè)階行列式函數(shù)的定積分：即被積函數(shù)可看成一個(gè)階范德蒙行列式，利用這個(gè)公式我們可以得到（這里是與無關(guān)的整數(shù)）所以利用換元積分法作變換：（這里為偶數(shù)，所以為整數(shù)）所以（這里奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上積分為零）所以：所求行列式結(jié)論：只要把行列式的其中一行（或一列）表為定積分后交換積分與行列式的計(jì)算順序，如果計(jì)算簡(jiǎn)便，則便可利用行列式的積分計(jì)算。9、行列式乘積法兩個(gè)級(jí)行列式和的乘積等于一個(gè)級(jí)行列式其中是的第行元素分別與的第列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和，即：，利用行列式乘法的規(guī)則，我們可以把某些復(fù)雜的行列式化成兩個(gè)簡(jiǎn)單的行列式的乘積的

23、形式。例24：計(jì)算分析：觀察行列式，它的每個(gè)元素都可以分解為可分解為兩項(xiàng)乘積的和，故由乘法定義，我們可以把它分解。解：例25：計(jì)算分析：行列式的每項(xiàng)能化簡(jiǎn)成兩項(xiàng)乘積的和。解：10、遞推法應(yīng)用行列式的性質(zhì)，把一個(gè)階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式（比如，-1階或-1階與-2階等）的線性關(guān)系式，這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個(gè)低階初始行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給階行列式的值，這種計(jì)算行列式的方法稱為遞推法。當(dāng)行列式某一行（列）零元素比較多時(shí)，我們習(xí)慣按該行（列）展開，有時(shí)就能比較容易的求出行列式，比如：按第一列展開便得注意：用此方法一定要看行列式是否具有

24、較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話，即很難找出遞推關(guān)系式，從而不能使用此方法。例26： 證如下行列式等式：（雖然這是一道證明題，但我們可以直接求出其值，從而證之。）分析：此行列式的特點(diǎn)是：除主對(duì)角線及其上下兩條對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零，這種行列式稱“三對(duì)角”行列式。從行列式的左上方往右下方看，即知與具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計(jì)算。證明：按第1列展開，再將展開后的第二項(xiàng)中-1階行列式按第一行展開有：這是由和表示的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從階逐階往低階遞推，計(jì)算較繁，注意到上面的遞推關(guān)系式是由-1階和-2階行列式表示階行列式，因此，可考慮將其變形為：或現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階

25、，有：同樣有：因此當(dāng)時(shí)由（1）（2）式可解得：證畢。點(diǎn)評(píng)：雖然我們從一個(gè)行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu)，然后得到一遞推關(guān)系式，但我們不要盲目亂代，一定要看清這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式，如本題。利用數(shù)學(xué)歸納法的基本思想方法，建立遞推關(guān)系，即：找出與（）的遞推關(guān)系，再求出低階之間的相應(yīng)遞推關(guān)系，最后求出，也可進(jìn)一步用數(shù)學(xué)歸納法證明此遞推關(guān)系的正確性。 例27：計(jì)算階行列式。解： ，故 11、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種常用的證明方法，在行列式求解中也經(jīng)常用到，通常它與遞推法相結(jié)合，用遞推法得出遞推公式，再用數(shù)歸法加以分析，便可求出結(jié)果。一般地，如

26、果行列式對(duì)角線的元素全部相同，或只有一端的元素與其它不同，且對(duì)角線兩側(cè)，各有一列元素沿對(duì)角線方向相同，其余的全部為零，則這樣的行列式，用數(shù)學(xué)歸納法求解比較容易。例28：計(jì)算：并證明其結(jié)果。分析：行列式主對(duì)角線上的元素都為，兩側(cè)元素沿對(duì)角線方向都相等故行列式可由遞推公式表示出來。解：按第一列展開得： ，即有遞推關(guān)系式： ，為了得到的一般表達(dá)式，可先設(shè)，采用以下歸納法：，由此可以猜想：。待添加的隱藏文字內(nèi)容1證明：把第一行按行展開得遞推公式，當(dāng)時(shí)，命題成立當(dāng)時(shí)，命題成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即則當(dāng)時(shí)，綜上所述，由數(shù)學(xué)歸納法知，原命題成立。例29：證明分析：行列式主對(duì)角線上除外，余下各元素都相同，且

27、對(duì)角線兩側(cè)的元素沿對(duì)角線的方向?qū)?yīng)相等，故可用遞推公式表示出來。證明：按最后一行展開得當(dāng)時(shí)，命題成立。當(dāng)時(shí)，成立。假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，綜上所述，由數(shù)學(xué)歸納法知，原命題成立。12、循環(huán)矩陣的行列式的計(jì)算方法定義 1：設(shè)是個(gè)復(fù)數(shù)，稱矩陣a=，是以為元素的階循環(huán)矩陣。引理1：設(shè)是復(fù)數(shù)域上的階矩陣，是的特征值， 是復(fù)數(shù)域上的次多項(xiàng)式，則矩陣的多項(xiàng)式的特征值是。 定理1：設(shè)是以為元素的階循環(huán)矩陣，則矩陣的行列式其中是次單位根。 證明：取，因?yàn)?所以的特征值為的根，設(shè)為。 令則=由引理1知的特征值為，故而證畢。 推論1：設(shè)是以為元素的階循環(huán)矩陣，則可逆的充分與必要條件是與互素，即=1。 證明：

28、 由 可逆的充分與必要條件是，即與沒有公共根，從而=1，證畢。推論2：若與互素， 則,都與互素。 證明：因?yàn)榉謩e以的系數(shù)為元素的循環(huán)矩陣和以的系數(shù)為元素循環(huán)矩陣的行列式最多相差一個(gè)符號(hào)，由此推論1便可推出此推論。證畢。 推論3：,是的根則是整數(shù)且可被整除。 證明：由定理1, 是元素為整數(shù)的矩陣的特征值，從而是跡，且等于，故推論成立。證畢。 定義2：設(shè)是個(gè)確定復(fù)數(shù)，是任意確定的非零的復(fù)數(shù)，稱矩陣=為階循環(huán)矩陣，也稱廣義循環(huán)矩陣，簡(jiǎn)記為。注：定義2中的就是定義1。定理2：設(shè)階循環(huán)矩陣=,則矩陣的行列式其中是多項(xiàng)式的個(gè)不同的根。證明：令是多項(xiàng)式的個(gè)不同的根，則，令由 兩邊取行列式，再由行列式的性質(zhì)及，得證畢。例30： =,其中是的根，而，通過計(jì)算得：。例31：已知=，求矩陣的行列式：。 解：設(shè)，且令的根為，則由