第4章-3-環(huán)路定理+電勢剖析

1、第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 大學物理大學物理C期中考試通知：期中考試通知： 5月月10日日(星期日星期日)下午下午14:30-16:10 地點：地點：H1-103、H1-104（校園網(wǎng)自查座位號）（校園網(wǎng)自查座位號） 考試范圍：第一章流體力學考試范圍：第一章流體力學 第二章氣體動理論第二章氣體動理論 考試題型：判斷題考試題型：判斷題(要看清每個字要看清每個字)、單項選擇、單項選擇 題、計算題題、計算題(每章一題，難度小于每章一題，難度小于 等于作業(yè)題、課堂例題等于作業(yè)題、課堂例題) 考試形式：閉卷考試形式：閉

2、卷(不能帶計算器！不能帶計算器！) 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 前節(jié)回顧前節(jié)回顧 注意事項：注意事項：積分中的積分中的E E是曲面上各點的場強是曲面上各點的場強, ,它是空間全部電荷它是空間全部電荷( ( 曲面內(nèi)外曲面內(nèi)外) )共同產(chǎn)生的；總電通量只決定于曲面內(nèi)電荷共同產(chǎn)生的；總電通量只決定于曲面內(nèi)電荷, ,曲面外電曲面外電 荷對總電通量無貢獻；閉合曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，只說明通荷對總電通量無貢獻；閉合曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和為零，只說明通 過閉合曲面的電通量為零，曲面上各點的電場強度不一定為零。過閉合曲面的電通

3、量為零，曲面上各點的電場強度不一定為零。 高斯定理：在真空中，通過任一閉合曲面的電場強度通量高斯定理：在真空中，通過任一閉合曲面的電場強度通量, ,等于等于 該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和的該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和的1/1/ 0 0倍。倍。 n i i S qSE 1 0 e 1 d 數(shù)學表達式：數(shù)學表達式： 高斯定理應用高斯定理應用( (求電場強度求電場強度) )：前提是帶電體電荷分布必須具有一：前提是帶電體電荷分布必須具有一 定的對稱性定的對稱性: :球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等球?qū)ΨQ性、軸對稱性、面對稱性等 解題步驟為解題步驟為: :對稱性分析；根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面

4、；應用高對稱性分析；根據(jù)對稱性選擇合適的高斯面；應用高 斯定理計算。斯定理計算。 無限大均勻帶電平面的電場強度分布：無限大均勻帶電平面的電場強度分布： 勻強電場勻強電場 0 2 E 靜電場力所作的功靜電場力所作的功: : 1. 點電荷電場中移動試驗電荷點電荷電場中移動試驗電荷q0 0 0 0 11 () 4 B A r r AB qq Wq E dl rr 0 i l i Wq El d2. 任意帶電體的電場任意帶電體的電場(視為點電荷的組合視為點電荷的組合) 說明：電場力對電荷所作的功只與起點和終點的位置有關，與所說明：電場力對電荷所作的功只與起點和終點的位置有關，與所 經(jīng)歷的路徑無關；靜電

5、場力是保守力。經(jīng)歷的路徑無關；靜電場力是保守力。 0d lE 靜電場的環(huán)路定理：靜電場的環(huán)路定理： 說明：靜電場的電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零；靜電場說明：靜電場的電場強度沿任一閉合路徑的線積分為零；靜電場 是保守場。是保守場。 表征靜電場性質(zhì)的兩個方程表征靜電場性質(zhì)的兩個方程 （高斯定理、環(huán)路定理）（高斯定理、環(huán)路定理）: : 0 i i S q SE d 0 L lE d 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 三三. .電電 勢勢 能能

6、l類似于重力場和重力勢能，類似于重力場和重力勢能， l電荷在靜電場中的一定位置上具有一定的電荷在靜電場中的一定位置上具有一定的電勢能電勢能。 l靜電場力對電荷所做功等于電荷電勢能靜電場力對電荷所做功等于電荷電勢能增量的負值增量的負值 b ab a Wf dl a b 0 q E 如圖示點電荷如圖示點電荷q0在場中受力在場中受力Eqf 0 電場力作功以減小電勢能為代價電場力作功以減小電勢能為代價電場力作正功電場力作正功,電勢能減少電勢能減少 pa E和 pb E 分別為分別為q0在靜電場中的在靜電場中的a點和點和b點的點的電勢能電勢能； 0 b papb a qE dlEE 第七章第七章7-3

7、7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 勢能零點 a pa lEqE d 0 1. 若選若選b點的電勢能為參考零點點的電勢能為參考零點 則則 a點的電勢能：點的電勢能： 電勢能的量綱電勢能的量綱(能量的單位能量的單位)：SI制單位：制單位： J (焦耳焦耳); 表明：試驗電荷表明：試驗電荷q0在電場中某點在電場中某點電勢能電勢能，在數(shù)值上等于把，在數(shù)值上等于把q0 從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功從該點移到零勢能點處靜電場力所做的功 電勢能的大小是相對的電勢能的大小

8、是相對的(電荷在某點電勢能的值與零電勢電荷在某點電勢能的值與零電勢 能點選取有關能點選取有關,具有相對意義具有相對意義)，電勢能的差是絕對的，電勢能的差是絕對的(兩點兩點 的差值與零點選取無關的差值與零點選取無關)。 電勢能是電場和電場中的電荷電勢能是電場和電場中的電荷q0共同擁有的。共同擁有的。 與與q0、場源電荷、場源電荷q有關，還有關，還 與位置有關！與位置有關！ 選選勢能零點勢能零點原則：當原則：當( (源源) )電荷分布在有限范圍內(nèi)時，勢能零點電荷分布在有限范圍內(nèi)時，勢能零點 一般選無窮遠處。實際中取大地、儀器外殼等為勢能零點。一般選無窮遠處。實際中取大地、儀器外殼等為勢能零點。 第

9、七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 ba pbpa b a VV q E q E ldE 00 na點的電勢點的電勢:單位正電荷在該點處的電勢能；單位正電荷在該點處的電勢能； nVa,Vb與試驗電荷無關，反映了電場在與試驗電荷無關，反映了電場在a,b兩點的性質(zhì)兩點的性質(zhì); na,b兩點的電勢之差稱為兩點的電勢之差稱為a,b兩點的兩點的電勢差電勢差或電壓或電壓Uab 四四. . 電勢電勢 電勢差電勢差靜電場的矢量描述靜電場的矢量描述-電場強度電場強度

10、 靜電場的標量描述靜電場的標量描述-電勢電勢 00 q E V q E V pb b pa a baab VVU 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 a a lEV d 若選若選b點的勢能為參考零點點的勢能為參考零點(一般為無窮遠處一般為無窮遠處) 則則a點的電勢：點的電勢： 表明：表明： 1.電場中某點的電勢電場中某點的電勢Va，在數(shù)值上等于把單位正電荷從，在數(shù)值上等于把單位正電荷從 A點移到無窮遠處（零勢能處）時，靜電場力所做功；點移到無窮遠

11、處（零勢能處）時，靜電場力所做功； 2. 電勢是和檢驗電荷無關的。電勢是和檢驗電荷無關的。 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 電電勢零點的選擇勢零點的選擇( (參考點參考點): ): 電勢的量綱電勢的量綱: SI制：單位制：單位 V (伏特伏特) 1V=1J/C 源電荷為有限大小，一般以無窮遠為電勢零點。源電荷為有限大小，一般以無窮遠為電勢零點。 實際問題中常選擇地球電勢為零。實際問題中常選擇地球電勢為零。 無限擴展的源電荷無限擴展的源電荷(

12、(如無限長帶電圓柱面如無限長帶電圓柱面) )只能選只能選 在有限區(qū)域內(nèi)的任一點為電勢零點。在有限區(qū)域內(nèi)的任一點為電勢零點。 實際應用或研究電路問題時取大地、儀器外殼等實際應用或研究電路問題時取大地、儀器外殼等 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 一般情況下，電勢是場源電荷和空間位置的函數(shù)，當電勢一般情況下，電勢是場源電荷和空間位置的函數(shù)，當電勢 分布已知時，可以方便地求出電荷分布已知時，可以方便地求出電荷q0在電場中某點的電勢能在電場中某點的電勢

13、能 和在電場中移動電荷和在電場中移動電荷q0時靜電場力作的功。時靜電場力作的功。 電勢差是絕對的，與電勢零點的選擇無關；電勢差是絕對的，與電勢零點的選擇無關； 電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關。電勢大小是相對的，與電勢零點的選擇有關。 靜電場中靜電場中A、B兩點電勢差兩點電勢差UAB，在數(shù)值上等于把單位正電，在數(shù)值上等于把單位正電 荷從荷從A點移到點移到B點時，靜電場力所作的功。點時，靜電場力所作的功。 ABAB d AB UVVEl 2. 2. 電勢差電勢差U UAB AB=V =VA A-V-VB B 000 WqVqVqU ABABABa0pa VqE 第七章第七章7-3 7-3

14、靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 u點電荷場的電勢公式點電荷場的電勢公式( (最基本的公式最基本的公式) )： 球?qū)ΨQ球?qū)ΨQ 電勢是標量電勢是標量, , 正、負由正、負由q的正負而定的正負而定 （以無限遠為電勢零點）（以無限遠為電勢零點） 與半徑成反比；與半徑成反比； r ldE dr r q r 2 0 4 r q V 0 4 q Pr E l d P P l dEV rde r q r r 4 2 0 五五. . 電勢的電勢的計算計算 第七章第七章7-3 7-3 靜電

15、場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 電勢的疊加原理電勢的疊加原理-標量疊加標量疊加 i i i n i i i n i in r q r q VVVVV 00 21 4 1 4 . u1.1.點電荷系點電荷系( (q1,q2. qn), ,電場中任一點的電勢：電場中任一點的電勢： 為第為第i個電個電 荷到場點荷到場點P 的距離的距離 i r 在點電荷系的電場中，任一點的電勢等于各點電荷在點電荷系的電場中，任一點的電勢等于各點電荷 單獨存在時激發(fā)的電場在該點電勢的代數(shù)和。單獨存在

16、時激發(fā)的電場在該點電勢的代數(shù)和。 靜電場的電勢疊加原理靜電場的電勢疊加原理 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 r qd V 0 4 1 u 2. 2. 任意形狀有限區(qū)域電荷連續(xù)分布的帶電體，任意形狀有限區(qū)域電荷連續(xù)分布的帶電體， 在任意場點的電勢：在任意場點的電勢： r是電荷元是電荷元 到場點的距離到場點的距離 qd 分割成電荷元分割成電荷元dq, 對帶電體進行積分：對帶電體進行積分： r q dV d 4 1 0 V Q dq p 積分是對各

17、電荷元求和積分是對各電荷元求和 l S V d d d qd 體體 面面 線線 其步驟為：其步驟為： 將帶電體劃為許多電荷元將帶電體劃為許多電荷元dq(或或q)。 選擇無窮遠處為電勢零點，選擇無窮遠處為電勢零點， 寫出電荷元寫出電荷元dq( (或或 q) )在場點的電勢在場點的電勢dV( (或或 V ) ) 。 由電勢疊加原理求由電勢疊加原理求V。 1. 1. 利用電勢疊加原理求解利用電勢疊加原理求解 六六. . 電勢的計算方法電勢的計算方法 計算電勢常用的方法有兩種。計算電勢常用的方法有兩種。 1.1.電勢疊加原理電勢疊加原理 2.2.由電勢的定義求由電勢的定義求 00 1d1 44 qq

18、VV rr 或 前提：已知空間電荷的分布前提：已知空間電荷的分布 例：例：點電荷點電荷q1， ，q2，q3，q4, 各為 各為4.010-9C，放置在正方形的四個，放置在正方形的四個 頂角上，各頂角與正方形中心頂角上，各頂角與正方形中心O的距離為的距離為5.0cm。 (1)計算計算O點電勢；點電勢； (2)將試驗電荷將試驗電荷q01.010-9C從無窮遠處移到從無窮遠處移到O點，電場力作點，電場力作 功多少？功多少？ (3)電電 勢能改變多少？是增加還是減少？勢能改變多少？是增加還是減少？ 解解:(1):(1)根據(jù)電勢疊加原理，四個電荷在中心根據(jù)電勢疊加原理，四個電荷在中心O O點產(chǎn)生的電勢相

19、等點產(chǎn)生的電勢相等 (V)102.7 100.5 100.4 100.9 r4 q U 2 2 9 9 0 i O O點的總電勢：點的總電勢：(V) 32 1088210274 .UU i (2).(2).電場力作的功電場力作的功 (J) 6- 10882 1088201001 39 0 . .UUqA o (3).(3).電場力作負功，電勢能增加了電場力作負功，電勢能增加了 -6 2.88 10焦 例例4-12. 正電荷正電荷q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為R的細圓環(huán)上的細圓環(huán)上。求圓環(huán)軸線上求圓環(huán)軸線上 距環(huán)心距環(huán)心O為為x處點處點P的電勢的電勢。 解解 在環(huán)上取小段在環(huán)上取小段dl，電

20、荷元：，電荷元： 2 ddd q qll R 00 11 442 q lq V rrR P dd d 22 0 0 0 1 1 42 424 lll q lqq VVl rR rRxR P d dd = o x R q x r P dq 0 00 0 44 P qq xVxRV Rx ，類似于類似于 點電荷點電荷 2. 2. 由電勢的定義求解：由電勢的定義求解： 確定電場強度確定電場強度 的分布。的分布。 選擇電勢零點和積分路徑，其原則是使計算盡選擇電勢零點和積分路徑，其原則是使計算盡 量簡便。量簡便。 由由 (零電勢參考點零電勢參考點)計算計算VA 。 E 0 A d V A VEl 前提：

21、已知空間的電場強度分布。其步驟為：前提：已知空間的電場強度分布。其步驟為： Q R re ro AB A r r B r dr 令令V=0=0，并沿徑向積分。，并沿徑向積分。 任一點任一點P P的電勢的電勢VP 例例4-10 4-10 求：均勻帶電球殼在空間的電勢分布。求：均勻帶電球殼在空間的電勢分布。 真空中一半徑為真空中一半徑為R，帶電帶電Q的球殼。試求：的球殼。試求： (1)(1)球殼外任意點的電勢球殼外任意點的電勢? ? (2)(2)球殼內(nèi)任意點的電勢球殼內(nèi)任意點的電勢? ? (3)(3)球殼外兩點間的電勢差球殼外兩點間的電勢差? ? (4)(4)球殼內(nèi)兩點間的電勢差球殼內(nèi)兩點間的電勢

22、差? ? 解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得： 2 0 0 1 4 r r R Q E er R r 22 00 0 1 0 44 4 PP P P ddd d dd R AR R r RR rRVE rE rE r r QQr rer r rr Q R 2 0 2 00 1 4 44 PP PP P P ddd d r A Q R rVE rE rer rr r QrQ r rr 球內(nèi)是一個等勢體球內(nèi)是一個等勢體 球殼外任意點：球殼外任意點： 球殼內(nèi)任意點：球殼內(nèi)任意點： Q R re ro AB A r r B r dr 可見帶電球殼為一等勢體，即球可見帶電球殼為一等勢體，即球 殼內(nèi)各處

23、電勢與球殼表面電勢相等。殼內(nèi)各處電勢與球殼表面電勢相等。 均勻帶電球殼內(nèi)、外的電勢分布均勻帶電球殼內(nèi)、外的電勢分布 曲線如圖所示。曲線如圖所示。 00 (2) 0 44 r R QQ UVV RR ABAB r o V 0 4 Q R R 0 4 Q r 球殼外兩點間的電勢差：球殼外兩點間的電勢差： 000 11 (1)() 444 QQQ r RUVV rrrr ABAB ABAB ， 球殼內(nèi)兩點間的電勢差：球殼內(nèi)兩點間的電勢差： Q R re ro AB A r r B r dr 例例4-11 4-11 無限長均勻帶電直線。其電荷線密度為無限長均勻帶電直線。其電荷線密度為， 求：求：P點的

24、電勢；點的電勢； 解解 由高斯定理可得：由高斯定理可得： 0 2 r Ee r P re ro B r B r dr 取取B B點為零電勢的參考點，點為零電勢的參考點， 即即VB=0=0。沿直線徑向積分。沿直線徑向積分。 任一點任一點P P的電勢的電勢VP為為: : 00 ln 22 B P P BB P P dd d AB r r VE rE r r rr er r rr 0 ln 2 B P r V r 即： 六六. 電場強度和電勢的關系電場強度和電勢的關系 1.1.等勢面：等勢面：電場中電勢相等的點連成的面稱為電場中電勢相等的點連成的面稱為 等勢面。等勢面。 3. 3. 等勢面的性質(zhì)：等

25、勢面的性質(zhì)： 電場線處處垂直等勢面；電場線處處垂直等勢面； 電場線指向電勢降低的方向；電場線指向電勢降低的方向； 等勢面較密集的地方場強大，稀疏的地方場強小。等勢面較密集的地方場強大，稀疏的地方場強小。 r Q V 0 4 2.2.點電荷的電勢：點電荷的電勢： 場強：電場線場強：電場線 電勢：等勢面電勢：等勢面 點電荷的電場線與等勢面點電荷的電場線與等勢面 + 第七章第七章7-3 7-3 靜電場的高斯定理靜電場的高斯定理 第第4章章-3-環(huán)路定理環(huán)路定理+電勢剖析電勢剖析 平行板電容器的電場線與等勢面平行板電容器的電場線與等勢面 + 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第

26、四章第四章 關于等勢面的說法，下列哪些說法是正確的（）關于等勢面的說法，下列哪些說法是正確的（） A A等勢面和電場線處處垂直等勢面和電場線處處垂直 B B同一等勢面上的點場強大小必定處處相等同一等勢面上的點場強大小必定處處相等 C C電荷所受電場力的方向必和該點等勢面垂直，并指向電勢升高的方電荷所受電場力的方向必和該點等勢面垂直，并指向電勢升高的方 向向 D D電荷從電場中一點移到另一點，電場力不做功，電荷必在同一等勢電荷從電場中一點移到另一點，電場力不做功，電荷必在同一等勢 面上移動面上移動 A A、電場線與等勢面相互垂直且由高電勢指向低電勢，故、電場線與等勢面相互垂直且由高電勢指向低電勢

27、，故A A正確正確 B B、同一等勢面上各點的電勢相等，但場強不一定大小相等，等勢面、同一等勢面上各點的電勢相等，但場強不一定大小相等，等勢面 越密，場強越大，故越密，場強越大，故B B錯錯 C C、電場線與等勢面相互垂直，電場線由高電勢指向低電勢，電荷所、電場線與等勢面相互垂直，電場線由高電勢指向低電勢，電荷所 受電場力的方向與電場線在同一條直線上，正電荷所受電場力與場受電場力的方向與電場線在同一條直線上，正電荷所受電場力與場 強方向相同，負電荷所受電場力的方向與電場線的方向相反，故強方向相同，負電荷所受電場力的方向與電場線的方向相反，故C C錯錯 D D、電荷從電場中一點移到另一點，電場力不做功，則初末位置電勢、電荷從電場中一點移到另一點，電場力不做功，則初末位置電勢 相同，但不能確定軌跡是否在同一等勢面上，故相同，但不能確定軌跡是否在同一等勢面上，故D D錯錯 第三節(jié)第三節(jié) 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 電勢電勢 第四章第四章 E l 方向方向 l E l V El dlEqldEqdW l 00 0 (d)=dWq VVVq dV n e P E n l Q l V dVV 電場強度在電場強度在 l 方向的投影（分量）等于電勢