湖南大學(xué)《隨機過程》課程習(xí)題集

1、湖南大學(xué)本科課程隨機過程習(xí)題集主講教師：何松華教授第一章：概述及概率論復(fù)習(xí)設(shè)一批產(chǎn)品共50個，其中45個合格，5個為次品，從這一批產(chǎn)品中任意抽取 3個，求 其中有次品的概率。設(shè)一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中任取一個零件，取出的零件不再放 回，求第3次才取得合格品的概率。設(shè)一袋中有N個球，其中有M個紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個球，求乙取 得紅球的概率(甲取出的球不放回)。設(shè)一批產(chǎn)品有N個，其中有M個次品，每次從其中任取一個來檢查，取出后再放回， 求連續(xù)n次取得合格品的概率。設(shè)隨機變量X的概率分布函數(shù)為連續(xù)的，且F(x)A Be x x 00 x 0其中0為常數(shù)，求常數(shù)A、

2、B的值設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為F (x) A Barctg(x) (- x0), 求丫的概率密度分布。設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為fxY(x, y) Asin(x y) (0 x ,0 y -)2 2(1)求系數(shù)A，(2)求數(shù)學(xué)期望EX、EY，方差DX、DY; (3)求X、丫的相關(guān)函數(shù)及相 關(guān)系數(shù)。設(shè)X為拉譜拉斯隨機變量，fX(x) e兇(- x ) (0);求：(1)X的特征函數(shù)，2(2)利用特征函數(shù)求X的均值與方差，(3)討論特征函數(shù)實部與虛部的奇偶性。第二章：隨機過程的基本概念某公共汽車站停放著兩輛公共汽車 A、B，從t=1s開始，每隔1s有一名乘客到達車站。 如果每名乘客以概

3、率1/2登上A車，以概率1/2登上B車，各乘客登上哪輛車是相 互獨立的，用Xj表示第j秒到達的乘客的登車狀態(tài)，即登上 A車則Xj=1，登上B車 則Xj=0；設(shè)t=n時A車上的乘客數(shù)為Yno (1)求離散時間隨機過程 Yn的一維概率分 布率；(2)當(dāng)公共汽車A上的乘客達到10個時，A即開車，求A車出發(fā)時刻n的概 率分布。一個正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數(shù)變化的影響，其輸出的正弦波可 以看作一個隨機過程X(t) Acos( t )，其中A、為相互獨立的隨機變量，且fA(a)2a/A020a (0,人) otherwise1/1000(250,350) otherwise1/ (2 f

4、 ( )1/(02(0,2 )otherwise求隨機過程X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。用一枚硬幣擲 1 次的試驗定義一個隨機過程cos(X(t)cos2(tt)出現(xiàn)正面 出現(xiàn)反面設(shè)“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為1/2。 確定X(t)的一維分布函數(shù)Fx(x,1/2)、Fx(x,1); 確定X(t)的二維分布函數(shù)Fx(xi, x?;1/2,1); (3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。設(shè)隨機過程Z(t) Xcos( t) Ysi n( t) ( - t )，其中0為常數(shù)，X、Y為相互獨立的隨機變量，概率密度分布函數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(即均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1)。若將Z(t)寫成Z(t) Vcos(

5、 t ) ,(1)求隨機變量V、的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)， 問二者是否統(tǒng)計獨立 (2)求隨機過程的一維概率密度分布函數(shù)。求 4 題所給出的隨機過程的均值及相關(guān)函數(shù)， 并判斷該隨機過程是否為廣義平穩(wěn)隨機過 程。設(shè)某信號源每T(s)產(chǎn)生一個幅度為A的方波脈沖，脈沖寬度X為均勻分布于0,T的隨機 變量。這樣構(gòu)成一個隨機過程 丫(t)(Ot)。設(shè)不同的脈沖是統(tǒng)計獨立的，求隨機過程 丫(t) 的一維概率密度分布函數(shù)。設(shè)隨機過程X(t)=Ycos(t) (-t0)，輸入平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為Rx( ) e 11 ( 0)，求輸入輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的輸出為輸入的延遲，延

6、遲時間為，試用輸入隨機過程的相關(guān)函數(shù)Rx()來表示輸出隨機過程的相關(guān)函數(shù)以及輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。設(shè)線性時不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H(j ) j，輸入平穩(wěn)隨機過程的X(t)的自相關(guān)函j數(shù)為Rx( ) e v| 1，試求輸入輸出隨機過程之間的互相關(guān)函數(shù)。設(shè)輸入隨機過程的自相關(guān)函數(shù)為 No ()，理想窄帶放大器的頻率特性為22 |H(j )(0亍)，求該放大器輸出信號的總平均功率。如圖所示的RL電路，輸入X(t)是物理功率譜密度為 N0的隨機過程，試用頻域法求 Y(t)oY(t)的自相關(guān)函數(shù)Ry()O1_RX(t)Nc如圖所示系統(tǒng)，輸入隨機過程的 功率譜密度函數(shù) 為常數(shù)，Gx( )0，試用頻譜法

7、求2輸出隨機過程Z(t)的均方值。零均值平穩(wěn)隨機過程 X(t)加到一個線性濾波器，濾波器的沖激響應(yīng)是指數(shù)函數(shù)的一段, 即h(t)e 0 t T0 otherwise試用Gx()來表示輸出隨機過程丫(t)的功率譜密度。t設(shè)積分電路輸入輸出之間滿足如下關(guān)系Y(t) t tX( )d，其中T為常數(shù)，且X(t)、Y(t)均為平穩(wěn)隨機過程，求二者功率譜密度之間的關(guān)系。線性時不變系統(tǒng)的輸入 X(t)、輸出丫(t)為平穩(wěn)隨機過程，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為H(j)，求證：Gyx( ) H(j )Gx( )、Gy( ) H*(j )Gyx()對于圖示單輸入、多輸出線性時不變系統(tǒng)，求證：輸出Yi(t)、Y2(t)的互功率譜

8、密度為Gyy2( ) Hi(j )H2*(j )Gx()。JkH1(j)X(t)kH2(j)Yi(t)Y2(t)設(shè)具有功率譜密度函數(shù)Gx( )( 23)/( 28)的某平穩(wěn)隨機過程通過某線性系統(tǒng)后，輸出隨機過程的功率譜密度函數(shù)為 Gy( ) 1，求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。已知平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)函數(shù)為：Rx( )2(1|) (| | 1/ )；(1) Rx()2e；0。分別求其等效通能帶。(注：此題應(yīng)放在第4章)1X(t)x給定實數(shù)x，定義理想門限系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為丫C，證明:0X(t)xEY(t)Fx(x) ;(2)R(，求丫的合理估計值。一個高斯隨機過程的均值函數(shù)為mX(t) 2、協(xié)方差函數(shù)為K

9、X(t1,t2)8cos (t1t2)，寫出t1=0,t2=1/2時刻的二維概率密度。一個平穩(wěn)高斯隨機過程的均值函數(shù)為mx(t) 0、自相關(guān)函數(shù)為Rx()邑匚，寫出t1=0,t2=1/2、t3=1時刻的三維概率密度。設(shè)隨機過程Z(t) Acos( 0t) n(t)，其中A、0為常量，n(t)為零均值平穩(wěn)高斯過程，相關(guān)函數(shù)為Rn()，寫出Z(t)的一維、二維概率密度分布函數(shù)?？紤]兩個隨機變量的去相關(guān)處理。設(shè)丫1、乂為相關(guān)的零均值隨機變量，方差分別為X1cos( ) sin( )X2 sin( ) cos( ) Y?求使得變換后的變量不相關(guān)的條件。圖示RC低通濾波器的輸入為白色噪聲，物理功率譜密度

10、為Fx()=N0(0t2t1，有RY (t3 t1 )Ry(0)cL_忒R（與第3章第26題重復(fù)）。設(shè)有二維隨機矢量Xi ,X2，其概率密度為1fxS) 21 廠1-exp廠22(1 r )L2(為 m)2r( )(% 叫)(X2 叫)22 2在橢圓(x m)2212似 m)(X2 m,)(X2 m2)22 （為常量）上概率密度為常數(shù)2亍102 a2002aM000M22eXP亍5，稱該橢圓為等概率橢圓求隨機矢量落在等概率橢圓內(nèi)的概率。設(shè)n維隨機矢量X=Xi,X2,Xn服從聯(lián)合高斯分布，各個分量相互獨立，且均值為0,機矢量的協(xié)方差矩陣為求其N維特征函數(shù)（接上題）若各個分量的之間的協(xié)方差為Km,

11、i n|m i|n設(shè)另一隨機變量Y為Y Xi，求Y的特征函數(shù)i 10，其協(xié)方差矩陣的元素值為設(shè)3維高斯隨機矢量X=Xi,X2,X3各個分量的均值為kij(i,j=1,2,3),且kn=k22=k33=2 ; 求(1)EX1 X2X3 ，(2) EX1 X2 X3 ，2 2 2 2 2 2E(X1)(X2)(X3)設(shè)3維高斯隨機矢量X=X1 ,X2,X3的概率密度為ii/4i/2XiY AX 0i2/7X200iX3fx(Xi,X2,X3)Cexp 12xi2X1X2 屜2 2x1X3 X32(1)證明經(jīng)過線性變換得到的隨機矢量丫=丫1上,3,則Yi,Y2,Y3是相互統(tǒng)計獨立的隨機變量；求C的值

12、設(shè)Xi、X2是相互獨立的零均值、單位方差高斯隨機變量，定義二維隨機矢量丫丫 恥Xi,|X21Xi 0Xi, IX21 Xi 0證明：(i)Yi、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是聯(lián)合高斯分布的。設(shè)某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為ath(t)et 0c c (a0)0t 0輸入N(t)為零均值白色噪聲，功率譜密度為No/2,輸出為 X(t) ； Y(t) X(t) X(t T)，假設(shè)輸入從-開始，求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。設(shè)隨機變量X、丫是聯(lián)合高斯隨機變量，且具有邊緣概率密度fx(x)、J(y)，EX EY 0，EX2 EY22，EXY ；證明：iEfX(X)fY(Y)_22 0)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

13、為bth(t)e t0(bO,ba)0 t0X(t)是在t二接入系統(tǒng)的，(i)求在t=0時輸出丫(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T時,X(-T)=0,求條件概率PY(O) y|X( T) 0(T0)； (3)如果在t=T時，觀察到X(T)=O,求條件概率PY(0) y|X(T) 0 (T0)。設(shè)有平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)，其均值為0,功率譜密度函數(shù)為GX ()S00/2 | | 0 /2 otherwise求：(1)該過程在單位時間內(nèi)取得極大值的平均次數(shù)；(2)極大值的概率密度分布；(3)該過程在單位時間內(nèi)正穿越X=a(從水平線X=a的下方向上穿過)的次數(shù)。設(shè)有平穩(wěn)實高斯過程X(t)，均

14、值為0,相關(guān)函數(shù)為Rx(),該過程依均方意義可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)過程為X(t)，求在ti,t2兩個時刻X(tJ,X(tJ,X(t2),X(t2)的四維概率密度。設(shè)X(n)為均值為0、方差為2的離散白噪聲，通過一個單位脈沖響應(yīng)為h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng)，丫(n)為其輸出，試證：EX(n)Y(n) h(0) 2， Y22 h2(n)n0均值為0、方差為2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應(yīng)分別為hi(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯(lián)系統(tǒng)(|a|1,|b|1)，輸出為 W(n),求 w2。設(shè) 離 散 系 統(tǒng) 的 單 位 脈 沖 響 應(yīng) 為 h(n) na nu(n) (a 1

15、) ， 輸 入為 自 相 關(guān) 函 數(shù) 為Rx(m)X2 (m)的白噪聲，求系統(tǒng)輸出丫(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。序列X(n)和丫(n)滿足差分方程Y(n) X(n a) X(n a)其中a為整常數(shù)，試用X(n)的相關(guān)函數(shù)表示丫(n)的相關(guān)函數(shù) 實值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程X(n) a1X(n 1) V(n)其中ai為常數(shù)，V(n)為方差為2的白噪聲，輸入從n=0開始，X( 1) 0。證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、舊1|1，則當(dāng)n 足夠大時，EX2(n)v2/(1 aj) ； (3)若V(n)均值為零，|a1|1，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)

16、的平穩(wěn)解?？疾烊缦碌亩A自回歸過程 X(n)X(n) a1X(n 1) a2X(n 2) V(n)若已知隨機過程的相關(guān)函數(shù)值 Rx(O)、Rx(1)、Rx(2)，試寫出用于計算系數(shù)ai,a2以及 零均值白色噪聲V(n)的方差v2的Yule-Walker方程；反過來，若已知 ai= -1,a2=, v2 0.5，求Rx(0)、Rx(1)、Rx(2)的值；求相關(guān)函數(shù)的通解。察如下的二階自回歸過程X(n)x( n) 0X(n 1) b2x(n 2) V(n)零均值白色噪聲V(n)的方差為V2，W 占 軀2 I 2 ；求：(1)X(n)的功率譜密度；根據(jù)Wold分解求X(n)的自相關(guān)函數(shù)； 求Yule

17、-Walker方程考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為 x2，求Y(n)的自相關(guān)函數(shù)和功率 譜密度。Y(n) X( n) a1X(n 1) a2X(n 2)考察如下的ARMA模型X( n) 0.9X(n 1) V( n) 0.2V(n 1)其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關(guān)函數(shù)。第五章：窄帶隨機過程 證明：偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)，奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù) 設(shè)一個線性系統(tǒng)的輸入為X(t)時，相應(yīng)的輸出為Y(t)，證明：若該系統(tǒng)的輸入為X(t)的希爾伯特)?(t)，則其輸出為Y(t)的希爾伯特Yt)。設(shè)功率譜密度N/2為的零均值高斯白噪聲通過一個

18、理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為f，帶寬為2B ( B f)，濾波器輸出為n(t)，求n(t)的自相關(guān)函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關(guān)函數(shù)設(shè)a(t)A(t)sin與b(t) A(t)cos (t)為低頻信號，即當(dāng)|/2時，其頻譜值為0,/2，證明H A(t)cos 0t (t) A(t)sin 0t (t)H A(t)sin 0t (t) A(t)cos 0t (t)證明廣義平穩(wěn)隨機過程 X(t) 與其希爾伯特 X?(t )的相關(guān)函數(shù)存在如下關(guān)系RX?X( ) R?X( ) ， RXX?( ) R?X( )RX? ( ) RX ( ) ， RXX? ( ) 為奇函數(shù)設(shè)X(t)

19、的解釋信號(復(fù)信號表示)為z(t)x(t)X?(t)，證明：EZ(t)Z*(t ) 2RX ( ) jR?X ( ),EZ(t)Z(t) 0并用X(t)的功率譜密度函數(shù)Gx()來表示Z(t)的功率譜密度函數(shù)。在復(fù)隨機過程Z(t) X(t) jY(t)中，如果其均值EZ(t)EX(t) jEY(t) mz為復(fù)常數(shù)，且其自相關(guān)函數(shù)EZ(t)Z*(t)Rz()為僅與 有關(guān)的復(fù)函數(shù)，則稱Z(t)為復(fù)平穩(wěn)隨機過程，設(shè)Ak,k 1,2,., n是n個實隨機變量，k, k 1,2,., n是n個實數(shù)。試問： nAk以及Ak之間應(yīng)滿足什么條件，才能使 Z(t)Akej kt是一個復(fù)平穩(wěn)隨機過程。k1考慮窄帶高

20、斯過程n(t) X(t)cos( ct) Y(t)sin( ct)，假定其物理功率譜密度對稱于載頻c，求概率密度 f (Xt, Xt , yt, yt )。n設(shè)復(fù)隨機過程為Z(t) i cos( it) j iSin( it)，其中i、i為相互獨立的零均值實隨i1機變量，E i2 E i2i2，對于任意的i k， k以及k相互正交，求該復(fù)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)。設(shè)窄帶信號X(t)的物理帶寬為(c 畑c /2)，證明其復(fù)包絡(luò)模平方的物理帶寬為(0)。設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機過程 n(t) X(t)cos( ct) Y(t)sin( ct) ，證明：RY( ) Rn ( )cos( c ) R?n( )sin

21、( c )對于調(diào)頻信號X(t) cos ct m(t)，設(shè)|dm(t)/dt| c ,即為窄帶信號，求該信號的復(fù)包絡(luò)與包絡(luò)的表示式。設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機過程 n(t) X (t )cos( ct) Y (t )sin( ct) ，證明其自相關(guān)函數(shù)為Rn( ) RX ( )cos( c ) RXY ( )sin( c )設(shè)窄帶平穩(wěn)隨機過程 n(t) X (t )cos( ct) Y (t )sin( ct) ，若滿足：Gn ( ) 0 (| | 2 c)證明 X(t) 的功率譜密度為GX( ) Gn(c) Gn(c) ( | | c)將相關(guān)函數(shù)為Rx( )x2ea|lcos( o )的窄帶平穩(wěn)隨機過程

22、X(t)表示為X(t) AC (t)cos( 0*t) AS(t)sin( 0*t)試在*0 , (2) 00的條件下，分別求出相關(guān)函數(shù)Rc()、Rs()以及Rcs()?？紤]隨機相位正弦波與窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程X (t)之和Y(t) Asin( 0t) x(t)其中 A、 0為常數(shù)， 0為窄帶實平穩(wěn)隨機過程 Y ( t )的功率譜密度的中心頻率，為(0,2 )上均勻分布的隨機變量， EX(t)0、 DX(t)2，并假設(shè) X(t)、 相互獨立；(1)對每一個固定的值，求Y(t)的均值和相關(guān)函數(shù)，判斷Y(t)是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程；(2)當(dāng) 為(0,2 )上均勻分布的隨機變量時，求Y(t)的

23、均值和相關(guān)函數(shù)，判斷Y(t)是 否為高斯過程以及平穩(wěn)過程?？紤]圖示RLC帶通濾波器，設(shè)其品質(zhì)因素 Q 1，輸入是功率譜密度為N/2的零均值 高斯白噪聲w(t)，求濾波器輸出端的窄帶過程n(t)及其同相分量、正交分量的功率譜密 度Gn( )、Gnc ( )、Gns()，并以圖示之n(t)設(shè)A(t)為窄帶平穩(wěn)高斯平穩(wěn)隨機過程的包絡(luò)，試證:EA(t)DA(t)(2 -) 2其中2為該窄帶隨機過程的方差。設(shè)窄帶信號Z(t) Acos( ot) n(t)，其中n(t)為高斯過程，為0,2 上均勻分布隨機變量，且n(t) X(t)cos( ot) Y(t)sin( t)RZ( ) A4 4A2 2證明Z(

24、t)的包絡(luò)平方的相關(guān)函數(shù)為4 2 4A2Rx( )Rx2( ) Rxy2()變量為卡方分布變量的2的平方根，證明n個自由度的變量的概率密度為f()n1e 2/2(n 2)/2(n/2)證明n個自由度的卡方分布 2變量的m階原點矩為第六章：隨機過程的非線性變換給定實數(shù)x和一個平穩(wěn)隨機過程X(t)，定義理想門限系統(tǒng)的特性為Y(t)1 X(t) x0 X(t) x試證：(1) EY(t) Fx(x) ； (2) Ry( ) Fx(x,x,)設(shè)平方律檢波器的傳輸特性為y x，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機過程X(t)，其概率密度函數(shù)為fx(X)在檢波器后聯(lián)接一個理想低通濾波器,求低通濾波器輸出過程的

25、一維概率密度和均值;當(dāng)a 0時結(jié)果有何變化。X(t)XoXo X (t) XoX(t) Xo設(shè)對稱限幅器的特性為X0Y(t) gX(t) X(t)X0(1)已知輸入隨機過程X (t)的一維概率密度fX(x,t)，求輸出隨機過程Y(t)的一維概率密度fY(y,t)。(2)當(dāng)輸入隨機過程X(t)為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關(guān)函數(shù)為 Rx()時，求輸出過程Y(t)的相關(guān)函數(shù)Ry()。設(shè)有理想限幅器Y(t) gX(t)1 X01 X(t) 0假定輸入X(t)為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程。求Y(t)的一維概率密度和均值；(2)用Price2定理證明：Ry ( )arcsinrx()。設(shè)有零均值高斯平穩(wěn)隨機過程

26、 X(t)，其自相關(guān)函數(shù)為Rx()，它的一維概率分布函數(shù)為Fx(x)，定義一個無記憶非線性系統(tǒng) Y(t) FxX(t) 1/ 2，試用Price定理證明Y(t)的相關(guān)函數(shù)為Ry()in 衛(wèi)a22Rx (0)平方律檢波器的傳輸特性為y X2，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)，其方差為2，相關(guān)函數(shù)為Rx()，求檢波器輸出過程Y(t)的一維概率密度、均值及相關(guān)函數(shù)。全波線性檢波器的傳輸特性為y |x|，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)，其方差為2，相關(guān)函數(shù)為Rx( )，(1)求檢波器輸出過程Y(t)的一維概率密度、均值；用Price定理求輸出過程丫的相關(guān)函數(shù)及方差

27、。半波線性檢波器的傳輸特性為x | x|xy 20在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程X (t)，其方差為2，相關(guān)函數(shù)為Rx()，(1)求檢波器輸出過程Y(t)的一維概率密度、均值;(2)用Price定理求輸出過程Y(t)的相關(guān)函數(shù)及方差。圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為Gx( ) No/2的高斯白噪聲X(t)，求輸出隨機過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。設(shè)隨機變量X和丫是零均值、方差為 2的聯(lián)合高斯隨機變量，其概率密度分布函數(shù)分別為fx(x)和fY(y)，且EXY，證明:Efx(X)fY(Y)12.4 4設(shè)功率譜密度為No/2的白噪聲通過一個物理帶寬為/2的理想低通濾波器

28、，在低通濾波器后接一個傳輸特性為y x2的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機信號的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。X、設(shè)X(t)為均值為mx、相關(guān)函數(shù)為Rx()的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為Y(t) gX(t)1 X 01 X(t) 0的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關(guān)函數(shù)Ry()平方律檢波器的傳輸特性為y bx2，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機信號，其中包絡(luò)2A(t)服從瑞利分布2aafA(a)2 exp 2 2 (a 0)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。同步檢波器如下圖所示，設(shè) x(t)為窄帶平穩(wěn)隨機信號，其相關(guān)函數(shù)為Rx( ) Xe 11 cos(

29、0 ) sin(。| |)(。)0求檢波器輸出端的相關(guān)函數(shù)及平均功率。燔理想低通濾:波器 上設(shè)全波線性檢波器的傳輸特性為y |x|，檢波器的輸入為a N(t)，其中a 0為直流電平信號，N(t)為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為2，求檢波器輸入、輸出端的信噪 比(考慮高信噪比情況)第七章：馬爾可夫過程設(shè)由獨立隨機序列Xi構(gòu)成一個新的序列Yi，且定義為YYn CYn1 Xn (n 2)試證明隨機序列Y為馬爾可夫序列。設(shè)X(t)為馬爾可夫過程，又設(shè)ti t2. tn tn 1. S，試證明ftn tn 1 ,.,tn k (xn | xn 1,., xn k ) ftn|tn 1 (xn | Xn

30、 1)即一個馬爾可夫過程的反向也具有馬爾可夫性。試證明對于任何一個馬爾可夫過程，如果“現(xiàn)在”的X(t)值為已知，則該過程的“過去” 和“將來”是統(tǒng)計獨立的，即如果 t1 t2 t3 ，其中 t2 代表“現(xiàn)在”， t1 、 t3 代表“過去” 和“將來”，若 X(t2) x2 為已知，試證明ft1,t3|t2(x1,x3 |x2) ft1|t2(x1|x2)ft3|t2(x3 |x2)設(shè)齊次馬爾可夫鏈有四個狀態(tài) S1、 S2、S3 、S4 ，其轉(zhuǎn)移概率矩陣為1/41/401/201001/201/201/41/41/41/4(1)如果該鏈在第n時刻處于S3狀態(tài)，求在n+2時刻處于狀態(tài)S2的概率；

31、 如果該鏈在 第n時刻處于S狀態(tài)，求在n+3時刻處于狀態(tài)S3的概率。X (t )為馬爾可夫過程，又設(shè) t1 t2 . tm tm 1 tm 2 ，試證明ftm1,tm2|t1,t2,.,tm(xm1,xm 2 | x1, x2 ., xm ) ftm1,tm2|tm(xm1,xm 2|xm) 一個質(zhì)點沿標(biāo)有整數(shù)的直線移動， 經(jīng)過一步從點 j 移動到 j 1的概率為 p ，停止在點 j 的 概率為q，移動到j(luò) 1的概率為r，且p q r 1。(1)求該馬爾可夫過程的一步轉(zhuǎn)移概 率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣； (2)若該質(zhì)點在 n 時刻位于點 j ，求該質(zhì)點在 n+2 時刻位 于各點的概率。若質(zhì)點

32、M 在(0,1 ,2)三個位置隨機徘徊， 每經(jīng)一單位時間按下列概率規(guī)則改變一次位置：自0出發(fā)，下一步停留在0的概率為q，來到1的概率為p;自1出發(fā)到達0,2的概率 分別為p和q；自2出發(fā)停留在2及到達1的概率分別為p和q。該馬爾可夫過程的一 步轉(zhuǎn)移概率矩陣以及二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。若質(zhì)點M在圖示的反射壁間四個位置(a4,a2,a3,a4)上隨機游動，在a1處向右移動一步的 概率為1;在a4處向左移動一步的概率為1;在a2、a3處向左或向右移動一步的概率為 1/4、停留的概率為 1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質(zhì)點處于各狀態(tài)的概率。各自的概率密度分布函設(shè)X1,X2,.,Xn,為相互統(tǒng)計獨立的零均值隨機變量構(gòu)成的序列,數(shù)分別為fXn(Xn)，定義另外一個隨機變量序列Yn如下Y X1,Y2 X1 X2,Y3 X1X2X3,.,YnX1 X2X 3 X n 7試證明：(1)序列Yn具有馬爾可夫性 EYn|Yy1,Y2y2,Y3y3,，1yn lEYni|Yn yn lyn 1設(shè)齊次馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移矩陣為2/31/31/32/3