函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用

1、難點(diǎn)33函數(shù)的連續(xù)及其應(yīng)用函數(shù)的連續(xù)性是新教材新增加的內(nèi)容之一它把高中的極限知識(shí)與大學(xué)知識(shí)緊密聯(lián)在一起在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個(gè)熱點(diǎn)本節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)闡述這一塊知識(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系(X -1) (x0,b0)至少有一個(gè)正根，且它不大于a+b.命題意圖：要判定方程f(x)=O是否有實(shí)根.即判定對(duì)應(yīng)的連續(xù)函數(shù) y=f(x)的圖象是否與x軸有交點(diǎn)，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖象上的兩點(diǎn)，滿足一點(diǎn)在x軸上方，另一點(diǎn)在x軸下方即可.本題主要考查這種解題方法.知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)要找到合適的兩點(diǎn)，使函數(shù)值其一為負(fù)，另一為正錯(cuò)解分析：因?yàn)楸绢}為超越方程，因而考生

2、最易想到畫(huà)圖象觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類(lèi)題目中的簡(jiǎn)便作用證明：設(shè) f(x)=asinx+b x,則 f(O)=b0,f(a+b)=a sin(a+b)+b (a+b)=a sin(a+b) 1w 0,又f(x)在(O,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個(gè)x (O,a+b,使f(xo)=0,即xo是方程f(x)=0 的根，也就是方程 x=a sinx+b的根.因此，方程x=asinx+b至少存在一個(gè)正根，且它不大于a+b.錦囊妙計(jì)1. 深刻理解函數(shù)f(x)在xo處連續(xù)的概念：等式lim f(x)=f(xo)的涵義是：(1)f(xo)在x=xo處有定義，即f(xo)存在；(2) lim f(x)

3、存在，X 談0x這里隱含著f(x)在點(diǎn)x=Xo附近有定義；(3)f(x)在點(diǎn)Xo處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值，即lim f(x)=f(xo).X %函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖象上是f(x)的圖象在點(diǎn)x=x0處是不間斷的.2. 函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo不連續(xù)，就是f(x)的圖象在點(diǎn)x=Xo處是間斷的.其情形：(1) lim f(x)存在；f(xo)存在，但 lim f(x)豐 f(xo);(2) lim f(x)存在，但 f(xo)不存在.(3)x=XoX 必JXolim f(x)不存在.X %3. 由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計(jì)算函數(shù)極限的一種方法：如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點(diǎn)

4、Xo是定義區(qū)間內(nèi)的一點(diǎn)，那么求XTXo時(shí)函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點(diǎn)Xo處的函數(shù)值f(Xo)就可以了，即lim f(x)=f(xo).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題A.321在點(diǎn)x=o處連續(xù)，則3 1 X -1f(o)等于(B.23C.1D.o，廣X1?.()設(shè) f(x)=1o ： x : 1X =1 則f(x)的連續(xù)區(qū)間為(1 ：x ：2A.(o, 2)C.(o , 1) U (1 , 2)二、填空題B.(o, 1)D.(1 , 2)3.(H ) Hm1x2 -ln(2 -x)4arcta nx11 - 1 - x .(* )若 f(x)= xa +bxx ：0處處連續(xù)，則a的值為x _

5、0三、解答題1(x = 0)(x=0)2 -15. ( )已知函數(shù) f(x)=1|2x +11(1)f(x)在 x=0處是否連續(xù)？說(shuō)明理由；討論f(x)在閉區(qū)間1,0和0,1上的連續(xù)性1 - 1 - x1 (x：0)1 xa bx(x 亠0)(1)求 f( x);求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(g，+g)內(nèi)處處連續(xù).32?.()求證任何一個(gè)實(shí)系數(shù)一元三次方程aox+a1X+a2X+a3=O(ao,a1,a2,a3 R,aM 0)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根.x(X 空 1)&.()求函數(shù)f(x)=1的不連續(xù)點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間.jlogzd/ (xa1)參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1) lim f(x)=3, |im

6、f(x)= 1,所以 im f(x)不存在，所以 f(x)在 x= 1 處不連續(xù)，x 1x 1 x . 1但lim f(x)=f( 1)= 1, lim f(x)豐f( 1),所以f(x)在x= 1處右連續(xù)，左不連續(xù)x -.1x 1 lim f(x)=3=f(1), lim f(x)不存在，所以lim f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連X1 -X ：1x 1續(xù)，右不連續(xù).又 lim f(x)=f(0)=0,所以 f(x)在 x=0 處連續(xù).x )0(2)f(x)中，區(qū)間(g， 1), : 1,1 ,(1,5上的三個(gè)函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點(diǎn)x= 1夕卜，再也無(wú)不連

7、續(xù)點(diǎn)，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(一g , 1), : 1,1和(1,5.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、.解析：f(x) _山丙+1)(V T)哥(1+x)2 代丙+1(jX+1)(1 + x)2 +3/X+1V11(3 1 x)23 1 X 1J1 +x +1f(0)二1111 1答案：A2.解析:lim f (x) = lim 1 =1 I十I十1 lim f (x)二 lim x =1, lim f (x)= f (1)：X 1 -X_1 X 12即f(x)在x=1點(diǎn)不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù).答案：C二、3.解析：禾U用函數(shù)的連續(xù)性，即卩l(xiāng)imf (x)工 f(X0)X汎2 2.

8、x-si n(2x) 1-s in (21)1i- limx 14 arcta n14arcta n1二答案：1JI4.解析1:；1 -X1 1:lim i (X) - limlimx_0 x_0 -Xx_0 T.1-x 21 lim f (x) = lim (a bx) =, a = X_0 x_0 2三、5解:f(x)= 1T(x =0)2x 1(x =0)(1)f(x)在x=0處不連續(xù).lim f(x)= 1, lim f(x)=1,所以 lim f(x)不存在，故x 0 =limf(x)=f(0),所以a=- x2 27. 證明：設(shè) f(x)=ax +a1X +a2X+a3，函數(shù) f(

9、x)在(一a，+ a )連續(xù)，且 x + a時(shí)，f(X)T +a ;x T a時(shí)，f(x)T a，所以必存在 a ( a，+ a),b ( a , +a),使 f(a) f(b)V 0,所以 f(x) 的圖象至少在(a,b)上穿過(guò)x軸一次，即f(x)=0至少有一實(shí)根.8. 解：不連續(xù)點(diǎn)是 X=1,連續(xù)區(qū)間是(一a ,1),(1,+ a)x0 亠X 0(2)f(x)在(一a，+a)上除x=0夕卜，再無(wú)間斷點(diǎn)，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)，所以f(x)在1, 0上是不連續(xù)函數(shù)，在0,1 上是連續(xù)函數(shù).(x 0)(x-0)1 x -16.解：(1)f( x)= Xabx要使f(x)在( a，+ a )內(nèi)處處連續(xù)，只