隔板法”解決排列組合問題2頁

1、 “隔板法”解決排列組合問題（高二、高三） 排列組合計數(shù)問題，背景各異，方法靈活，能力要求高，對于相同元素有序分組問題，采用“隔板法”可起到簡化解題的功效。對于不同元素只涉及名額分配問題也可以借助隔板法來求解,下面通過典型例子加以解決。例1、（1）12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，問每個盒子中至少有一個小球的不同放法有多少種？（2）12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，問不同放法有多少種？（3）12個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中要求每個盒子中，要求每個盒子中的小球個數(shù)不小于其編號數(shù)，問不同的方法有多少種？解：（1）將12個小球排成一排，中間有11個間隔

2、，在這11個間隔中選出3個，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，則如圖001000010000100隔板將一排球分成四塊，從左到右可以看成四個盒子放入的球數(shù)，即上圖中1，2，3，4四個盒子相應(yīng)放入2個，4個，4個，2個小球，這樣每一種隔板的插法，就對應(yīng)了球的一種放法，即每一種從11個間隔中選出3個間隔的組合對應(yīng)于一種放法，所以不同的放法有=165種。（2）法1：（分類）裝入一個盒子有種；裝入兩個盒子，即12個相同的小球裝入兩個不同的盒子，每盒至少裝一個有種;裝入三個盒子，即12個相同的小球裝入三個不同的盒子，每盒至少裝一個有=220種;裝入四個盒子，即12個相同的小球裝入四個不同的盒子，每盒至少

3、裝一個有種;由加法原理得共有4+66+220+165=455種。法2：先給每個小盒裝入一個球，題目中給定的12個小球任意裝，即16個小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個的裝法有種。（3）法1：先給每個盒子裝上與其編號數(shù)相同的小球，還剩2個小球，則這兩個小球可以裝在1個盒子或兩個盒子，共有種。法2：先給每個盒子裝上比編號小1的小球，還剩6個小球，則轉(zhuǎn)化為將6個相同的小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個，由隔板法有由上面的例題可以看出法2要比法1簡單，即此類問題都可以轉(zhuǎn)化為至少分一個的問題。例2、（1）方程的正整數(shù)解有多少組？(2) 方程的非負(fù)整數(shù)解有多少組？（3）方程的非負(fù)整數(shù)整數(shù)解有多少組

4、？解：（1）轉(zhuǎn)化為10個相同的小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個，有種，所以該方程有84組正整數(shù)解。（2）轉(zhuǎn)化為10個相同的小球裝入4個不同的盒子，可以有空盒，先給每個小盒裝一個，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為14個相同的小球裝入4個不同的盒子，每盒至少裝一個，有種，所以該方程有286組非負(fù)整數(shù)整數(shù)解。（3）當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為3個相同的小球裝入9個不同的盒子，可以有空盒，有種。當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為1個小球裝入9個不同的盒子，可以有空盒，有=9種；所以該方程有165+9=174組非負(fù)整數(shù)整數(shù)解。例3、已知集合，選擇 的兩個非空子集，且中最大的元素比中最小的元素小，則選擇方法有多少種？解：由題意知的交集是空集，且的并集是的子集，所以至少含有兩個元素，將中元素按從小到大的順序排列，然后分為兩部分，前邊的給，后邊的給，至少含有1個元素，設(shè)中有個元素，則轉(zhuǎn)化為個相同的小球裝入2個不同的盒子，則有 種裝法，故本題有種選擇方法?？傊彩翘幚砼c“相同元素有序分組”模型時，我們都可采用“隔