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1、 求證全等三角形的幾種方法求證全等三角形的幾種方法 課程解讀一、學(xué)習(xí)目標(biāo): 歸納、掌握三角形中的常見輔助線 二、重點、難點: 1、全等三角形的常見輔助線的添加方法。 2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實際問題的能力。 三、考點分析: 全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一,是今后學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL,如果所給條件充足,則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明,但是如果給出的條件不全,就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析,先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形,把條件相對集中起來,再進(jìn)行等量代換,就可以化難

2、為易了。 典型例題人說幾何很困難,難點就在輔助線。輔助線,如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研,找出規(guī)律憑經(jīng)驗。 全等三角形輔助線 找全等三角形的方法: 求證全等三角形的幾種方法1)可以從結(jié)論出發(fā),尋找要證明的相等的兩條線段(或兩個(角)分別在哪兩個可能全等的三角形中; (2)可以從已知條件出發(fā),看已知條件可以確定哪兩個三角形全等; (3)可從條件和結(jié)論綜合考慮,看它們能確定哪兩個三角形全等; (4)若上述方法均不可行,可考慮添加輔助線,構(gòu)造全等三角形。 三角形中常見輔助線的作法: 延長中線構(gòu)造全等三角形; 利用翻折,構(gòu)造全等三角形; 引平行線構(gòu)造全等三角形; 作連線構(gòu)造等腰三角形。 常見輔

3、助線的作法有以下幾種: (1)遇到等腰三角形,可作底邊上的高,利用“三線合一”的性質(zhì)解題,思維模式是全等變換中的“對折”。 例1:如圖,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,BD平分ABC交AC于點D,CE垂直于BD,交BD的xx于點E。求證:BD=2CE。 求證全等三角形的幾種方法思路分析: )題意分析:本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用1 ,可用加倍法,延長短邊,又因為)解題思路:要求證BD=2CE2的條件,可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起B(yǎng)D平分ABC有來。 解答過程: BECxx,BEF和CE證明:延長BA,交于點F,在 BE=BE,BEF=BEC=90,1=2, 。BEC,E

4、F=EC,從而CF=2CEBEF 又1+F=3+F=90,故1=3。ABD和ACFxx,1=3,AB=AC,BAD=CAF=90, 在ABDACF,BD=CF,BD=2CE。 解題后的思考:等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力,而且還加強了相關(guān)知識點和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系,為同學(xué)們開拓了一個廣闊的探索空間;并且在添加輔助線的過程中也蘊含著化歸的數(shù)學(xué)思想,它是解決問題的關(guān)鍵。 (2)若遇到三角形的中線,可倍長中線,使xx段與原中線長相等,構(gòu)造全等三角形,利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。 求證全等三角形的幾種方法邊BC的平分線,AD又是ABCxx例2:如

5、圖,已知,AD是BAC是等腰三角形。線。求證:ABC上的xx 思路分析: 1)題意分析:本題考查全等三角形常見輔助線的知識。 2)解題思路:在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等條件,一般這些條件都是解題的突破口,本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件,而且要求證AB=AC,可倍長AD得全等三角形,從而問題得證。 解答過程: 證明:延長AD到E,使DE=AD,連接BE。 求證全等三角形的幾種方法 邊上的中線,BD=DC又因為AD是BC 又BDE=CDA ,BEDCAD 故EB=AC,E=2, AD是BAC的平分線 1=2, 1=E,AB=AC,即ABCAB=EB,從而

6、是等腰三角形。 解題后的思考:題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線,常加倍延長此線段,再將端點連結(jié),便可得到全等三角形。 (3)遇到角平分線,可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線,利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”,所考知識點常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。 例3:已知,如圖,AC平分BAD,CD=CB,ABAD。求證:B+ADC=180。 求證全等三角形的幾種方法思路分析: 1)題意分析:本題考查角平分線定理的應(yīng)用。 2)解題思路:因為AC是BAD的平分線,所以可過點C作BAD的兩邊的垂線,構(gòu)造直角三角形,通過證明三角形全等解決問題。 解答過程: 證明:作CEAB于E,CFAD于F。

7、AC平分BAD, CE=CF。 在RtCBE和RtCDFxx, CE=CF,CB=CD, RtCBERtCDF, B=CDF, CDF+ADC=180, B+ADC=180。 解題后的思考: 關(guān)于角平行線的問題,常用兩種輔助線; 見中點即聯(lián)想到中位線。 求證全等三角形的幾種方法)過圖形上某一點作特定的平行線,構(gòu)造全等三角形,利用4(的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 一點,一點,F(xiàn)是ACxxxxABCxx:如圖,AB=AC,E是ABxx例4。D,若EB=CFxxEF交于BC 求證:DE=DF。 思路分析: 1)題意分析: 本題考查全等三角形常見輔助線的知識:作平行線。 2)解題思路

8、:因為DE、DF所在的兩個三角形DEB與DFC不可能全等,又知EB=CF,所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換:過E作EG/CF,構(gòu)造中心對稱型全等三角形,再利用等腰三角形的性質(zhì),使問題得以解決。 解答過程: 求證全等三角形的幾種方法 證明:過E作EG/AC交BC于G, 則EGB=ACB, 又AB=AC,B=ACB, B=EGB,EGD=DCF, EB=EG=CF, EDB=CDF,DGEDCF, DE=DF。 解題后的思考:此題的輔助線還可以有以下幾種作法: 例5:ABCxx,BAC=60,C=40,AP平分BAC交BC于P,BQ平分ABC交AC于Q,求證:AB+BP=BQ+AQ。 思

9、路分析: 1)題意分析:本題考查全等三角形常見輔助線的知識:作平行線。 2)解題思路:本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復(fù)雜,我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的 求證全等三角形的幾種方法和即可得證??蛇^O作BC的平行線。得ADOAQO。得到OD=OQ,AD=AQ,只要再證出BD=OD就可以了。 解答過程: 證明:如圖(1),過O作ODBC交AB于D, ADO=ABC=1806040=80, 又AQO=C+QBC=80, ADO=AQO, 又DAO=QAO,OA=AO, ADOAQO, OD=OQ,AD=AQ, 又ODBP, PBO=DOB, 又PBO=DBO

10、, DBO=DOB, BD=OD, 又BPA=C+PAC=70, BOP=OBA+BAO=70, 求證全等三角形的幾種方法BOP=BPO, BP=OB, AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。 解題后的思考: (1)本題也可以在ABxx截取AD=AQ,xxOD,構(gòu)造全等三角形,即“截長法”。 (2)本題利用“平行法”的解法也較多,舉例如下: 如圖(2),過O作ODBC交AC于D,則ADOABO從而得以解決。 求證全等三角形的幾種方法5),過P作PDBQ交AC如圖(于D,則ABPADP從而得以解決。 小結(jié):通過一題的多種輔助線添加方法,體會添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形

11、。而不同的添加方法實際是從不同途徑來實現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的,體會構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點可以看到,不論是作平行線還是倍長中線,實質(zhì)都是對三角形作了一個以中點為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。 (5)截長法與補短法,具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等,或是將某條線段延長,使之與特定線段相等,再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法,適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。 例6:如圖甲,ADBC,點E在線段ABxx,ADE=CDE,DCE=ECB。 求證:CD=AD+BC。 求證全等三角形的幾種方法思路分析: 1)題意分析: 本題考查全等三角形常見輔助線

12、的知識:截長法或補短法。 2)解題思路:結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補短法”中的“截長”,即在CDxx截取CF=CB,只要再證DF=DA即可,這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問題,從而達(dá)到簡化問題的目的。 解答過程: 證明:在CDxx截取CF=BC,如圖乙 FCEBCE(SAS), 2=1。 又ADBC, ADC+BCD=180, DCE+CDE=90, 求證全等三角形的幾種方法2+3=90,1+4=90, 3=4。 在FDE與ADExx, FDEADE(ASA), DF=DA, CD=DF+CF, CD=AD+BC。 解題后的思考:遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時,一般方法是截長法或

13、補短法: 截長:在長線段中截取一段等于另兩條中的一條,然后證明剩下部分等于另一條; 補短:將一條短線段延長,延長部分等于另一條短線段,然后證明新線段等于長線段。 1)對于證明有關(guān)線段和差的不等式,通常會聯(lián)系到三角形中兩線xx和大于第三邊、之差小于第三邊,故可想辦法將其放在一個三角形中證明。 2)在利用三角形xx關(guān)系證明線段不等關(guān)系時,如直接證明不出來,可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形,使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾個三角形中,再運用三角形xx的不等關(guān)系證明。 小結(jié):三角形 求證全等三角形的幾種方法圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線,等腰三角形來添。角平

14、分線加垂線,三線合一試試看。 線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差及倍半,延長縮短可試驗。 線段和差不等式,移到同一三角形。三角形中兩中點,連接則成中位線。 三角形中有中線,延長中線等中線。 預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了,八下的第一章是分式。 請同學(xué)們預(yù)習(xí)課本,并思考以下問題。 1、分式的概念是什么? 2、分式的乘除法的運算法則是什么? 同步練習(xí)(答題時間:90分鐘) 這幾道題一定要認(rèn)真思考啊,都是要添加輔助線的,開動腦筋好好想一想吧!加油!你一定行! 1、已知,如圖1,在四邊形ABCDxx,BCAB,AD=DC,BD平分ABC。 求證:BAD+BCD=180。 求證全等三角形的

15、幾種方法 2、已知,如圖2,1=2,P為BNxx一點,且PDBC于點D,AB+BC=2BD。 求證:BAP+BCP=180。 3、已知,如圖3,在ABCxx,C2B,12。求證:AB=AC+CD。 求證全等三角形的幾種方法 試題答案1、分析:因為平角等于180,因而應(yīng)考慮把兩個不在一起的角通過全等轉(zhuǎn)化成為平角,圖中缺少全等的三角形,因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形,可通過“截長法或補短法”來實現(xiàn)。 證明:過點D作DE垂直BA的xx于點E,作DFBC于點F,如圖1-2 求證全等三角形的幾種方法 RtADERtCDF(HL), DAE=DCF。 又BAD+DAE=180, BAD+DCF=180,

16、 即BAD+BCD=180 2、分析:與1相類似,證兩個角的和是180,可把它們移到一起,讓它們成為鄰補角,即證明BCP=EAP,因而此題適用“補短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。 證明:過點P作PE垂直BA的xx于點E,如圖2-2 求證全等三角形的幾種方法 RtAPERtCPD(SAS), PAE=PCD 又BAP+PAE=180。 BAP+BCP=180 3、分析:從結(jié)論分析,“截長”或“補短”都可實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化,即延長AC至E使CE=CD,或在ABxx截取AF=AC。 證明:方法一(補短法) 延長AC到E,使DC=CE,則CDECED,如圖3-2 求證全等三角形的幾種方法 AFDACD(SAS)

17、, DF=DC,AFDACD。 求證全等三角形的幾種方法又ACB2B, FDBB, FD=FB。 AB=AF+FB=AC+FD, AB=AC+CD。 4、證明:(方法一) 將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N, 在AMNxx,AM+ANMD+DE+NE; 在BDMxx,MB+MDBD; 在CENxx,CN+NECE; 由+得: AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CE AB+ACBD+DE+EC (方法二:圖4-2) 延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在ABF、GFC和GDE中有: AB+AFBD+DG+GF 求證全等三角形的幾種方法GF+FCGE+CE DG+G

18、EDE 由+得: AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DE AB+ACBD+DE+EC。 5、分析:要證AB+AC2AD,由圖想到:AB+BDAD,AC+CDAD,所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,左邊比要證結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出此題,而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線,把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去 ACDEBD(SAS) BE=CA(全等三角形對應(yīng)邊相等) 求證全等三角形的幾種方法在ABE中有:AB+BEAE(三角形兩邊之和大于第三邊) AB+AC2AD。 6、分析:欲證AC=BF,只需證AC、BF所在兩個三角形全等,顯然圖中沒有含有AC、B

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