切線的性質(zhì)和判定課件

1、切線的性質(zhì)和判定切線的性質(zhì)和判定 下雨天轉(zhuǎn)動雨傘時飛出的水，以及在砂輪上打 磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出 1 當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動雨傘時水飛 出的方向是什么方向？ 2 砂輪打磨零件飛出火星的方向是什 么方向？ 情景導(dǎo)入情景導(dǎo)入 想一想想一想 過圓0內(nèi)一點作直線，這條直線與圓有什么位置關(guān)系？過 半徑OA上一點（A除外）能作圓O的切線嗎？過點A呢？ O r l A 經(jīng)過半徑的外端且垂于這條半徑 的直線是圓的切線。 條件：(1) 經(jīng)過半徑的外端； 圓的切線判定定理： (2) 垂直于過該點半徑； O A l lOA，且l 經(jīng)過O上 的A點 直線l是O的切線 符 號 語 言 表 達(dá) 說明：

2、在此定理中，題設(shè)是“經(jīng)過半徑的外端”和“垂直于 這條半徑”，結(jié)論為“直線是圓的切線”，兩個條件缺一不 可，否則就不是圓的切線， 下面兩個反例說明只滿足其中一個條件的直線不是圓的 切線： 定理辨析 判 斷 1. 過半徑的外端的直線是圓的切線（） 2. 與半徑垂直的直線是圓的切線（） 3. 過半徑的端點與半徑垂直的直線是圓的切線（） O r l A O r l A O r l A 1、如何判定一條直線是已知圓的切線？ (1)與圓只有一個公共點的直線是圓的切線； (2)到圓心的距離等于半徑的直線是圓的 切線； (3)過半徑外端點且和半徑垂直的直線 是圓的切線； (d=r) 歸納：歸納： 例1直線AB

3、經(jīng)過O上的點C,并且OA=OB,CA=CB, 求證:直線AB是O的切線. 證明: 連接OC OA=OB, CA=CB OAB是等腰三角形,OC 是底邊AB上的中線 OCAB AB是O的切線 O C B A 這種證明方法簡記為： “證切線，連半徑，證 垂垂直” 注意：使用此方法時 必須已知直線與圓有 一公共點。 練練 習(xí)習(xí) 1、 、 如如 圖圖 4， ， A B 是是 O 的的 直直 徑徑 ， ABC=45，AC=AB，AC是是O的切線嗎？的切線嗎？ 為什么？為什么？ B A C O 解：AB=AC ACB=ABC=45 0 BAC=90 0 即ABAC AB是O的直徑 AC是O的切線 變式練習(xí)

4、 練習(xí)2、如圖:線段AB經(jīng)過圓心O，交O 于點A、C，BAD=B = 30，邊BD交 圓于點D。BD是O的切線嗎？為什么？ A O B C D 解：BD是O的切線 連接OD OD=OA ODA=BAD=B =30 0 BOD=60 0 ODB=90 0 即： ODDB BD是O的切線 變式練習(xí) 證明：連結(jié)OP。 AB為直徑 OB=OA， BP=PC， OPAC。 又又 PEAC， PEOP。 PE為為0的切線。的切線。 練習(xí)3,ABC中，以AB為直徑的為直徑的O， 交邊BC于P， BP=PC, PEAC于于E。 求證:PE是是O的切線。的切線。 O A B C E P 變式練習(xí) 例例2 2:已

5、知：O為BAC平分線上一點，ODAB于D,以O(shè)為圓心，OD為 半徑作O。 求證：O與AC相切。 O A B C E D 證明：過O作OEAC于E。 AO平分BAC，ODAB OEOD OD是O的半徑 AC是O的切線。 小 結(jié) 例1與例2的證法有何不同? (1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點 ,則連結(jié)這點和圓 心,得到輔助半徑,再證所作半徑與這直線垂直。簡 記為：連半徑,證垂直。 (2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點 , 則過圓心作直線的垂線段為輔助線 ,再證垂線段長 等于半徑長。簡記為： 作垂直,證半徑。 O BA C O A B C E D . O A L 如圖：如果直線L 是O的切線,切

6、點為 A,那么半徑OA與直線 L是不是一定垂直呢? 一定垂直 切線的性質(zhì)定理: 圓的切線垂直于過切點的半徑 直線L是O 的切線，A是切 點。 LOA于A 點 簡記為：“知切線，連半徑，得垂直” 探索切線性質(zhì) 假設(shè)AB與CD不垂直,過點O作一條直徑垂直于CD, 垂足為M, 則OMOA,即圓心到直線CD的距離 小于O的半徑,因此,CD與O相 交.這與已知條件“直線與O相 切”相矛盾. CD B O A 所以AB與CD垂直. M 例3如圖，AB是O的直徑, C為O上一點， AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D. 求證： AC平分DAB A O D C B 證明：連接OC CD 是O的切線， OCCD

7、. 又AD CD , OC/AD. ACO CAD. 又OC=OD, CAO ACO CAD CAO, 故AC平分DAB 1， 如圖：AC是O的切線，B=60 0 。求 CAD= B A C O D A O C B 2，如圖：以O(shè)為圓心的同心圓， 大圓的弦AB是小圓的切線，C是切 點，求證：C是AB的中點。 已知如圖，已知如圖，ABC為等腰三角形，為等腰三角形，O是底邊是底邊BC的的 中點，O與腰AB相切于點D。AC與O相切嗎？為 什么什么? E 解：AC與O相切 連接OD,作OEAC OEC=90 0 AB是O的切線 ODAB, ODB=90 0 =OEC AB=AC B=C O是BC的中點

8、 OB=OC OBDOCE OD=OE AC與O相切 課堂小結(jié) 1. 判定切線的方法有哪些？ 直線l 與圓有唯一公共點 與圓心的距離等于圓的半徑 經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑 l是圓的切線 2. 常用的添輔助線方法？ 直線與圓的公共點已知時，作出過公共點的半徑， 再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直） 直線與圓的公共點不確定時，過圓心作直線的垂線 段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑） l是圓的切線 l是圓的切線 3. 圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于圓的半徑。 輔助線作法：連接圓心與切點可得半徑與切線垂直。 即“連半徑，得垂直”。 1. 切線和圓只有一個公共點. 2. 切線和圓

9、心的距離等于半徑. 3. 切線垂直于過切點的半徑. 4. 經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點. 5. 經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心. 切線的性質(zhì)、可歸納為 :已知直線滿足a.過 圓心,b.過切點,c.垂直于切線中任意兩個,便得到第三 個結(jié)論. 總結(jié)： 已知直角梯形ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC 的中點 E 為圓心的圓與AB 相切，梯形的上底AD 與底 BC 是方程 x 210 x + 16 = 0 的兩根，求 E 的半徑 r . F 解解：連接EF x 210 x + 16 = 0 (X-2)(X-8)=0 X1=2 X2=8 BC=8 AD=2 AB是O的切線 EFAB ABB

10、C EF/BC/AD E是DC的中點 EF是梯形ABCD的中位線 EF= (AD+BC)=5 2 1 切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例.已知RtABC的斜邊AB=8cm,直角邊 AC=4cm.以點C為圓心作圓,當(dāng)半徑為多長 時,AB與C相切 解:(1)過點C作CDAB于D. AB=8cm,AC=4cm. A=60 因此,當(dāng)半徑長為cm時,AB與C相切. 32 B A C B=30 D 練一練 1.AB 是O的弦,C是 O外一點,BC是O 的切線,AB交過C點的 直徑于點D,OACD, 試判斷BCD的形狀, 并 說明你的理由. 鞏固練習(xí) 2、矩形的兩邊長分別為、矩形的兩邊長分別為2.5和和5，若以較，若以較 長一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半 圓相切的線段最多有（） A、0條B、 1條 C、 2條 D、 3條 D 3、已知如圖ABC內(nèi)接于O，過點A作 直線EF，AB為直徑,還需添加的條件是