初一語文方波信號ft展開為傅里葉級數(shù)

1、圖4.2 方波信號的傅里葉級數(shù) 0T 2 T 2T 2 T ? T 1 1 t f (t) 例41 試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開 為傅里葉級數(shù)。 方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù) 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 ( )cos(2) 22 ( 1)cos(2)1 cos(2) 2121 sin(2)sin(2) 22 0 T Tn T T T T af tnftdt T nftdtnftdt TT nftnft TnfTnf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g 解 我們將信號按式(46)分解成傅里葉級數(shù), 并按式(4 7)、(48)、(49)分別計算an

2、,bn 及c。 2 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 ( )sin(2) 22 ( 1)sin(2)1 sin(2) 2121 cos(2) cos(2) 22 2 (1) T Tn T T T T bf tnftdt T nftdtnftdt TT nftnft TnftTnf n n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g 0,2,4,6, 4 1,3,5, n n n? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ( )0 4111 ( )sin2sin6sin10sin2 35 1,3,5, T T cf t dt T f tftftfft n n ? ? ?

3、 ? ? ? ? ? ? ? 例 3.3-1 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0 )202cos(2)10cos(31)( ? ? tt tttf ? ? 試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解 f(t)為周期信號，題中所給的 f(t)表達式可視為f(t)的傅里 葉級數(shù)展開式。據(jù) ? ? ? ? 1 0 )cos( 2 )( n nn tnA A tf? 可知，其基波頻率 = (rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 振幅譜和相位譜例題 8 . 0 4 . 0 6 3 ? ? A A ? ? 30 45 6 3 ? ? 其余 0?

4、 n A ? 2 3 2 1 ? ? A A 1 2 0 ? A ? ? ? 20 10 0 2 1 1 ? ? ? 圖 3.3-1 例 3.3-1 (a)振幅譜； (b) 相位譜 A n o?2?3?4?5?6 (a) 3 2 1 ? n o?2?3?4?5?6 (b) 15 30 45 10 20 45 30 ? ? ? 3 2 0.4 0.8 圖 3.3-2 例 3.3-1 信號的 (a) 振幅譜； (b) 相位譜 |Fn| o?2?3?4?5?6 (a) 1 2 1.5 1 0.2 0.4 1.5 1 0.2 0.4 ?3 ?4 ?5 ?6 ? n o?2?3?4?5?6 15 30

5、45 10 20 45 30 15 30 45 10 20 45 30 ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ? ?2 (b) ? ? 例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。 ? ? ? ? ? ? ? 0 )( at e tf 0 0 ? ? t t )0(? 圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-t (a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-t; (b) e-t的幅度譜 F(?) ? (b) o t 1 (a) o ? 1 f (t) e ?t (?0) 單邊指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù) a j tj tjttj e a jj e dteedtetfjF ? ? ? ? ? arctan 2 2 0 )( 11

6、 )( )()( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其振幅頻譜及相位頻譜分別為 ? ? ? ? ? arctan)( 1 )( 22 ? ? ?F 解解 ( )( ),0 ( )( ) 1 0 at j tatj t f teu t a Ff t edteedt j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g (441) (440) 單邊指數(shù)信號的頻譜 例44 求單邊指數(shù)信號的頻譜。 解 單邊指數(shù)信號是指 圖4.7 單邊指數(shù)信號及其頻譜 0? ? ?0 ? ? (a)(b) argF(?) )(? F ? 1 2 1 ? ? 2 ? 4 ? 4 ?

7、 2 例例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。 偶對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù) 圖 3.4-3 (a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜 F(j ?) ? (b) o t 1 (a) o ? 2 e ?t e? t ?0) f (t) ( )( ),0 t f teu t ? ? ? ? (442) 從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā) 00 22 11 ( ) 2 atj tatj t Feedteedt jj ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? gg (443) 例45 求雙邊指數(shù)信號的頻譜。 解 雙邊指數(shù)信號是指 偶對稱雙邊指數(shù)信號的頻譜偶對稱雙邊指數(shù)信號的頻譜 圖4

8、.8 雙邊指數(shù)信號及其頻譜 00 ? ? ? 1 t f (t) (a)(b) ? 1 ? 2 )(?F 例例 3.4-4 求圖 3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信號f(t); (b) 頻譜 X( ?) ? (b) o ? 1 o f(t) t 1 (a) e ?t e ?t ?0) 1 ? 1 奇對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? at at e e tf)( 0 0 ? ? t t (a0) 解解 圖示信號f(t)可表示為 22 0 0 211 )( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

9、 ? ? ? a j jj dteedteejF tjttjat 例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度 為， 高度為1，通常用符號g(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。 解 門函數(shù)g (t)可表示為 門函數(shù)的頻譜函數(shù) 圖 3.4-1 (a) 門函數(shù)； (b) 門函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜 F(j ?) ? ? 2? ? 4? ? 2? ? 4? ? (b) o g?(t) t 2 2 1 (a) F( ?) ? ? 2? ? 4? ? (c) 2? ? 4? ? o (?) ? ? 2? ? 4? ? (d) 2? ? 4? ? o ? ? o

10、圖4.6 矩形脈沖信號及其頻譜 0 t g?(t) (a) 1 ?/ 2 ?/ 20? 2? /? ? 2 ? /? ? (b) F( ?) 矩形脈沖信號g(t)的頻譜 例43 求矩形脈沖信號g(t)的頻譜。 1 2 ( ) 0 2 r t g t t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (436) g(t)的傅里葉變換為 2 2 sin(/2) ( ) /2 sin( ) ( ) ( )() 2 j t r r g tedt x Sa x x g tSa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (437) (438) (439) 解 矩形脈沖信號g(t)是一個如圖

11、4.6（a）所 示的門函數(shù)。其定義為 例例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-5 信號 (t) (a) 單位沖激信號(t); (b) (t)的頻譜 F(j ?) ? o f (t) t (a) o 1 (b) ?(t) (t)的頻譜函數(shù) 解解 1)()(? ? ? ? ? dtetjF tj? ? ? ? ? detf tj ? ? ? ?1 2 1 )( 可見，沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，(t)中包含了 所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯然， 信號(t)實際上是無法實現(xiàn)的。 根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于(t)的定義， 有 ( )( )1 ( )1 j

12、 t Ft edt t ? ? ? ? ? ? ? ? ? (434) (435) 沖激信號(t)的頻譜 例42求沖激信號(t)的頻譜。 解 由頻譜函數(shù)的定義式有 圖4.5 沖激信號及其頻譜 0t ?(t) (1) 0 F( ?) 1 ? (a)(b) 0 0 0 0 ()1 () jt jt tte tte ? ? ? ? ? ?(475) 移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù) 例412求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)。 解 由于已知沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)為1, 求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)，此時可利 用傅里葉變換的時移特性式(474)。 例例 3.4-6 求直流信號1的頻譜函數(shù)

13、。 圖圖 3.4-6 直流信號 f(t) (a) 直流信號f(t); (b) 頻譜 o ? (a) o 1 (b) 2? ?(?) f (t) F(j ?) 直流信號1的頻譜函數(shù) 解解 直流信號1可表示為 1)(?tf ?t dtejF tj ? ? ? ? ? ? ?1)( 0 22 000 1lim( ),0 2 1lim ( ) lim ( )lim 00 0 t tt eu t a eu teu t a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (445) (446) 例46 求單位直流信號的頻譜。 解 幅度為1的單位直流信號可表示為 f(

14、t)=1,-t0) 22 22 0 ( ) 11 2 2 0 2 lim 00 2 sgn() tjttjt Ff teedteedt jj j j j Ft j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (4-51) 符號函數(shù)sgn(t)也可看作是下述函數(shù)在取極限趨近0時的一 個特例: 例例 3.4-8 求階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 由階躍函數(shù)(t)的波形容易得到解解 )( 2 1 2 1 )(tSgnt? 從而就可更為方便地求出(t)的頻譜函數(shù)， 即 階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù) 圖 3.4-8 (a

15、) (t)的波形； (b) 頻譜 t o ?(t) (a) 1 R( ?) o (b) ? ?(?) X( ?) ? 1 ? 1 例例 3.5-1 求圖 3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。 圖 3.5-1 例 3.5-1 (a) f(t)的波形； (b) 相位譜 t o (a) 1 ?(?) o (b) ? ? ? ? 2? ? 4? ? 4? ? ? 2 2? ? f (t) 門(平移后)信號的頻譜函數(shù) 解解 ( )() 2 r g tSa ? ? 1 (2 )() 24 r gtSa ? ? 例411 已知 求g(2t)的頻譜函數(shù) 解 根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性 質(zhì),g(2t)的頻譜函數(shù)

16、為 尺度變換求頻譜尺度變換求頻譜 圖4.13 尺度變換 0t f (t) 0 F( ?) ? 1 0 ? ) 2 ( 2 1? F ? 2 ? ? 2 ? 4 ? ? 4 2 ? ? 2 ? 0t f (2t) 1 4 ? ? 4 ? 圖4.11 單邊指數(shù)信號及其頻譜 0t f (t) 0t f e(t) t0 1 1 (a)(b)(c) 2 1 f o(t) 例49利用奇偶虛實性求圖4.11單邊指數(shù)信 號f(t)=2e-tu(t)的頻譜。 利用奇偶虛實性求頻譜利用奇偶虛實性求頻譜 ( ) 0 ( ) 0 t e at o at fte et ft et ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

17、 ? 解 從波形圖（a）上可見,單邊指數(shù)信號 f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖（b）, （c）所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩部分,見下式。 f(t)=2e-tu(t)=fe(t)+fo(t) 其中 0 ()() 22 0 0 ()() 22 0 2222 22 2 ( ) 112 ( ) 22 ( )( )( ) 2()2 tj tjtjt e jtjt o eo Feeedtedt Fedtedtj jj FFFj j j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g 例例 3.5-2 求高頻脈沖信號f(

18、t)(圖 3.5-2(a)的頻譜。 圖 3.5-2 (a) f(t)的波形； (b) 頻譜 F(j ?) ? (b) t o 2 1 2 (a) 1 o 2 ? 0 ? 0 f (t) 高頻脈沖信號f(t) 的頻譜 解解 圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù) g (t) 與cos 0t 相乘，即 00 0 cos 2 jtjt ee t ? ? ? ? ? 例413 求高頻脈沖信號 p(t)=g(t) cos0t 的頻譜函數(shù) 解 由于 高頻脈沖信號的頻譜函數(shù)高頻脈沖信號的頻譜函數(shù) 故有 00 00 0 00 ( ) ( )cos ( ) 2 11 ( ) ( ) 22 1

19、()1() ( ) 2222 r jtjt r jtjt rr F p tF g tt ee F g t F g t eFg t e F p tSaSa ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 根據(jù)頻移特性有 圖4.14 頻移特性 例例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。 解解 若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如 te -jt的繁 復(fù)積分求解問題。而利用時域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導(dǎo)，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f 1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)， 得到圖 3.5-5(c)所示的f 2(t)， 顯然有 )()()()(

20、 )()()( 12 btatatbt ab A tftftf ? ? ? ? ? 梯形信號f(t )的頻譜函數(shù) 圖 3.5-5 to A b (a) a a bto b (b) a f 1(t) f (t) a b A ba A ba to b (c) a f 2(t) f (t) a b A ba A ba f (t) 據(jù)時移性質(zhì)有據(jù)時移性質(zhì)有 圖 3.5-6 另一種梯形信號 to A 1 ba ab 1 f (t) 圖4.15 梯形脈沖的傅里葉變換 E 0 f (t) 2 1 ? 2 2 ? 2 1 ? ? 2 2 ? ? t 1 0 2 12 ? 2 12 ? ? ? 0 2 12 ?

21、 2 12 ? ? ? f 1(?) f 2(?) 12 2 ? E (a)(b)(c) 梯形脈沖的傅里葉變換 例414 求圖4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。 0101 1 010101 2 01 010101 12 0101 2 01 () ()() 24 2()() ()()() 244 ()()() ()()()()() 244 8()() ()sinsin ()44 FSa E FSaESa E FFFSaSa e F ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? g 解 梯形脈沖可看作是兩個不同寬度的矩形脈沖 f1(t)

22、與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脈沖的傅里葉變換已在例 43中求出,具體來說 圖4.16 半波正弦脈沖 p(t) 2 ? 2 ? ? 1 g?(t) 2 ? 2 ? ? 1 0 t t cos? 0t 1 t 0 ? 0 ? 0 p( ?) g?(?) 0 0 F( ?) ? ? ? ? 0 ? 0 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 0t f (t) 2 ? 2 ? ? 0t 2 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 0 t ? 2 ? 2 ? 4 ? (a)(b)(c) f (t) f (t) 圖4.17 三角形脈沖及其一、二街導(dǎo)的波形 例

23、 3.6-1 求圖 3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(j )。 圖 3.6-1 (a) f(t)的波形； (b) 復(fù)振幅Fn; (c) 頻譜函數(shù) F(j) f (t) t o 2 T 1 2 T (a) Fn ? o (b) ? T 2? ? ? o (c) ? 2? ? F(j ?) 2? ? ? 周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù) 解解 周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為 )( 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n Sa T n ? ? ), 2, 1, 0(?n 例例 3.6-2 圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列 T(t)，其周期為 T，T

24、(t)可表示為 ? ? ? ? m T mTtt)()(?m為整數(shù) 圖 3.6-2 周期沖激序列及其頻譜 (a) t ?T(t) T o 1 T 2T (b) ? ? ? (?) ? o 2? ? ? 周期沖激函數(shù)序列 T(t)的頻譜 解解 先求 T(t)的復(fù)振幅Fn： 設(shè)一周期信號fT(t)，其周期為T，f T(t)中位于第一個周期 的信號若為f a(t)，則不難得到 已經(jīng)知道 例例 3.8-1 已知激勵信號 f(t)=(3e -2t -2)(t)，試求圖 3.8-1 所示 電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)u Cf(t)。 圖 3.8-1 例 3.8-1 的圖 f (t) 1 ? 1 F u Cf

25、 (t) C R 用頻域分析法求響應(yīng) 注意到()的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得 U Cf(j)的 逆變換，將UCf(j)按如下形式整理: 圖4.19 uS(t) u(t) uO(t) 1 0t uS(t)uO(t) 0 1 t 例420如圖4.19所示,試分析單位階躍信 號u(t)通過RC高通網(wǎng)絡(luò)傳輸后的波形。 用頻域法求響應(yīng) ( )( )( ) SRC S RC UUU UUU? ? ? ? ? 則按H()的定義有 () ( )( ) ( ) 1 ()( )( )( ) f RR SRC Y UURj H FUUUj R j C ? ? ? ? ? ? ? ? 對于單位階躍信號u(t)而言,此時 1 ( )( )u t j ? ? ? ? 解 顯然,當輸入信號uS(t)為復(fù)指數(shù)信號e jt時, 如圖有 1 ( ) ( )( ) 1 ( )( )( )(