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文檔簡介
1、13.4 將軍飲馬最短路徑問題教學(xué)設(shè)計一、教學(xué)內(nèi)容解析為了解決生產(chǎn),經(jīng)營中省時省力省錢而希望尋求最佳的解決方案而產(chǎn)生了最短路徑問題.初中階段,主要以“兩點之間,線段最短”,“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短”,為理論基礎(chǔ),有時還要借助軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換進行研究.本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習平移、軸對稱等變換的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體進行變式設(shè)計,開展對“最短路徑問題”的課題研究,讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題,再利用軸對稱、平移將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”的問題.從中,讓學(xué)生借助所學(xué)知識和生活經(jīng)驗獨立思考或與他人合作,
2、經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,分析問題和解決、驗證問題的全過程,感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間,數(shù)學(xué)與實際生活之間及其他學(xué)科的聯(lián)系,激發(fā)學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣,加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解,它既是軸對稱、平移知識運用的延續(xù),又能培養(yǎng)學(xué)生自行探究,學(xué)會思考,在知識與能力轉(zhuǎn)化上起到橋梁作用?;谝陨戏治觯竟?jié)課的教學(xué)重點確定為:教學(xué)重點利用軸對稱、平移等變換將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題.二、教學(xué)目標解析新課程標準明確要求,數(shù)學(xué)學(xué)習不僅要讓學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)知識、技能,還要包括在啟迪思維、解決問題、情感與態(tài)度等方面得到發(fā)展.因此,確定教學(xué)目標如下:教學(xué)目標能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題,體會圖
3、形的變化在解決最值問題中的作用,感悟領(lǐng)會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)學(xué)生探究問題的興趣和合作交流的意識,感受數(shù)學(xué)的實用性,體驗自己探究出問題的成就感.目標解析達線目標的標志是:學(xué)生能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地”抽象為數(shù)學(xué)中的“點”、“線”,把最短路徑問題抽象為數(shù)學(xué)中的線段和最小問題,能利用軸對稱將處在直線同側(cè)的兩點,變?yōu)閮牲c處在直線的異側(cè),能利用平移將兩條線段拼接在一起,從而轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”問題,能通過邏輯推理證明所求距離最短,在探索問題的過程中,體會軸對稱、平移的作用,體會感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.三、學(xué)生學(xué)情診斷八年級的學(xué)生直接經(jīng)驗少,理解能力差,抽象思維水平較低,處于直覺經(jīng)驗型
4、思維向邏輯思維的過渡階段,辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態(tài)上.最短路徑問題從本質(zhì)上說是最值問題,作為初中生,在此前很少涉及最值問題,解決這方面問題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗尚顯不足,特別是面對具有實際背景的最值問題,更會感到陌生,無從下手.解答:“當點A、B在直線的同側(cè)時,如何在上找點C,使AC與CB的和最小”,需要將其轉(zhuǎn)化為“直線異側(cè)的兩點,與上的點的線段和最小”的問題,為什么需要這樣轉(zhuǎn)化,怎樣通過軸對稱實現(xiàn)轉(zhuǎn)化,一些學(xué)生會存在理解和操作方面的困難.在證明“最短”時,需要在直線上任取一點,證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法,一些學(xué)生還想不到.在解答“使處在直線兩側(cè)的兩線段和最小”的問題
5、,需要把它們平移拼接在一起,一些學(xué)生想不到.教學(xué)時,教師可以讓學(xué)生首先思考“直線的異側(cè)的兩點,與上的點的線段和最小”,給予學(xué)生啟發(fā),在證明“最短”時,點撥學(xué)生要另選一個量,通過與求證的那個量進行比較來證明,同時讓學(xué)生體會“任意”的作用,因此確定本節(jié)課的教學(xué)難點為:教學(xué)難點如何利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為線段和最小問題.四、教學(xué)策略分析建構(gòu)主義理論的核心是“知識不是被動接受的而是認知主體積極建構(gòu)的.”根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標、教材內(nèi)容以及學(xué)生的認知特點和實際水平,教學(xué)上采用“引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)證明歸納總結(jié)”的教學(xué)模式,鼓勵引導(dǎo)學(xué)生、開動腦筋、大膽嘗試,在探究活動中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維與想象能力.教師的教法:
6、突出解題方法的引導(dǎo)與啟發(fā),注重思維習慣的培養(yǎng),為學(xué)生搭建參與和交流的平臺.通過對“將軍飲馬問題”而改編與設(shè)計,增強數(shù)學(xué)課堂趣味性,相同背景,不同問題,由淺入深、層層遞進,有利于學(xué)生分析與解決問題,同時利用現(xiàn)代的信息技術(shù),直觀地展示圖形的變化過程,提高學(xué)生學(xué)習興趣與激情.學(xué)生的學(xué)法:突出探究與發(fā)現(xiàn),思考與歸納提升,在動手探究、自主思考、互動交流中,獲取知識與能力.五、教學(xué)基本流程探索新知運用新知拓展新知提煉新知課外思考六、教學(xué)過程設(shè)計(一)探索新知1、建立模型問題1 唐朝詩人李頎的詩古從軍行開頭兩句說:“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題如圖1所示,詩中將軍在觀望烽火之
7、后從山腳下的指揮部A地出發(fā),到一條筆直的河邊飲馬,然后到軍營B地,到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短?追問1,這是一個實際問題,你打算首先做什么呢?師生活動:將A、B兩地抽象為兩個點,將河抽象為一條直線追問2,你能用自己的語言說明這個問題的意思,并把它抽象為數(shù)學(xué)的問題嗎?師生活動:學(xué)生交流討論,回答并相互補充,最后達成共識:(1)行走的路線:從A地出發(fā),到河邊飲馬,然后到B地;(2)路線全程最短轉(zhuǎn)化為兩條線段和最短;(3)現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線上的點.設(shè)C為直線l上的一個動點,上面的問題轉(zhuǎn)化為:當點C在的什么位置時,AC與CB的和最小設(shè)計意圖從數(shù)學(xué)史上久負盛
8、名的“將軍飲馬問題”引入,增加學(xué)生們的數(shù)學(xué)底蘊,提高其人文思想.同時引導(dǎo)學(xué)生分析題意,畫出圖形.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題更有利于分析問題、解決問題.2、 解決問題問題2如圖點A、B在直線的同側(cè),點C位直線上的一個動點,當點C在的什么位置時,AC與CB的和最?。繋熒顒樱鹤寣W(xué)生獨立思考、畫圖分析,并展示如果學(xué)生有困難,教師作如下提示:(1)如圖,如果軍營B地在河對岸,點C在的什么位置時,AC與CB的和最?。坑纱耸艿绞裁磫l(fā)呢?(2)如圖,如何將點B“移”到的另一側(cè)B處,且滿足直線上的任意一點C,都保持CB與CB的長度相等?學(xué)生在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下,完成作圖.設(shè)計意圖先通過學(xué)生對本題的思考嘗試,并展
9、示,師生共同糾錯,提高認識與辯證思想,再通過老師的引導(dǎo)啟發(fā)明白解決這個問題應(yīng)該運用軸對稱的性質(zhì),將兩點在直線同側(cè)的問題,轉(zhuǎn)化為兩點在直線異測的問題,提高學(xué)生的空間想象能力與邏輯思維能力,讓學(xué)生在思考和解決問題的過程中,提高甄別是非的能力,感悟轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 3、 證明“最短”問題3,為什么這種作法是正確的呢?你能用所學(xué)的知識證明AC+CB最短嗎?師生活動:分組討論,教師引導(dǎo)點撥,結(jié)合多媒體的演示,師生共同完成證明過程.證明:如圖,在直線上任取一點C.連接AC、BC、BC.由軸對稱的性質(zhì)可知:BC=BC BC.=BCAC+BC=AC+BC=ABAC+BC=AC+BC當C與C不重合時ABAC+C
10、BAC+BCAC+CB當C與C重合時AC+BC=AC+CB總之,AC+BCAC+CB即AC+BC最短設(shè)計意圖利用現(xiàn)代信息技術(shù),通過移動點C的位置,可發(fā)現(xiàn):當C與C不重合時,AC+BCAC+CB,當C與C重合時,AC+BC=AC+CB.讓學(xué)生很容易知道AC+BC最短,消除了學(xué)生的疑慮,發(fā)揮了多媒體的作用,讓學(xué)生進一步體會作法的正確性,提高了邏輯思維能力.4、 小結(jié)新知回顧前面的探究過程,我們是通過怎樣的過程,借助什么解決問題的?體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?師生活動:學(xué)生回答,并相互補充.設(shè)計意圖讓學(xué)生在反思的過程中,體會軸對稱的“橋梁”作用,感悟轉(zhuǎn)化思想,明確解題的方法與策略,為后面進一步的學(xué)習探究做準
11、備.(二)運用新知如圖,如果將軍從指揮部A地出發(fā),先到河邊a某一處飲馬,再到草地邊b某一處牧馬,然后來到軍營B地,請畫出最短路徑. 師生活動:分組討論,教師點撥,點學(xué)生上臺操作演示,畫出最短路徑.設(shè)計意圖對前面所學(xué)的解題方法與思路得以鞏固,讓學(xué)生形成技能,進一步體會感悟數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想,點學(xué)生上臺操作演示,提高他們的學(xué)生興趣與實踐能力,體會成功的喜悅,激發(fā)他們進一步探究問題的欲望.(三)拓展新知有一天,將軍突發(fā)奇想:如果從指揮部A地出發(fā),到一條筆直的河邊a某處飲馬,然后沿著河邊行走一定的路程,再來到軍營B地,到河邊什么地方飲馬可使所走的路線全程最短?師生活動:1、老師首先解釋行走一定的路程的含
12、義,引導(dǎo)學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,再提出如下問題:(1)要使所走的路線全程最短,實際上是使幾條線段之和最短?(2)怎樣將問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間,線段最短”的問題.2、分組討論,師生共同分析.3、完成作圖,體會作圖的步驟與分析問題的思路的聯(lián)系與區(qū)別.設(shè)計意圖本題在“將軍飲馬問題”的背景下進行改編,有造橋選址問題的影子,既增強了課堂教學(xué)的趣味性,又完成了教學(xué)任務(wù),可謂一舉兩得.教學(xué)由問題引領(lǐng),老師引導(dǎo),學(xué)生小組合作討論交流的方式,充分發(fā)揮現(xiàn)代信息技術(shù)的作用完成分析與解答的過程,讓學(xué)生學(xué)得輕松與愉悅,培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、綜合與分析能力,在解決問題的過程中,體會作圖題的解題方法與策略.讓
13、學(xué)生的能力得到進一步鍛煉與提高.(四)提煉新知師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容,并請學(xué)生回答以下問題:1、本節(jié)課研究問題的過程是什么?2、解決上述問題運用了什么知識?3、在解決問題的過程運用了什么方法?4、運用上述方法的目的是什么?體現(xiàn)了什么樣的數(shù)學(xué)思想?設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的策略、思路、方法的同時,并從運用的知識、方法、思想方面進行歸納總結(jié),讓學(xué)生對本節(jié)課有一個更清晰、更系統(tǒng)的認識,體會軸對稱、平移在解決最短路徑問題中的作用,感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值.(五)課外思考將軍又提出一個問題:如圖,如果將軍從指揮部A地出發(fā),到一條筆直的河邊a某處飲馬,然后沿著河邊行走一定的路程,再來到草地邊b某一處牧馬,最后來到軍營B地,到河邊
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