多面體外接球半徑常見的5種求法(柯建華)(20210424094920)

1、多面體外接球半徑常見得5種求法如果一個(gè)多面體得各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體就是球得內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體得外接球、有矢多面體外接球得問題，就是立體幾何得一個(gè)重點(diǎn)也就是高考考查得個(gè)熱點(diǎn)、研究多面體得外接球問題，既要運(yùn)用多面體得知 識(shí)，又要運(yùn)用球得知識(shí)，并且還要特別注意多面體得有尖幾何元素與球得半徑 之間得尖系，而多面體外接球半徑得求法在解題中往往會(huì)起到至尖重要得作用、知識(shí)回顧：1、球心到截面得距離d與球半徑R及截面得半徑r有以下尖系2球面被經(jīng)過球心得平面截得得圓叫被不經(jīng)過球心得平面截得得圓叫3、球得表面積表面積S= ；球得體積V二4、球心一定在過多邊形（頂點(diǎn)均在球面上）外接圓

2、圓心且垂直此多邊形所在平面得垂線上方法一：公式法例1 一個(gè)六棱柱得底面就是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱得頂 點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱得體積為 底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球得體積為、解設(shè)正六棱柱得底面邊長(zhǎng)為，高為，則有二正六棱柱得底面圓得半徑，球心到底面得距離、二外接球得半徑=、 小結(jié)：本題就是運(yùn)用公式求球得半徑得，該公式就是求球得半徑得常用公式、（R-球得半徑;d 球心到球截面圓得距離，注意球截面圓通常就是頂點(diǎn)在球上多邊形得外接圓；r頂點(diǎn)在球上多邊形得外接圓得半徑）方法二：多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上得正四棱柱得高為4,體積為16,則這個(gè)球得表面積就是（）A E

3、C解：設(shè)正四棱柱得底面邊長(zhǎng)為*外接球得半徑為，則有5解得、這個(gè)球得表面積就是、選C、小結(jié)：本題就是運(yùn)用“正四棱柱體（包括正方體、長(zhǎng)方體）對(duì)角線得長(zhǎng)等于其外接 球得直徑這一性質(zhì)來求解得、方法三：補(bǔ)形法例3 :若三棱錐得三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球得表面積就是、解:據(jù)題意可知，該三棱錐得三條側(cè)棱兩兩垂直， 把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為得正方體，于就是正方體得外接球就就是三棱錐得外接球、設(shè)其外接球得半徑為，則有、二、故其外接球得表面積、小結(jié):一般地，若一個(gè)三棱錐得三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這 個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于就是長(zhǎng)方體得體對(duì)角線得長(zhǎng)就就是該三棱錐得外接球得

4、直 徑、設(shè)其外接球得半徑為，則有、方法四：尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐得底面邊長(zhǎng)與各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球得體積為、 解設(shè)正四棱錐得底面中心為，外接球得球心為，如圖3所示、二由球得截面得性質(zhì)，可得、又，球心必在所在得直線上、二得外接圓就就是外接球得一個(gè)軸截面圓，外接圓得半徑就就是外接球得半徑、在 中，由，得、二就是外接圓得半徑，也就是外接球得半徑、故、小結(jié):根據(jù)題意,我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素得外接球得一個(gè)軸 截面圓，于就是該圓得半徑就就是所求得外接球得半徑、本題提供得這種思路就是探求 正棱錐外接球半徑得通解通法，該方法得實(shí)質(zhì)就就是通過尋找外接球得一個(gè)軸截面圓，

5、從 而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究、這種等價(jià)轉(zhuǎn)化得數(shù)學(xué)思想方法值得我們 學(xué)習(xí)、方法五:確定球心位置法例5在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體得外接球得體積為解:設(shè)矩形對(duì)角線得交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知、二點(diǎn)到四面體得四 個(gè) 頂點(diǎn)得距離相等，即點(diǎn)為四面體得外接球得球心 如圖2所示、 外接球得半徑、 故、選C、小結(jié):若四面體或三棱錐得一條棱所對(duì)得兩個(gè)頂角都就是直角，則利用直角三角 形知識(shí)可知：四面體外接球得球心就就是這條棱得中心，球得半徑等于此棱長(zhǎng)度得一半?！揪毩?xí)鞏固】練習(xí)1 （陜西，2010）如圖，在三棱錐P-ABC 中，EA丄平八ABC9B丄PB,CB丄A/t且巳1

6、二2肋二 2BC - 2求其外接球的體積乜練習(xí)2全國(guó)卷，2010）已知三棱錐的各條 棱長(zhǎng)均為止求其 外接球的表面積。練習(xí)3 （河北，2012）如圖，在四面體ABCD中，妙二 DOTIS , AD -BC -&BD -AC ，求其夕卜 接球的表面積口【參考答案】練習(xí)1 【補(bǔ)形法】R魯叫恥他【軸截面法】練習(xí)2【補(bǔ)形法】OA=OB=OC=OP【軸截面法】練習(xí)3法】0DAO2 = AE2 - OE2心學(xué)S=4*=l疋【補(bǔ)形9S = 4 九 R?= 14%23已知三圉的頂點(diǎn)部在球。的表百匕干底而ABC.若AC = 4.ZA8C=301 AAA 6,則球0的衰而積積為*00XJ50zd兀從50開324已知S為球。的頁(yè)徑，兒B層該球面上的兩點(diǎn).初二SC, ZASC = ZKSG.若三榜24鏈5- ABC的體積為型，貝I球。的體積為（3A.B,