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第二篇連續(xù)系統(tǒng)的線性振動(dòng)第二篇
連續(xù)系統(tǒng)的線性振動(dòng)第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析描述離散系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程——常微分方程組描述連續(xù)分布系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程——偏微分方程(組)偏微分方程(組)所描述的是一個(gè)場(chǎng)的問(wèn)題:位移場(chǎng)應(yīng)力場(chǎng)溫度場(chǎng)電磁場(chǎng)關(guān)鍵問(wèn)題:控制方程、邊界條件一維問(wèn)題:弦、桿、梁等結(jié)構(gòu)一個(gè)空間坐標(biāo)x和一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)t二維問(wèn)題:薄膜、薄板、中厚板、薄殼等結(jié)構(gòu)兩個(gè)空間坐標(biāo)x、y和一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)t三維問(wèn)題:重力壩、厚板、厚殼等結(jié)構(gòu)三個(gè)空間坐標(biāo)x、y、z和一個(gè)時(shí)間坐標(biāo)t第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析§8-1弦的振動(dòng)圖8.1.1弦單元體的受力分析弦,是指極易彎曲,在軸向可以承受很大張力的非常細(xì)的桿。y方向的平衡條件:幾何關(guān)系:§8-1弦的振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析自由振動(dòng)方程(波動(dòng)方程):橫波沿弦傳播的波速:波動(dòng)方程的一般解:第一項(xiàng)表示振動(dòng)波形以波速c沿x軸的正方向傳播分離變量法解波動(dòng)方程,設(shè):上標(biāo)“′”表示對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)波動(dòng)方程與分離變量法
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析左邊僅是x的函數(shù),右邊僅是t的函數(shù)。A1與A2由邊界條件確定,B與α由初始條件確定。若弦在x=0和x=l兩端固定,邊界條件為:非零解:波動(dòng)方程的解
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析第n階固有振型:振型函數(shù)的正交性:一般解答:初始條件:初始條件與自由振動(dòng)解
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析弦的受迫振動(dòng):引入廣義坐標(biāo)Yn(t),應(yīng)用振型疊加法,設(shè)解:結(jié)論:一個(gè)彈性系統(tǒng)相當(dāng)于具有無(wú)窮多個(gè)自由度,具有無(wú)窮多個(gè)固有頻率,每個(gè)固有頻率都對(duì)應(yīng)一個(gè)振型。常采用模態(tài)截?cái)啵菏芷日駝?dòng)解答
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析共振原理:當(dāng)激振力頻率等于弦的固有頻率ωn
,出現(xiàn)共振峰。工程應(yīng)用:測(cè)試弦的固有頻率推算弦的索力。斜拉橋通過(guò)拉索將橋面荷載經(jīng)主塔傳入地基,當(dāng)橋建成并投入運(yùn)行一段時(shí)間后,由于橋本身結(jié)構(gòu)的自我調(diào)整,拉索的張力會(huì)有所變化,但不允許變化太大,這就需要采用某種比較實(shí)用的方法來(lái)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。影響fn的因素:(1)
ρ
的取值問(wèn)題;(2)鋼絞線抗彎剛度EI的影響;索力公式
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析四川宜賓小南門(mén)大橋四川宜賓小南門(mén)大橋?yàn)榭鐝?40m的中承式肋拱,是我國(guó)該種橋型的最大跨徑。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析1.索的振動(dòng)2.索的振動(dòng)控制弦的振動(dòng)及影視資料洞庭湖斜拉橋
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析濟(jì)南黃河公路橋濟(jì)南黃河公路橋位于濟(jì)南市北郊,距濟(jì)青高速公路約2km,全長(zhǎng)2033.44m
,主橋長(zhǎng)488m,為5孔40+94+220+94+20(m)連續(xù)的預(yù)應(yīng)力混凝土雙塔斜拉橋。引橋長(zhǎng)1535.44m,采用51孔30m跨度的先張法預(yù)應(yīng)力組合槽形梁。主梁斷面為閉口雙室箱梁,梁高2.75m,采用掛籃懸澆施工。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析銅陵長(zhǎng)江大橋銅陵長(zhǎng)江大橋位于銅陵市羊山磯下游600米處,橋型為預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土雙塔索面斜拉橋,是世界上同類(lèi)型第3位大跨徑橋梁。全長(zhǎng)2592米,主橋長(zhǎng)1152米,最大跨徑為432米,橋面寬度23米,其中4車(chē)道15米,人行道5米,通航凈高24米。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析蕪湖長(zhǎng)江大橋蕪湖長(zhǎng)江大橋蕪湖長(zhǎng)江大橋是一座公鐵兩用低塔斜拉特大橋,正橋共有15個(gè)橋墩。大橋?yàn)殡p層,鐵路在下層,公路在上層。鐵路橋?yàn)镮級(jí),雙線,全長(zhǎng)10511米,正橋長(zhǎng)2193米,橋?qū)?1米(設(shè)四車(chē)道寬18米,兩側(cè)人行道各寬1.5米),蕪湖岸引橋長(zhǎng)2038米,無(wú)為岸引橋長(zhǎng)1449米。全橋混凝土總量約為55萬(wàn)立方米,結(jié)構(gòu)用鋼材約11萬(wàn)噸。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析弦的振動(dòng)及影視資料安慶長(zhǎng)江大橋施工情況
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析都江堰安讕橋都江堰安讕橋(1)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析云南永平縣霽虹橋云南永平縣霽虹橋云南永平縣霽虹橋,跨瀾滄江,是中國(guó)現(xiàn)存最古、最寬、鐵索最多的鐵索橋,橋凈跨57.3m,全長(zhǎng)113.4m,橋?qū)捈s4.1m。橋底有索16根,左右欄桿索共兩根,橋位于通往印度、緬甸的千年古道上。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析西藏拉薩達(dá)孜橋西藏拉薩達(dá)孜橋達(dá)孜橋位于西藏拉薩市東郊25km處,跨越拉薩河,建于1984年。為跨徑500m的懸索橋。由于一側(cè)的塔架和鞍座設(shè)在山上,橋面長(zhǎng)度僅415m。橋面寬4.5m,為單車(chē)道橋。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析江陰長(zhǎng)江大橋懸索-吊桿特寫(xiě)江陰長(zhǎng)江大橋懸索-吊桿特寫(xiě)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析潤(rùn)楊大橋全景圖潤(rùn)楊大橋全景圖潤(rùn)揚(yáng)長(zhǎng)江公路大橋是長(zhǎng)江上第一座由懸索橋和斜拉橋組成的組合型橋梁,于2000年10月20日開(kāi)工建設(shè),她跨江連島,北起揚(yáng)州,南接鎮(zhèn)江,全長(zhǎng)35.66公里,主線采用雙向6車(chē)道高速公路標(biāo)準(zhǔn),設(shè)計(jì)時(shí)速100公里。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析汕頭海灣大橋汕頭海灣大橋全景位于廣東汕頭游覽風(fēng)景點(diǎn)媽嶼島處跨越汕頭海灣,面對(duì)臺(tái)灣海峽,全長(zhǎng)2420米,懸索橋主跨452米,采用預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土加勁梁,橋面寬23.8米。1999年榮獲全國(guó)第八屆優(yōu)秀工程設(shè)計(jì)銀質(zhì)獎(jiǎng),國(guó)家科技進(jìn)步二等獎(jiǎng),中國(guó)建筑工程魯班獎(jiǎng)。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析圖8.2.1桿縱向振動(dòng)時(shí)單元體的受力分析§8-2直桿的縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)8.2.1直桿縱向振動(dòng)的微分方程力學(xué)模型:單元體受力分析:軸向的平衡條件:虎克定律:等截面桿自由振動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)微分方程:§8-2直桿的縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程圖8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)單元體的受力分析力學(xué)模型:單元體受力分析:轉(zhuǎn)動(dòng)平衡條件:內(nèi)力—變形關(guān)系:等截面桿自由振動(dòng)方程:運(yùn)動(dòng)微分方程:8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的微分方程
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.2.3直桿的縱向自由振動(dòng)自由振動(dòng)方程:分離變量法:類(lèi)似得到解答:邊界條件:①x=0固支,x=l自由的桿與弦的方程在數(shù)學(xué)上相似,一個(gè)是橫向振動(dòng),一個(gè)是縱向振動(dòng)。8.2.3直桿的縱向自由振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析振型函數(shù):②兩端固支的桿:③兩端自由的桿:一般解:邊界條件與振型函數(shù)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.2.4振型函數(shù)的正交性振型函數(shù):
分別滿足特征方程:第一式兩邊乘以φn(x),從0到l積分,并分部積分:不管兩端是固定還是自由,都能保證右邊第一項(xiàng)為零。8.2.4振型函數(shù)的正交性
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析
同理有:兩式相減:振型函數(shù)的正交性m=n:
模態(tài)剛度:模態(tài)質(zhì)量:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析初始條件:任意初始干擾下的一般解:一般解與初始條件由正交條件得:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析有一根兩端固定的桿,在中央處作用一個(gè)集中軸向力F0,現(xiàn)將突然撤去F0
,求桿的自由振動(dòng)?!纠?.2.1】解:先求u(x,0),由對(duì)稱(chēng)性,左半部的拉應(yīng)變與右半部的壓應(yīng)變?cè)跀?shù)值上相等。取單元體:初始條件:?jiǎn)栴}:集中力作用在任意位置?例8.2.1
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析自由振動(dòng)位移:例8.2.1續(xù)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.2.5變截面桿縱向振動(dòng)的數(shù)值解法
運(yùn)動(dòng)微分方程:等截面桿:梁的理論:荷載q、剪力FQ和彎矩M的關(guān)系:降階處理:相似關(guān)系:實(shí)桿虛梁固定端簡(jiǎn)支邊自由邊界滑動(dòng)支座8.2.5變截面桿縱向振動(dòng)的數(shù)值解法
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析具體計(jì)算過(guò)程:以一端固定,另端自由等截面桿為例。將虛梁離散,結(jié)點(diǎn)編號(hào),表中第一列為結(jié)點(diǎn)號(hào);假定初始振型,見(jiàn)表中的第二列;由虛梁上分布荷載q(x)計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)荷載(第三列);根據(jù)虛梁的邊界條件和結(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算虛梁上各結(jié)點(diǎn)的剪力和彎矩,分別列在第四和第五列;將u的結(jié)果歸一化得修改后振型,可依次迭代下去。計(jì)算過(guò)程
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析表8.2.1x=0
固定,x=l
自由的等截面桿一階頻率系數(shù)a1的迭代過(guò)程結(jié)點(diǎn)00.000000.39393-60.718970.000000.0000010.195092.33358-58.3853960.718970.1950820.382684.57296-53.81243119.104360.3826730.555576.64536-48.16707172.916790.5555640.707118.45811-38.70896220.083860.7071050.831479.94569-28.76327258.792820.8314760.9238811.05106-18.71221288.556090.9238870.9807911.73178-5.98043305.268300.9807981.000005.980430.00000311.248731.00000相乘因子1表8.2.1
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析可以證明,逐次迭代將收斂于第一階振型φ1
證明:設(shè)初始振型為φ1,迭代后振型為由迭代過(guò)程知:不考慮共同相乘因子ρω2l2/E,存在關(guān)系:同理:對(duì)任意初始振型u0(x),作展開(kāi):
振型迭代法的收斂性證明
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析迭代后振型:為求高階頻率和振型,采用清除法消除低階振型影響。【例8.2.2】一端固定一端自由等截面桿,自由端帶附加集中質(zhì)量,求一階頻率系數(shù)。解質(zhì)量比:運(yùn)動(dòng)微分方程:第一次迭代過(guò)程見(jiàn)表8.2.2。例8.2.2
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析表8.2.2自由端帶附加質(zhì)量的等截面桿一階頻率系數(shù)a1
的第一次迭代結(jié)果結(jié)點(diǎn)00.0000.3935-70.34220.000000.0000010.1952.333-68.009270.34220.1812320.3834.581-63.4282138.35140.3564530.5566.6501-56.7781201.77960.5187640.7078.459-48.3191258.55770.6661450.8329.9511-38.368306.87680.7906360.92411.053-27.315345.24480.8894870.98111.734-15.581372.55980.9598681.0005.981+9.60.000388.14081.00000相乘因子11/961/961/768388.1408/768計(jì)算頻率系數(shù):再經(jīng)三次迭代得精確解:表8.2.2
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析表8.2.3階梯形桿一階頻率系數(shù)a1
的第一次迭代結(jié)果結(jié)點(diǎn)010.000.39-36.917510.000000.00000110.192.26-34.6575136.91750.1715210.364.30-30.3575171.57500.33249310.515.9325-24.42501101.93250.4735240.750.635.615-18.81002126.35750.5869850.50.764.7175-14.09252163.97750.7617460.50.895.315-8.77752192.16250.8926770.50.975.795-2.98252209.71750.9742280.51.002.98250.00002215.26751.00000相乘因子11/961/961/768215.2675/768【例8.2.3】求階梯形桿的第一階頻率系數(shù)。一次:兩段桿的長(zhǎng)度相等,A1/A2=2,中間結(jié)點(diǎn)處的A取平均值。
三次:精確:例8.2.3
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析【例8.2.4】求楔形桿的第一階頻率系數(shù):解:離散化后各段內(nèi)的剪力為常量;乘上因子1/A(x)=l/(l-x)后,求M時(shí)進(jìn)行數(shù)值積分;在自由段的一段,為消除奇異性,假定剪力在該段內(nèi)按拋物線分布,并保證自由端的剪力為零。
Bessel函數(shù)求解已得精確解:第一次迭代:第三次迭代:例8.2.4
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析結(jié)點(diǎn)010.000.29625-20.1687510.000000.0000017/80.161.6475-18.521258/721.545290.1636623/40.332.9275-15.593754/344.38580.3371735/80.503.7025-11.891258/567.130410.5099441/20.663.9125-7.97875288.358060.6711953/80.803.5575-4.421258/3106.72080.8106861/40.912.69875-1.72254121.06210.9196271/80.991.4650-0.25758130.613670.99218801.000.25750.0000131.643671.00000相乘因子11/961/961/768131.64367/768表8.2.4楔形桿一階頻率系數(shù)a1
的第一次迭代結(jié)果表8.2.5給出了分段數(shù)對(duì)結(jié)果的影響,收斂速度也較快。表8.2.4
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析表8.2.5幾種不同分段情況下楔形桿的一階頻率系數(shù)a1
分段數(shù)n(計(jì)算值)(精確解)相對(duì)誤差62.39355712.4048256-0.47%82.3996868-0.21%102.4037304-0.05%【例8.2.5】求喇叭形桿的二階頻率:一階頻率系數(shù)迭代結(jié)果:精確解:一階振型:φ1
為求二階頻率,設(shè)u0為任意初始振型。清除后的迭代矢量:按辛卜生公式計(jì)算迭代四次結(jié)果:精確解:例8.2.5
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析§8-3歐拉梁的橫向振動(dòng)圖8.3.1梁的橫向振動(dòng)8.3.1自由振動(dòng)微分方程
力學(xué)模型:邊界條件:①簡(jiǎn)支:②固支:③自由:內(nèi)力與橫向位移y之間的關(guān)系:§8-3歐拉梁的橫向振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析圖8.3.1梁的橫向振動(dòng)動(dòng)平衡方程:§8-3歐拉梁的橫向振動(dòng)平衡微分方程:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析應(yīng)用哈密頓原理建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程①梁的動(dòng)能:②梁的勢(shì)能:③外荷載的功:哈密頓原理:哈密頓原理建立運(yùn)動(dòng)方程將有關(guān)表達(dá)式代入并進(jìn)行變分運(yùn)算得:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析分部積分,并考慮梁的邊界條件和δy(t1)=δy(t2)=0
自由振動(dòng)方程δy的任意性自由振動(dòng)方程:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析
8.3.2等截面歐拉梁的無(wú)阻尼自由振動(dòng)
EI和m均為常量:分離變量法:8.3.2等截面歐拉梁的無(wú)阻尼自由振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析①兩端簡(jiǎn)支的梁,邊界條件為:簡(jiǎn)支梁邊界條件與振型函數(shù)頻率方程:振型函數(shù):
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析②懸臂梁:x=0固支,x=l自由懸臂梁邊界條件與振型函數(shù)齊次方程的非零解條件:頻率方程:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析頻率方程:頻率系數(shù):振型函數(shù):③其他幾種常見(jiàn)邊界條件的梁:見(jiàn)表8.3.1兩端自由的梁有兩個(gè)剛體模態(tài),對(duì)應(yīng)a=0
說(shuō)明:兩個(gè)獨(dú)立的剛體模態(tài):其他幾種常見(jiàn)邊界條件的梁
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析支承情況兩端自由兩端固定一端固定,一端簡(jiǎn)支邊界條件,,,,,,頻率方程固有振型(剛體模態(tài))n>2時(shí),
表8.3.1幾種常見(jiàn)邊界條件的梁的固有頻率及振型函數(shù)
表8.3.1
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.3.3振型函數(shù)的正交性與主坐標(biāo)的初始條件
任意初始條件所激發(fā)的自由振動(dòng):φn(x)為滿足相應(yīng)邊界條件的振型函數(shù)。8.3.3振型函數(shù)的正交性與主坐標(biāo)的初始條件
Cn和αn由初始條件確定;
關(guān)鍵:將初始條件按振型展開(kāi);
振型函數(shù)的正交性。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析1.振型函數(shù)的正交性m階振型函數(shù):n階振型函數(shù):第一個(gè)方程兩邊乘以φn(x),從0到l積分,分部積分并考慮兩端邊界條件:1.振型函數(shù)的正交性自由振動(dòng)方程:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析同理:兩式相減得:正交條件:等截面梁正交條件:正交性證明續(xù)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析初始條件:自由振動(dòng)響應(yīng):自由振動(dòng)響應(yīng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析引入廣義坐標(biāo)Yn(t):
Ym(t)的初始條件:自由振動(dòng)響應(yīng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.3.4有阻尼歐拉梁的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)介質(zhì)阻尼,可以歸并入橫向荷載
:結(jié)構(gòu)阻尼,內(nèi)阻尼應(yīng)力與應(yīng)變速率成正比:分布阻尼力截面上的彎矩M:
內(nèi)阻尼力矩MD:合力矩:8.3.4有阻尼歐拉梁的自由振動(dòng)和受迫振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析單元體及動(dòng)平衡條件:受迫振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程:解函數(shù):解(8.3.53)代入式(8.3.52):?jiǎn)卧w及動(dòng)平衡條件
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析自由振動(dòng):受迫振動(dòng):根據(jù)初始條件和杜哈美積分解方程(8.3.57)求Yn(t);按振型疊加由式(8.3.53)求出梁的動(dòng)力響應(yīng)。模態(tài)分析的求解過(guò)程
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析§8-4特殊因素影響下梁的橫向振動(dòng)8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響橫向位移:中性軸撓度曲線的切線y1(x,t)由彎曲變形引起;y2(x,t)由剪切變形引起;存在關(guān)系:彈性方程:A-橫截面面積G-剪切彈性摸量k-剪力修正系數(shù)EI-抗彎剛度§8-4特殊因素影響下梁的橫向振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析單元體及動(dòng)平衡條件:豎向力平衡方程:力矩平衡方程:I=Ar2-單位長(zhǎng)度梁的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;m=ρ
A單位長(zhǎng)度梁的質(zhì)量;
r-截面的慣矩半徑。
8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析豎向力平衡方程:力矩平衡方程:運(yùn)動(dòng)方程:消去θ
,得關(guān)于位移y的運(yùn)動(dòng)微分方程:8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析第一項(xiàng)為基本項(xiàng);第二項(xiàng)代表剪切變形的影響;第三項(xiàng)代表轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響;第四項(xiàng)代表綜合影響;運(yùn)動(dòng)方程與綜合影響F(x,t)=0時(shí)代表自由振動(dòng)。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析自由振動(dòng),令F(x,t)=0:運(yùn)動(dòng)方程與綜合影響兩端簡(jiǎn)支梁,設(shè):
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析前兩項(xiàng)代表歐拉梁的簡(jiǎn)單結(jié)果,第三項(xiàng)代表剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的主要影響:略去式中最后一項(xiàng):簡(jiǎn)支梁的振動(dòng)頻率
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析Timoshenko梁振型函數(shù)的正交性位移y的振型函數(shù)為φn(x),轉(zhuǎn)角θ的振型函數(shù)為ψn(x)
證明:兩式相加,沿梁長(zhǎng)積分,根據(jù)邊界條件并分部積分得Timoshenko梁振型函數(shù)的正交性
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析互換下標(biāo)m和n兩式相減:正交性證明
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.4.2軸向力對(duì)橫向振動(dòng)的影響
設(shè)梁受橫向荷載F(x,t)和軸力FN(x,t)的共同作用單元體及平衡條件:圖8.4.2梁橫向振動(dòng)時(shí)受軸向力的作用8.4.2軸向力對(duì)橫向振動(dòng)的影響
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析等截面梁自由振動(dòng):自由振動(dòng)的解:兩端簡(jiǎn)支的梁:兩端簡(jiǎn)支壓桿失穩(wěn)的歐拉臨界力。自由振動(dòng)解答與振動(dòng)頻率
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析壓力:張力:張緊的弦,F(xiàn)N較大,桿比較細(xì)長(zhǎng)且抗彎剛度較小:考慮拉索的抗彎剛度時(shí)索力的修正公式:m為單位長(zhǎng)度的質(zhì)量,fn為振動(dòng)的自然頻率。索力修正公式
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.4.3支座激振
支座激勵(lì)時(shí),支座的位移是隨時(shí)間變化的;考慮梁的橫向振動(dòng),有豎向線位移y和角位移θ
;共有四個(gè)支座位移,令其為δi(t)
(i=1,2,3,4)。柔度函數(shù):δi=1時(shí)所引起的梁的彈性撓度曲線gi(x)。
支座移動(dòng)引起的梁的位移:梁的總撓度:擬靜力位移:動(dòng)位移:8.4.3支座激振
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析等效荷載運(yùn)動(dòng)方程動(dòng)位移yd仍按無(wú)支座位移時(shí)梁的某種振型函數(shù)來(lái)展開(kāi):支座移動(dòng)的邊界條件由ys
(x,t)來(lái)滿足;梁的初始條件由yd(x,t)和ys
(x,t)共同滿足。等效激勵(lì)運(yùn)動(dòng)微分方程
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析【例8.4.1】圖示懸臂梁,m和EI均為常數(shù),兩端作用有與時(shí)間有關(guān)的邊界條件,試確定由支座移動(dòng)引起的位移。解:為保證自由端的豎向邊界條件,自由端必作用一豎向力,由y(x,t)確定。邊界條件:柔度函數(shù):例8.4.1圖8.4.3懸臂梁的支座激勵(lì)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析例8.4.1(續(xù))yd(x,t)應(yīng)滿足的齊次邊界條件:φn(x)應(yīng)取x=0固定,x=l簡(jiǎn)支時(shí)梁的振型函數(shù)。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析【例8.4.2】圖示簡(jiǎn)支梁,m和EI均為常數(shù),兩端作用有與時(shí)間有關(guān)的邊界條件,試確定由支座移動(dòng)引起的位移。圖8.4.4簡(jiǎn)支梁的支座激勵(lì)邊界條件:例8.4.2解:柔度函數(shù):
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析因?yàn)椋簞t:φn(x)仍取x=0固定,x=l簡(jiǎn)支時(shí)梁的振型函數(shù)!特點(diǎn):柔度函數(shù)gi(x)由原結(jié)構(gòu)的邊界條件確定;
yd的振型函數(shù)φn(x)由齊次邊界條件確定;
yd的展開(kāi)系數(shù)Yn(t)由初始條件和等效激振力Feq(x,t)確定。柔度函數(shù)與邊界條件
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析如果支座發(fā)生的位移與支座的約束條件相一致,則yd中振型函數(shù)φn(x)的邊界條件與實(shí)際結(jié)構(gòu)相一致。圖8.4.5簡(jiǎn)支梁的支座激勵(lì)y(x,t)和ys(x,t)要滿足的邊界條件一樣:yd(x,t)應(yīng)滿足的邊界條件為:所以,φn(x)應(yīng)取兩簡(jiǎn)支梁的振型函數(shù)。其它邊界條件及支座激勵(lì)情況,做法一樣,見(jiàn)習(xí)題。支座位移與支座約束相一致的情況
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.4.4彈性地基上梁的振動(dòng)圖8.4.6彈性地基上梁的振動(dòng)設(shè)梁由連續(xù)彈性基礎(chǔ)支撐。梁橫向振動(dòng)的微分方程:自由振動(dòng)的解:自由振動(dòng),F(x,t)=0:兩端簡(jiǎn)支的地基梁:自由振動(dòng)一般解:8.4.4彈性地基上梁的振動(dòng)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析§8-5瑞雷—里茲法求梁的固有頻率
對(duì)于變截面梁和一般支撐情況,通常采用能量法。8.5.1瑞雷法圖8.5.1具有附加彈簧和集中質(zhì)量的變截面梁變截面梁:集中質(zhì)量:集中彈簧:梁的橫向位移:
動(dòng)能:§8-5瑞雷—里茲法求梁的固有頻率
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析勢(shì)能:最大動(dòng)能:最大勢(shì)能:對(duì)于一個(gè)合理假定的振型,只要滿足所有幾何邊界條件,便能得到一個(gè)較好的固有頻率的近似值。8.5.1瑞雷法
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析等截面懸臂梁,長(zhǎng)為l,m和EI皆為常量,在自由端有一個(gè)集中質(zhì)量塊,其質(zhì)量為M=2ml。試確定梁橫向振動(dòng)的基頻。【例8.5.1】解:取Y(x)為懸臂梁在自由端集中力作用下的撓度曲線精確解:M相對(duì)ml較小時(shí),Y(x)常取均勻荷載作用下的撓度曲線若取Y(x)為等截面懸臂梁的第一固有振型φ1(x)高0.02%高1.2%例8.5.1
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析8.5.2瑞雷—里茲法
8.5.2瑞雷—里茲法瑞雷法的不足:(2)精度不好控制,取決于振型Y(x)的選擇。(1)只能求一階頻率,通常是基頻;瑞雷—里茲法:(1)諸Yr(x)相互獨(dú)立,且滿足梁兩端幾何邊界條件;(2)諸參數(shù)br是任意的,根據(jù)能量原理確定。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析極值條件:方法(1)瑞雷商與極值條件
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析方法(2)最小勢(shì)能原理的駐值條件:矩陣形式:固有頻率ωi和廣義坐標(biāo)固有振型bi
特征值問(wèn)題:特征矢量:最小勢(shì)能原理的駐值條件
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析【例8.5.2】用瑞雷—里茲法解例8.5.1,求前兩階固有頻率。解:Y1(x)和Y2(x)分別為自由端無(wú)集中質(zhì)量時(shí)等截面懸臂梁的第一和第二階歸一化振型函數(shù)。例8.5.2振型函數(shù)滿足關(guān)系:
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析特征方程:頻率方程:分別比精確值高0.18%和2.1%例8.5.2續(xù)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析【例8.5.3】例8.5.3圖示等截面梁,單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為m,右端支座B有一剛度系數(shù)為k的線性彈簧。試用瑞雷—里茲法求第一和第二階固有頻率。圖8.5.2彈性支承的簡(jiǎn)支梁位移函數(shù):解:取前兩項(xiàng):
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析精確值:
分別高0.25%和6.21%。若僅取一項(xiàng):約高出精確解50%繞支座的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)結(jié)論:增加級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)對(duì)提高低階頻率的精度較明顯。例8.5.3續(xù)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析§8-6鏈狀結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法
§8-6鏈狀結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法
8.6.1梁彎曲振動(dòng)的傳遞矩陣法
8.6.2Riccati變換和系統(tǒng)方程的求解
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.18.1一根長(zhǎng)為l,兩端固定并張緊的弦,在x=a處用力提起,使弦成為圖示的三角形初始狀態(tài),求當(dāng)力突然撤去時(shí)弦的自由振動(dòng)。題8.1圖
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.28.2在圖(8.2.3)中,(1)若集中軸向力F0作用在x=2l/3處;(2)F0作用在x=l/4處,同時(shí)有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4處;(3)F0沿桿長(zhǎng)方向均勻分布,荷載強(qiáng)度=F0/l。求當(dāng)這些力突然撤去時(shí)桿的自由振動(dòng)。(2)(1)(3)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.3題8.3圖8.3一等直桿,長(zhǎng)為l,單位體積質(zhì)量為ρ,用一剛度為k的彈簧懸掛,如圖所示。求系統(tǒng)縱向振動(dòng)的頻率方程。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.48.4有一根以常速度v0沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)的桿在下列位置處突然停止:(1)x=l/2;(2)x=l。試求由此產(chǎn)生的自由振動(dòng)表達(dá)式。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.58.5兩端固定桿,假定一常數(shù)集中軸向力F0突然作用在下列位置:(1)x=l/2處;(2)F0作用在x=l/4處,同時(shí)有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4處。試確定兩種情況下桿從靜止位置起計(jì)算的縱向動(dòng)力反應(yīng)。(2)(1)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.68.6x=0固定,x=l自由的桿,作用下列軸向荷載:(1)在x=l/2處突加常力荷載F0;(2)在x=l/2處作用簡(jiǎn)諧干擾力F(t)=F0sinpt;(3)均勻分布簡(jiǎn)諧干擾力f(x,t)=(F0/l)sinpt。試確定上述幾種情況下桿的縱向強(qiáng)迫動(dòng)力反應(yīng)。(3)(1)(2)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.78.7一根兩端固支的桿,受支座激勵(lì)產(chǎn)生強(qiáng)迫振動(dòng):(1)x=0受簡(jiǎn)諧支座運(yùn)動(dòng)u0(t)=U0sinp1t,右端支座不動(dòng);(2)x=l受簡(jiǎn)諧支座運(yùn)動(dòng)ul(t)=Ulsinp2t,左端支座不動(dòng);(3)兩端同時(shí)受簡(jiǎn)諧支座運(yùn)動(dòng)u0(t)和ul(t)。試確定上述幾種情況下桿的縱向強(qiáng)迫動(dòng)力反應(yīng)。(1)(2)(3)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.8題8.8圖8.8如圖所示,梁的左端固支,右端彈性支承,彈簧的剛度系數(shù)為k。梁的抗彎剛度EI,單位長(zhǎng)度質(zhì)量均為常數(shù)m,試建立梁橫向振動(dòng)的頻率方程。
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.98.9在例8.8中,梁還在右端固定一個(gè)集中質(zhì)量M=ml,試建立梁橫向振動(dòng)的頻率方程。題8.9圖
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.108.10兩端簡(jiǎn)支的等截面梁,因下列荷載作用而產(chǎn)生撓曲:(1)在跨中作用的集中力Fp;(2)承受強(qiáng)度為q的均布荷載。試求荷載突然移去后梁的自由振動(dòng)。(1)
第8章一維桿件系統(tǒng)的振動(dòng)分析習(xí)題8.108.10兩端簡(jiǎn)支的等截面梁,
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