第8章：一維桿件系統(tǒng)的振動

第二篇連續(xù)系統(tǒng)的線性振動第二篇

連續(xù)系統(tǒng)的線性振動第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析描述離散系統(tǒng)的運動方程——常微分方程組描述連續(xù)分布系統(tǒng)的運動方程——偏微分方程(組)偏微分方程(組)所描述的是一個場的問題：位移場應力場溫度場電磁場關(guān)鍵問題：控制方程、邊界條件一維問題：弦、桿、梁等結(jié)構(gòu)一個空間坐標x和一個時間坐標t二維問題：薄膜、薄板、中厚板、薄殼等結(jié)構(gòu)兩個空間坐標x、y和一個時間坐標t三維問題：重力壩、厚板、厚殼等結(jié)構(gòu)三個空間坐標x、y、z和一個時間坐標t第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析§8-1弦的振動圖8.1.1弦單元體的受力分析弦，是指極易彎曲，在軸向可以承受很大張力的非常細的桿。y方向的平衡條件:幾何關(guān)系:§8-1弦的振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析自由振動方程(波動方程)：橫波沿弦傳播的波速：波動方程的一般解：第一項表示振動波形以波速c沿x軸的正方向傳播分離變量法解波動方程，設：上標“′”表示對x的偏導數(shù)波動方程與分離變量法

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)。A1與A2由邊界條件確定，B與α由初始條件確定。若弦在x=0和x=l兩端固定，邊界條件為：非零解：波動方程的解

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析第n階固有振型:振型函數(shù)的正交性：一般解答：初始條件：初始條件與自由振動解

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析弦的受迫振動:引入廣義坐標Yn(t)，應用振型疊加法，設解：結(jié)論：一個彈性系統(tǒng)相當于具有無窮多個自由度，具有無窮多個固有頻率，每個固有頻率都對應一個振型。常采用模態(tài)截斷：受迫振動解答

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析共振原理：當激振力頻率等于弦的固有頻率ωn

，出現(xiàn)共振峰。工程應用：測試弦的固有頻率推算弦的索力。斜拉橋通過拉索將橋面荷載經(jīng)主塔傳入地基，當橋建成并投入運行一段時間后，由于橋本身結(jié)構(gòu)的自我調(diào)整，拉索的張力會有所變化，但不允許變化太大，這就需要采用某種比較實用的方法來進行監(jiān)測。影響fn的因素:(1)

ρ

的取值問題;(2)鋼絞線抗彎剛度EI的影響；索力公式

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析四川宜賓小南門大橋四川宜賓小南門大橋為跨徑240m的中承式肋拱，是我國該種橋型的最大跨徑。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析1.索的振動2.索的振動控制弦的振動及影視資料洞庭湖斜拉橋

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析濟南黃河公路橋濟南黃河公路橋位于濟南市北郊，距濟青高速公路約2km，全長2033.44m

,主橋長488m，為5孔40+94+220+94+20(m)連續(xù)的預應力混凝土雙塔斜拉橋。引橋長1535.44m，采用51孔30m跨度的先張法預應力組合槽形梁。主梁斷面為閉口雙室箱梁，梁高2.75m，采用掛籃懸澆施工。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析銅陵長江大橋銅陵長江大橋位于銅陵市羊山磯下游600米處，橋型為預應力鋼筋混凝土雙塔索面斜拉橋，是世界上同類型第3位大跨徑橋梁。全長2592米，主橋長1152米，最大跨徑為432米，橋面寬度23米，其中4車道15米，人行道5米，通航凈高24米。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析蕪湖長江大橋蕪湖長江大橋蕪湖長江大橋是一座公鐵兩用低塔斜拉特大橋，正橋共有15個橋墩。大橋為雙層，鐵路在下層，公路在上層。鐵路橋為I級，雙線，全長10511米，正橋長2193米，橋?qū)?1米(設四車道寬18米，兩側(cè)人行道各寬1.5米)，蕪湖岸引橋長2038米，無為岸引橋長1449米。全橋混凝土總量約為55萬立方米，結(jié)構(gòu)用鋼材約11萬噸。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析弦的振動及影視資料安慶長江大橋施工情況

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析都江堰安讕橋都江堰安讕橋(1)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析云南永平縣霽虹橋云南永平縣霽虹橋云南永平縣霽虹橋，跨瀾滄江，是中國現(xiàn)存最古、最寬、鐵索最多的鐵索橋，橋凈跨57.3m，全長113.4m，橋?qū)捈s4.1m。橋底有索16根，左右欄桿索共兩根，橋位于通往印度、緬甸的千年古道上。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析西藏拉薩達孜橋西藏拉薩達孜橋達孜橋位于西藏拉薩市東郊25km處，跨越拉薩河，建于1984年。為跨徑500m的懸索橋。由于一側(cè)的塔架和鞍座設在山上，橋面長度僅415m。橋面寬4.5m，為單車道橋。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析江陰長江大橋懸索－吊桿特寫江陰長江大橋懸索－吊桿特寫

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析潤楊大橋全景圖潤楊大橋全景圖潤揚長江公路大橋是長江上第一座由懸索橋和斜拉橋組成的組合型橋梁，于2000年10月20日開工建設，她跨江連島，北起揚州，南接鎮(zhèn)江，全長35.66公里，主線采用雙向6車道高速公路標準，設計時速100公里。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析汕頭海灣大橋汕頭海灣大橋全景位于廣東汕頭游覽風景點媽嶼島處跨越汕頭海灣，面對臺灣海峽，全長2420米，懸索橋主跨452米，采用預應力鋼筋混凝土加勁梁，橋面寬23.8米。1999年榮獲全國第八屆優(yōu)秀工程設計銀質(zhì)獎，國家科技進步二等獎，中國建筑工程魯班獎。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析圖8.2.1桿縱向振動時單元體的受力分析§8-2直桿的縱向振動和扭轉(zhuǎn)振動8.2.1直桿縱向振動的微分方程力學模型:單元體受力分析:軸向的平衡條件:虎克定律:等截面桿自由振動方程:運動微分方程:§8-2直桿的縱向振動和扭轉(zhuǎn)振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程圖8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動時單元體的受力分析力學模型:單元體受力分析:轉(zhuǎn)動平衡條件:內(nèi)力—變形關(guān)系：等截面桿自由振動方程：運動微分方程：8.2.2軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.2.3直桿的縱向自由振動自由振動方程:分離變量法：類似得到解答：邊界條件：①x=0固支，x=l自由的桿與弦的方程在數(shù)學上相似，一個是橫向振動，一個是縱向振動。8.2.3直桿的縱向自由振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析振型函數(shù)：②兩端固支的桿：③兩端自由的桿：一般解：邊界條件與振型函數(shù)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.2.4振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)：

分別滿足特征方程：第一式兩邊乘以φn(x),從0到l積分，并分部積分：不管兩端是固定還是自由，都能保證右邊第一項為零。8.2.4振型函數(shù)的正交性

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析

同理有：兩式相減：振型函數(shù)的正交性m=n：

模態(tài)剛度：模態(tài)質(zhì)量：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析初始條件：任意初始干擾下的一般解：一般解與初始條件由正交條件得:

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析有一根兩端固定的桿，在中央處作用一個集中軸向力F0，現(xiàn)將突然撤去F0

，求桿的自由振動?！纠?.2.1】解：先求u(x,0)，由對稱性，左半部的拉應變與右半部的壓應變在數(shù)值上相等。取單元體：初始條件：問題：集中力作用在任意位置？例8.2.1

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析自由振動位移：例8.2.1續(xù)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.2.5變截面桿縱向振動的數(shù)值解法

運動微分方程：等截面桿:梁的理論：荷載q、剪力FQ和彎矩M的關(guān)系:降階處理：相似關(guān)系:實桿虛梁固定端簡支邊自由邊界滑動支座8.2.5變截面桿縱向振動的數(shù)值解法

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析具體計算過程:以一端固定，另端自由等截面桿為例。將虛梁離散，結(jié)點編號，表中第一列為結(jié)點號；假定初始振型，見表中的第二列；由虛梁上分布荷載q(x)計算等效結(jié)點荷載(第三列);根據(jù)虛梁的邊界條件和結(jié)點荷載計算虛梁上各結(jié)點的剪力和彎矩，分別列在第四和第五列;將u的結(jié)果歸一化得修改后振型，可依次迭代下去。計算過程

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析表8.2.1x=0

固定，x=l

自由的等截面桿一階頻率系數(shù)a1的迭代過程結(jié)點00.000000.39393-60.718970.000000.0000010.195092.33358-58.3853960.718970.1950820.382684.57296-53.81243119.104360.3826730.555576.64536-48.16707172.916790.5555640.707118.45811-38.70896220.083860.7071050.831479.94569-28.76327258.792820.8314760.9238811.05106-18.71221288.556090.9238870.9807911.73178-5.98043305.268300.9807981.000005.980430.00000311.248731.00000相乘因子1表8.2.1

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析可以證明，逐次迭代將收斂于第一階振型φ1

證明：設初始振型為φ1，迭代后振型為由迭代過程知:不考慮共同相乘因子ρω2l2/E，存在關(guān)系：同理：對任意初始振型u0(x)，作展開：

振型迭代法的收斂性證明

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析迭代后振型：為求高階頻率和振型，采用清除法消除低階振型影響?！纠?.2.2】一端固定一端自由等截面桿，自由端帶附加集中質(zhì)量，求一階頻率系數(shù)。解質(zhì)量比：運動微分方程：第一次迭代過程見表8.2.2。例8.2.2

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析表8.2.2自由端帶附加質(zhì)量的等截面桿一階頻率系數(shù)a1

的第一次迭代結(jié)果結(jié)點00.0000.3935-70.34220.000000.0000010.1952.333-68.009270.34220.1812320.3834.581-63.4282138.35140.3564530.5566.6501-56.7781201.77960.5187640.7078.459-48.3191258.55770.6661450.8329.9511-38.368306.87680.7906360.92411.053-27.315345.24480.8894870.98111.734-15.581372.55980.9598681.0005.981+9.60.000388.14081.00000相乘因子11/961/961/768388.1408/768計算頻率系數(shù)：再經(jīng)三次迭代得精確解：表8.2.2

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析表8.2.3階梯形桿一階頻率系數(shù)a1

的第一次迭代結(jié)果結(jié)點010.000.39-36.917510.000000.00000110.192.26-34.6575136.91750.1715210.364.30-30.3575171.57500.33249310.515.9325-24.42501101.93250.4735240.750.635.615-18.81002126.35750.5869850.50.764.7175-14.09252163.97750.7617460.50.895.315-8.77752192.16250.8926770.50.975.795-2.98252209.71750.9742280.51.002.98250.00002215.26751.00000相乘因子11/961/961/768215.2675/768【例8.2.3】求階梯形桿的第一階頻率系數(shù)。一次：兩段桿的長度相等，A1/A2=2，中間結(jié)點處的A取平均值。

三次:精確:例8.2.3

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析【例8.2.4】求楔形桿的第一階頻率系數(shù):解：離散化后各段內(nèi)的剪力為常量;乘上因子1/A(x)=l/(l－x)后，求M時進行數(shù)值積分;在自由段的一段，為消除奇異性，假定剪力在該段內(nèi)按拋物線分布，并保證自由端的剪力為零。

Bessel函數(shù)求解已得精確解:第一次迭代：第三次迭代：例8.2.4

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析結(jié)點010.000.29625-20.1687510.000000.0000017/80.161.6475-18.521258/721.545290.1636623/40.332.9275-15.593754/344.38580.3371735/80.503.7025-11.891258/567.130410.5099441/20.663.9125-7.97875288.358060.6711953/80.803.5575-4.421258/3106.72080.8106861/40.912.69875-1.72254121.06210.9196271/80.991.4650-0.25758130.613670.99218801.000.25750.0000131.643671.00000相乘因子11/961/961/768131.64367/768表8.2.4楔形桿一階頻率系數(shù)a1

的第一次迭代結(jié)果表8.2.5給出了分段數(shù)對結(jié)果的影響，收斂速度也較快。表8.2.4

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析表8.2.5幾種不同分段情況下楔形桿的一階頻率系數(shù)a1

分段數(shù)n(計算值)(精確解)相對誤差62.39355712.4048256-0.47%82.3996868-0.21%102.4037304-0.05%【例8.2.5】求喇叭形桿的二階頻率:一階頻率系數(shù)迭代結(jié)果：精確解：一階振型：φ1

為求二階頻率，設u0為任意初始振型。清除后的迭代矢量:按辛卜生公式計算迭代四次結(jié)果：精確解:例8.2.5

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析§8-3歐拉梁的橫向振動圖8.3.1梁的橫向振動8.3.1自由振動微分方程

力學模型：邊界條件：①簡支：②固支：③自由：內(nèi)力與橫向位移y之間的關(guān)系:§8-3歐拉梁的橫向振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析圖8.3.1梁的橫向振動動平衡方程:§8-3歐拉梁的橫向振動平衡微分方程:

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析應用哈密頓原理建立系統(tǒng)的運動方程①梁的動能：②梁的勢能：③外荷載的功：哈密頓原理：哈密頓原理建立運動方程將有關(guān)表達式代入并進行變分運算得：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析分部積分，并考慮梁的邊界條件和δy(t1)=δy(t2)=0

自由振動方程δy的任意性自由振動方程：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析

8.3.2等截面歐拉梁的無阻尼自由振動

EI和m均為常量:分離變量法:8.3.2等截面歐拉梁的無阻尼自由振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析①兩端簡支的梁，邊界條件為:簡支梁邊界條件與振型函數(shù)頻率方程:振型函數(shù):

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析②懸臂梁：x=0固支，x=l自由懸臂梁邊界條件與振型函數(shù)齊次方程的非零解條件:頻率方程:

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析頻率方程:頻率系數(shù):振型函數(shù):③其他幾種常見邊界條件的梁:見表8.3.1兩端自由的梁有兩個剛體模態(tài)，對應a=0

說明：兩個獨立的剛體模態(tài):其他幾種常見邊界條件的梁

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析支承情況兩端自由兩端固定一端固定,一端簡支邊界條件,,,,,,頻率方程固有振型(剛體模態(tài))n＞2時，

表8.3.1幾種常見邊界條件的梁的固有頻率及振型函數(shù)

表8.3.1

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.3.3振型函數(shù)的正交性與主坐標的初始條件

任意初始條件所激發(fā)的自由振動:φn(x)為滿足相應邊界條件的振型函數(shù)。8.3.3振型函數(shù)的正交性與主坐標的初始條件

Cn和αn由初始條件確定;

關(guān)鍵:將初始條件按振型展開;

振型函數(shù)的正交性。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析1.振型函數(shù)的正交性m階振型函數(shù):n階振型函數(shù):第一個方程兩邊乘以φn(x),從0到l積分，分部積分并考慮兩端邊界條件：1.振型函數(shù)的正交性自由振動方程：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析同理:兩式相減得:正交條件:等截面梁正交條件:正交性證明續(xù)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析初始條件：自由振動響應:自由振動響應

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析引入廣義坐標Yn(t):

Ym(t)的初始條件:自由振動響應

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.3.4有阻尼歐拉梁的自由振動和受迫振動介質(zhì)阻尼,可以歸并入橫向荷載

:結(jié)構(gòu)阻尼,內(nèi)阻尼應力與應變速率成正比:分布阻尼力截面上的彎矩M:

內(nèi)阻尼力矩MD:合力矩:8.3.4有阻尼歐拉梁的自由振動和受迫振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析單元體及動平衡條件：受迫振動的運動方程：解函數(shù)：解(8.3.53)代入式(8.3.52)：單元體及動平衡條件

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析自由振動：受迫振動：根據(jù)初始條件和杜哈美積分解方程(8.3.57)求Yn(t);按振型疊加由式(8.3.53)求出梁的動力響應。模態(tài)分析的求解過程

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析§8-4特殊因素影響下梁的橫向振動8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響橫向位移：中性軸撓度曲線的切線y1(x,t)由彎曲變形引起；y2(x,t)由剪切變形引起；存在關(guān)系：彈性方程：A－橫截面面積G－剪切彈性摸量k－剪力修正系數(shù)EI－抗彎剛度§8-4特殊因素影響下梁的橫向振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析單元體及動平衡條件：豎向力平衡方程：力矩平衡方程:I=Ar2－單位長度梁的轉(zhuǎn)動慣量；m=ρ

A單位長度梁的質(zhì)量；

r－截面的慣矩半徑。

8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析豎向力平衡方程：力矩平衡方程:運動方程：消去θ

，得關(guān)于位移y的運動微分方程:8.4.1考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析第一項為基本項；第二項代表剪切變形的影響；第三項代表轉(zhuǎn)動慣量的影響；第四項代表綜合影響;運動方程與綜合影響F(x,t)=0時代表自由振動。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析自由振動，令F(x,t)=0:運動方程與綜合影響兩端簡支梁，設：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析前兩項代表歐拉梁的簡單結(jié)果，第三項代表剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的主要影響：略去式中最后一項：簡支梁的振動頻率

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析Timoshenko梁振型函數(shù)的正交性位移y的振型函數(shù)為φn(x)，轉(zhuǎn)角θ的振型函數(shù)為ψn(x)

證明：兩式相加，沿梁長積分，根據(jù)邊界條件并分部積分得Timoshenko梁振型函數(shù)的正交性

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析互換下標m和n兩式相減:正交性證明

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.4.2軸向力對橫向振動的影響

設梁受橫向荷載F(x,t)和軸力FN(x,t)的共同作用單元體及平衡條件：圖8.4.2梁橫向振動時受軸向力的作用8.4.2軸向力對橫向振動的影響

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析等截面梁自由振動：自由振動的解：兩端簡支的梁：兩端簡支壓桿失穩(wěn)的歐拉臨界力。自由振動解答與振動頻率

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析壓力：張力：張緊的弦，F(xiàn)N較大，桿比較細長且抗彎剛度較小：考慮拉索的抗彎剛度時索力的修正公式：m為單位長度的質(zhì)量，fn為振動的自然頻率。索力修正公式

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.4.3支座激振

支座激勵時，支座的位移是隨時間變化的;考慮梁的橫向振動，有豎向線位移y和角位移θ

；共有四個支座位移，令其為δi(t)

(i=1,2,3,4)。柔度函數(shù):δi=1時所引起的梁的彈性撓度曲線gi(x)。

支座移動引起的梁的位移：梁的總撓度：擬靜力位移：動位移：8.4.3支座激振

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析等效荷載運動方程動位移yd仍按無支座位移時梁的某種振型函數(shù)來展開：支座移動的邊界條件由ys

(x,t)來滿足;梁的初始條件由yd(x,t)和ys

(x,t)共同滿足。等效激勵運動微分方程

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析【例8.4.1】圖示懸臂梁，m和EI均為常數(shù)，兩端作用有與時間有關(guān)的邊界條件，試確定由支座移動引起的位移。解：為保證自由端的豎向邊界條件，自由端必作用一豎向力，由y(x,t)確定。邊界條件：柔度函數(shù):例8.4.1圖8.4.3懸臂梁的支座激勵

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析例8.4.1(續(xù))yd(x,t)應滿足的齊次邊界條件:φn(x)應取x=0固定，x=l簡支時梁的振型函數(shù)。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析【例8.4.2】圖示簡支梁，m和EI均為常數(shù)，兩端作用有與時間有關(guān)的邊界條件，試確定由支座移動引起的位移。圖8.4.4簡支梁的支座激勵邊界條件：例8.4.2解：柔度函數(shù):

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析因為：則：φn(x)仍取x=0固定，x=l簡支時梁的振型函數(shù)！特點：柔度函數(shù)gi(x)由原結(jié)構(gòu)的邊界條件確定；

yd的振型函數(shù)φn(x)由齊次邊界條件確定；

yd的展開系數(shù)Yn(t)由初始條件和等效激振力Feq(x,t)確定。柔度函數(shù)與邊界條件

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析如果支座發(fā)生的位移與支座的約束條件相一致，則yd中振型函數(shù)φn(x)的邊界條件與實際結(jié)構(gòu)相一致。圖8.4.5簡支梁的支座激勵y(x,t)和ys(x,t)要滿足的邊界條件一樣:yd(x,t)應滿足的邊界條件為:所以，φn(x)應取兩簡支梁的振型函數(shù)。其它邊界條件及支座激勵情況，做法一樣，見習題。支座位移與支座約束相一致的情況

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.4.4彈性地基上梁的振動圖8.4.6彈性地基上梁的振動設梁由連續(xù)彈性基礎支撐。梁橫向振動的微分方程:自由振動的解：自由振動,F(x,t)=0:兩端簡支的地基梁:自由振動一般解:8.4.4彈性地基上梁的振動

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析§8-5瑞雷—里茲法求梁的固有頻率

對于變截面梁和一般支撐情況，通常采用能量法。8.5.1瑞雷法圖8.5.1具有附加彈簧和集中質(zhì)量的變截面梁變截面梁：集中質(zhì)量:集中彈簧:梁的橫向位移:

動能:§8-5瑞雷—里茲法求梁的固有頻率

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析勢能:最大動能:最大勢能:對于一個合理假定的振型，只要滿足所有幾何邊界條件，便能得到一個較好的固有頻率的近似值。8.5.1瑞雷法

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析等截面懸臂梁，長為l，m和EI皆為常量，在自由端有一個集中質(zhì)量塊，其質(zhì)量為M=2ml。試確定梁橫向振動的基頻?！纠?.5.1】解：取Y(x)為懸臂梁在自由端集中力作用下的撓度曲線精確解：M相對ml較小時，Y(x)常取均勻荷載作用下的撓度曲線若取Y(x)為等截面懸臂梁的第一固有振型φ1(x)高0.02%高1.2%例8.5.1

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析8.5.2瑞雷—里茲法

8.5.2瑞雷—里茲法瑞雷法的不足：(2)精度不好控制，取決于振型Y(x)的選擇。(1)只能求一階頻率，通常是基頻；瑞雷—里茲法：(1)諸Yr(x)相互獨立，且滿足梁兩端幾何邊界條件；(2)諸參數(shù)br是任意的，根據(jù)能量原理確定。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析極值條件：方法(1)瑞雷商與極值條件

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析方法(2)最小勢能原理的駐值條件：矩陣形式：固有頻率ωi和廣義坐標固有振型bi

特征值問題：特征矢量：最小勢能原理的駐值條件

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析【例8.5.2】用瑞雷—里茲法解例8.5.1，求前兩階固有頻率。解：Y1(x)和Y2(x)分別為自由端無集中質(zhì)量時等截面懸臂梁的第一和第二階歸一化振型函數(shù)。例8.5.2振型函數(shù)滿足關(guān)系：

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析特征方程：頻率方程：分別比精確值高0.18%和2.1%例8.5.2續(xù)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析【例8.5.3】例8.5.3圖示等截面梁，單位長度的質(zhì)量為m，右端支座B有一剛度系數(shù)為k的線性彈簧。試用瑞雷—里茲法求第一和第二階固有頻率。圖8.5.2彈性支承的簡支梁位移函數(shù):解：取前兩項:

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析精確值:

分別高0.25%和6.21%。若僅取一項：約高出精確解50%繞支座的剛體轉(zhuǎn)動結(jié)論：增加級數(shù)的項數(shù)對提高低階頻率的精度較明顯。例8.5.3續(xù)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析§8-6鏈狀結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法

§8-6鏈狀結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣法

8.6.1梁彎曲振動的傳遞矩陣法

8.6.2Riccati變換和系統(tǒng)方程的求解

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.18.1一根長為l，兩端固定并張緊的弦，在x=a處用力提起，使弦成為圖示的三角形初始狀態(tài)，求當力突然撤去時弦的自由振動。題8.1圖

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.28.2在圖(8.2.3)中，(1)若集中軸向力F0作用在x=2l/3處；(2)F0作用在x=l/4處，同時有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4處；(3)F0沿桿長方向均勻分布，荷載強度=F0/l。求當這些力突然撤去時桿的自由振動。(2)(1)(3)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.3題8.3圖8.3一等直桿，長為l，單位體積質(zhì)量為ρ，用一剛度為k的彈簧懸掛，如圖所示。求系統(tǒng)縱向振動的頻率方程。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.48.4有一根以常速度v0沿x軸正方向運動的桿在下列位置處突然停止：(1)x=l/2；(2)x=l。試求由此產(chǎn)生的自由振動表達式。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.58.5兩端固定桿，假定一常數(shù)集中軸向力F0突然作用在下列位置：(1)x=l/2處；(2)F0作用在x=l/4處，同時有一大小相等且方向相反的力-F0作用在x=3l/4處。試確定兩種情況下桿從靜止位置起計算的縱向動力反應。(2)(1)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.68.6x=0固定，x=l自由的桿，作用下列軸向荷載：(1)在x=l/2處突加常力荷載F0；(2)在x=l/2處作用簡諧干擾力F(t)=F0sinpt；(3)均勻分布簡諧干擾力f(x,t)=(F0/l)sinpt。試確定上述幾種情況下桿的縱向強迫動力反應。(3)(1)(2)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.78.7一根兩端固支的桿，受支座激勵產(chǎn)生強迫振動：(1)x=0受簡諧支座運動u0(t)=U0sinp1t，右端支座不動；(2)x=l受簡諧支座運動ul(t)=Ulsinp2t，左端支座不動；(3)兩端同時受簡諧支座運動u0(t)和ul(t)。試確定上述幾種情況下桿的縱向強迫動力反應。(1)(2)(3)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.8題8.8圖8.8如圖所示，梁的左端固支，右端彈性支承，彈簧的剛度系數(shù)為k。梁的抗彎剛度EI，單位長度質(zhì)量均為常數(shù)m，試建立梁橫向振動的頻率方程。

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.98.9在例8.8中，梁還在右端固定一個集中質(zhì)量M=ml，試建立梁橫向振動的頻率方程。題8.9圖

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.108.10兩端簡支的等截面梁，因下列荷載作用而產(chǎn)生撓曲：(1)在跨中作用的集中力Fp；(2)承受強度為q的均布荷載。試求荷載突然移去后梁的自由振動。(1)

第8章一維桿件系統(tǒng)的振動分析習題8.108.10兩端簡支的等截面梁，