全等三角形-輔助線做法講義1

1、歡迎下載支持“ord版本可編輯.文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理 全等三角形問(wèn)題中常見(jiàn)的輔助線的作法巧添輔助線一一一倍長(zhǎng)中線】【夯實(shí)基礎(chǔ)ABAOAB=AC于F,證明二次全等，作DF丄AC方法1：作DE丄AB于E方法2：輔助線同上，利用面積CAD 方法3：倍長(zhǎng)中線BD 常用輔助線添加方法一一倍長(zhǎng)中線【方法精講A ,延 長(zhǎng)AD到E 方式1：A ABC中BC方式2：使 DE=AD,AD是BC邊中線間接倍長(zhǎng)使作BE丄ADdbcdN,延長(zhǎng)MD到CF丄AD于F, 作DN二MD,的延長(zhǎng)線于ECD連接連接BE取值范馬1AC=3,求中線AD： A ABC中，AB=5,例1I1DE的延長(zhǎng)線上,E在AC,D在AB上，例2

2、：已知在 ABC中,AB=ACBD=CE ,求證-且DF=EF交BC于F, BE=AC上一點(diǎn)，且BC邊上的中線，E是AD例3：已知在AABC中，AD是dAF=EF,求證：于F延長(zhǎng)BE交ACaCDABDG今AG,連接BG,證明提示：倍長(zhǎng)AD 至cbffe是等腰三角形三角形BEGe,且在BC, D、E4例：已知：如圖，在中，ABC?AC?ABAb , DF=AC.交 AE 于點(diǎn) FDE二EC,過(guò) D 作 BADF/coBAC?求證:AE平分F提示：DGG, 連結(jié)：倍長(zhǎng)AE至方法IcbedCHH, 連結(jié)：倍長(zhǎng)FE至方法2 1題圖第 的中線，肛是厶ABDCD=AB, ZBDA=ZBAD,例 5：已矢口

3、 BAEZ求證：ZC=DF ,連結(jié)AE至F提示：倍長(zhǎng)）（SAS證明 ABE A FDEDF交于提示:證明AB二AF+FC所以d平分DFE,于為的中線，DE）（SAS進(jìn)而證明A ADF A ADC】【融會(huì)貫通的延長(zhǎng)線相交于與DCZEAF, AFBAE=中，ABDC, E為BC邊的中點(diǎn)，Zl、在四邊形ABCD CF之間的數(shù)量 關(guān)系，并證明你的結(jié)論AE與AF.點(diǎn)F。試探究線段aGAF二GF AB二GC、平分交 AB2、如圖，ADADC?ABCBDAbcae 求證：于 F交 ACEF?BECFfBAC%AT平分CM% “AB于M“、已知：如圖，3-ABC中，C=90efCT=BE求證- 交過(guò)，D作DE

4、/ABBC于ETBC,于交CMD交于NAB于TNT提示：過(guò)作cbd範(fàn)醫(yī)14第歡迎下載支持word版本可編輯文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理ECD證明A BTX A截長(zhǎng)補(bǔ)短法引輔助線ab = e,如直接證不出來(lái)，可采用截有下列情況時(shí)：b、C思路：當(dāng)已知或求證中涉及 到線段茲 這兩長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；補(bǔ)短法：延 長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等，種方法放在一起叫截長(zhǎng)補(bǔ)短法。通過(guò)線段的截長(zhǎng) 補(bǔ)短，構(gòu)造全等把分散的條件集中起來(lái)。中，ZACB = 2ZB, Zl = Z2o 1如圖，ZXABC 例 CD+=AC求證：ABAAF=（補(bǔ)短法）證法一：CD +ACAB=,使得AF延長(zhǎng)AC至點(diǎn)FAB

5、=中在ZABD和ZFDCD +AC ) AAABDAAFD (SAS證法FAZB=Z(截長(zhǎng)二：V ZACB = 2ZB法)A ZACB = 2ZFDE AC,連結(jié)AB上截取AE=在而ZACB=ZF+ZFDC 和 AACD 中在ZXAEDA ZF=ZFDC) A AAEDAACD (SASCFCD=CFAC+而 AF=，證的延長(zhǎng)線于 E=Z2,CE丄BD 交 BDRtZXABC 中，AB=AC, ZBAC=90 , Z1 例 2.如圖，在2CEo明：BD=,轉(zhuǎn)化為證兩2CE這是一道證明一條線段等于另一 條線段的分析：2倍的問(wèn)題，可構(gòu)造線段CE=FS=-CF2再證 ABDAACF,，證 BEFAB

6、EC,得分別延長(zhǎng)BA, CE交于F線段相等的 問(wèn)題，CFo 得 BD=,求證：AD二BD,且中，AB二2AC, AD 平分 1、如圖，BAC-ABCaAC CD丄 CD 過(guò)點(diǎn) E, DBA、如圖，ACBD, EA, EB 分別平分ZCAB, Z, 2daCbAC+BD 求HE；AB = x)d60BAC?分別，3、如圖，已知在內(nèi)，P, Q, 40CABCVe求證，BC 在，CA上，并且AP, BQ分別是的角平分線。：AECBAC?cBQ+AQ二AB+BP=CD 平分，BD、如圖，在四邊形 4ABCD 中，BCBA, ADABC-ado180A?C 求證：EAD 證明：Z,若Z中，已知：如圖，S

7、.ABCAD 平分ZBACC二2B, AB二AC+CD.F 的平分線與ZCBA二60ABC6.已知：如圖，中，Z , ZcbBC二BF+CE.交于點(diǎn)BE, CFI,求證：BCCBEADE中，ABCD7.已知：如圖，在正方形為BF上一 點(diǎn)，平分 ZBE二CF+AE.,求證：F于CD交.文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編輯-歡迎下載支持.與角平分線有關(guān)的輔助線角平分線具有兩條性質(zhì)：a.對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。 對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂 線；利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形(如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊)。通 常情況下，出現(xiàn)了直角

8、或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu) 造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。(1)截取構(gòu)全等EACD0CBFF1-2 圖 B1 圖例 1.如圖 1 -2, AB/CD, BE 平分ZABC, CE 平分ZBCD, 點(diǎn)E在AD上，求證：BC二AB+CD。簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明的H 的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的 證明也可A的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。與CD以延長(zhǎng)BEAC DC丄CAD, DA=DB,求證,厶 已知：如圖1-3, AB=2ACBAD=Z例2c構(gòu)造的

9、方法還是截取此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。分析：E線段相等。其 它問(wèn)題自已證明。D,求證：平分ZBAC1-4,在厶他。中，ZC=2ZB, AD例3.已 知：如圖 B 圖 1-3AB-AC二CD此題還是證明線段在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，分析：此題的條件中還有 角的平分線，的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取 短的線段，來(lái)證明。練習(xí)已知在AABC中，AD1.平分ZBAC, ZB二2ZC,求證： AB+BD二AC已知：在厶ABC2. 中，ZCAB二2ZB, AE 平分ZCAB 交 BC 于 E, AB二2AC,求證： AE二2CE已知：在ABC中3 ABAC, AD

10、為ZBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證:BM-CMAB-ACQ的外角的平分線的ZABC是已知： 4DBAC上的任一點(diǎn)，連接AD文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.(2)、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等過(guò)角平分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1.如圖 2-1,已知 ABAD, ZBAC=ZFAC, CD=BCo求證:ZADC+ZB二180 、B之和為平角c BAD的兩邊作垂線。近而證ZADC與Z分析：可山C向ZdABD二ZCBD-在如圖2-2ABC中， ZA二90 , AB二AC, Z例 2. cbeBC二AB+AD求證：2

11、-2圖，則構(gòu)造出全等三角形，從而，則AD二DE二CED作DE丄BC于E分析: 過(guò) 得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。APo BM、CN相交于點(diǎn)3例.已知如圖2-3, A ABC的角平分線P。求證：ZBAC 的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)NM的距離相AB、AC分析：連接AP,證AP平分ZBAC即可， 也就是證P到dfp等BC2-3圖 練習(xí):,如果PC=4PD丄0A, 如圖12-4ZA0P二ZD 1)PD=則(cpCD二 1.5,DB二22.已知在 ABC, AD 平分ZCAB 中，ZC=90 , aod2-4圖 ACo 5求，Z 已知：如圖 2-5, BAC=ZCAD, ABAD

12、CE 丄 AB, 31- 2 D+o ZB二 180 AE=) (AB+AD.求證：ZdeBC)、作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形(3efh從角的邊上的點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得個(gè)BDA等腰三角形， 垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利2-7圖(如果題目中有垂嵐的中點(diǎn)，F(xiàn)為在正方形ABCD中，E為CD 4.已知：如圖2-6, CB圖2-3 AF二AD+CF。 上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEo求證：，垂足為AB中，ZACB=90 , CD丄2-75 已知：如 圖，在RtAABCDAE平分ZCAB交CD于F,過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF二BH。的線段，則

13、延長(zhǎng)該線段與角的另邊相交)CDEHB3-1圖示文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理word版本可編輯-歡迎下載支持.1 例 1. 已知：如圖 3-1, ZBAD二ZDAC, ABAC, CD丄AD 于 D, H 是 BC 中點(diǎn)。求 證：DH= (AB-A- 2C) 分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2. 已知：如圖3-2, AB二AC, ZBAC二90 , AD為ZABC的平分線，a o丄BE.求證：BD=2CECEeo可延長(zhǎng)給出了角平分線給岀了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，分析：此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造岀等 腰三角形。泅2圖的內(nèi)、外角平分別ZBAC中，AD、AE例3.已知：

14、如圖3-3在厶 ABC并延FCAD的延長(zhǎng)線于F,連結(jié)B分線，過(guò)頂點(diǎn)作B垂直AD,交 于M長(zhǎng)交AE 求證：AM二MEg,從EA丄AFAD分析：由、AE是ZBAC內(nèi)外角平分線，可得心3圖,所以想到利用比例線段證相等。而有BF/AE丄AD二AB, CM平分Z.例4已知：如圖3-4,在AABC中，ADBAC, ak (AB-AC)交ADAD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=_ 2分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，沁1ECDM二，另外山求證的結(jié)，然后只需證 關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)低。作厶ABDm_圖3T212AH二AB果AHr 即(AB+AC)+ACACM關(guān)于qfeD的對(duì)稱(chēng)FCM,然后只需證M

15、cbg4-2圖ba即可。F二CF4-1圖:練 習(xí)已知：在ZABC中，AB二5, AC二3, D是BC中點(diǎn)，AE是ZBAC. 1的平分線，且 CE丄AE于E,連接DE,求DE。已知BE、BF分別是ZABC的ZABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF丄BF于F, AE丄BE 于 E, 2.1 ,求證MN二BCNMACABEF連接分別交、于、一 2、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線)4 (.word版本可編輯-歡迎下載支持文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理或通過(guò)一有角平分線時(shí)，常過(guò) 角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。4-1邊上的點(diǎn)作 角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰

16、三角形。如圖 和圖4-2所示。CCDo 1=ZZ2,求證：AB-AOBD一例 4 如圖，ABAC,IDAA2,BCBA, BD 平分ZABC,且 AD二CD 例 5 如圖，C=180 求證：ZA+Zo DC 。各Z6 如圖，ABCD, AE、DE 分別平分ZBADADE,求證：AD二AB+CD 例 C 練習(xí)：CABCAC=2BCo求證：是直角三角形。1.已知，如圖，ZC=2ZA, AB BAA AC ,求證：DC 丄 1 二2已知：如圖，AB=2AC, ZZ2, DA=DB21 cAAC二AE+CD B二60 ,求證：ABC.已知CE、AD是的角平分線，Z3 EBDA4 已知：如圖在ZkABC

17、中，ZA二90 , AB二AC, BD是ZABC的平BcDD BC二AB+AD分線，求證：C(5)、且垂直一線段，應(yīng)想到、角平分線等腰三角形的中線B圖7平分，BD A ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90例6.如圖7, ZABC交AC 于點(diǎn)D, CE垂直于BD,交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA, CE交于點(diǎn)F,在ABEF和ABEC中，VZ1=Z2, BE=BE, ZBEF=ZBEC=90 ,A ABEF ABEC, AEF=EC,從而 CF=2CE。又Z1+ZF=Z3+ZF=9O ,故Zl=Z3o在 A ABD 和ACF 中，VZ1=Z3, AB=AC, ZBAD=ZCAF=90 ,AABD AACF, ABD=CF,BD=2CEa的中線。CF的底邊ABCF是等腰BE注：此例中歡迎下載支持版本可編輯文檔來(lái)源為:從網(wǎng)絡(luò)收集整理“ord、 借助