幾類特殊N階行列式的計算

1、目 錄1 引言22 文獻綜述22.1 國內(nèi)研究現(xiàn)狀22.2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀評價32.3 提出問題33 預備知識33.1 N階行列式的定義33.2 行列式的性質(zhì)43.3 行列式的行(列)展開和拉普拉斯定理53.3.1 行列式按一行(列)展開53.3.2 拉普拉斯定理64 幾類特殊N階行列式的計算64.1 三角形行列式的計算64.2 兩條線型行列式的計算84.3 箭形行列式的計算94.4 三對角行列式的計算104.5 Hessenberg型行列式的計算114.6 行（列）和相等的行列式的計算124.7 相鄰行（列）元素差1的行列式的計算144.8 范德蒙型行列式的計算155 結論175.1 主要發(fā)現(xiàn)

2、175.2 啟示175.3 局限性175.4 努力方向17參考文獻181 引言行列式是代數(shù)學中的一個重要內(nèi)容,在數(shù)學理論上有十分重要的地位.早在17世紀和18世紀初,行列式就在解線性方程組中出現(xiàn).1772年法國數(shù)學家范德蒙(1735-1796)首先把行列式作為專門理論獨立于線性方程之外研究.到了19世紀,是行列式理論形成和發(fā)展的重要時期,19世紀中葉出現(xiàn)了行列式的大量定理.因此,到19世紀末行列式基本面貌已經(jīng)勾畫清楚.行列式的計算是高等代數(shù)的重要內(nèi)容之一,也是理工科線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一,同時也是學習中的一個難點.在數(shù)學和現(xiàn)實中有著廣泛的應用,懂得如何計算行列式尤為重要.對于階數(shù)較低的行列式,

3、一般可直接利用行列式的定義和性質(zhì)計算出結果.對于一般的N階行列式,特別是當N較大時，直接用定義計算行列式往往是困難和繁瑣的，因此研究行列式的計算方法則顯得十分必要.通常需靈活運用一些計算技巧和方法，使計算大大簡化，從而得出結果.本文歸納了幾類特殊N階行列式的計算方法,從這幾類特殊的N階行列式的計算中,可以總結出歸納出一些行列式的計算方法,只要將這些方法與傳統(tǒng)方法結合起來，就可以基本上解決n階行列式的計算問題.本文先闡述行列式的定義及其基本性質(zhì),然后介紹了幾類特殊行列式的計算方法,并結合了相關例題討論了行列式的求解方法.2 文獻綜述2.1 國內(nèi)研究現(xiàn)狀 現(xiàn)查閱到的文獻資料中,大部分只是簡單的介紹

4、了行列式的定義、行列式的性質(zhì)、行列式按行（列）展開、克拉默法則等.其中1、3介紹了行列式的定義、性質(zhì)、行列式按行（列）展開，2、4介紹了利用行列式的性質(zhì)計算行列式，4、8直接介紹行列式的計算，主要講解了行列式的計算在Matlab上的實現(xiàn)，7、9、10介紹了行列式的簡單計算和行列式的常用計算方法，11、12、13同樣也是介紹了行列式的性質(zhì)、定義和克拉默法則，14在行列式的定義、性質(zhì)、按行（列）展開克拉默法則等方面介紹得比較完整，15-18系統(tǒng)介紹了行列式計算中和各種方法,如定義法、降階法、升降法、拆開法、目標行列式法、乘積法、化三角開法、消去法、加邊法、歸納法、遞推法、特征值法等行列式的計算方法

5、.2.2 國內(nèi)研究現(xiàn)狀評價 現(xiàn)查閱到的參考資料、文獻中,在行列式的計算方面已經(jīng)做到相當不錯的成績，特別是在用行列式的定義和性質(zhì)去計算高階行列式方面,而對于一些特殊行列式的計算還有所欠缺.2.3 提出問題 行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一,而在一些特殊行列式的計算上還有所欠缺,本文將從幾類特殊N階行列式的計算方面入手,對特殊N階行列式的計算歸納總結出一些固定的計算方法,以便在今后的計算中較為方便、快速,以便達到事半功倍的效果.3 預備知識 為了更好的計算行列式,我們先要對行列式的一些性質(zhì)有一些了解.下面我們來回顧一下行列式的定義和相關的行列式的性質(zhì).可參見文獻資料1.3.1 N階行列式

6、的定義 由一個n行n列的正方形數(shù)表（稱為n陣方陣）按以下規(guī)則確定的數(shù)稱為n階行列式，記為D,或，或det A,det，即D=det=其中為n個數(shù)，1，2，n的一個排列，為此排列的逆序數(shù).而符號表示對所有的n無排列求和，共有n!項.3.2 行列式的性質(zhì)行列式的計算是一個重要的問題,也是一個麻煩的問題.當N較小時,可以由定義去計算行列式的值,但當N較大時,按定義去計算就很困難了.因此,行列式的性質(zhì)在行列式中的地位就非常特別要了,我們通?？偸抢眯辛惺降男再|(zhì),把一個復雜的行列式化成簡單的,易算的行列式,最終計算出結果.在行列式的諸多性質(zhì)中,以下幾條是最基本的,其他性質(zhì)都可以通過它們推導出來.該部分性

7、質(zhì)可參見文獻14.性質(zhì)1 行與列互換,行列式不變.性質(zhì)2 某行(列)的公因子可以提到行列式符號外.性質(zhì)3 如果某行(列)的所有元素都可以寫成兩項之和,則該行列式可以寫成兩個行列式之和.這兩個行列式的這一行(列)的元素分別為對應的兩個加數(shù)之一,其余各行(列)元素與原行列式相同.性質(zhì)4 兩行(列)的對應元素相同,行列式的值為零.性質(zhì)5 兩行(列)對應元素成比例,行列式的值為零.性質(zhì)6 某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列),行列式的值不變.性質(zhì)7 交換兩行(列)的位置,行列式的值反號.3.3 行列式的行(列)展開和拉普拉斯定理行列式按行(列)展開的定理是行列式的一條非常重要的性質(zhì),是行列式常用計算方法的

8、重要依據(jù),特別是在行列式降階的過程中,將行列式按行(列)展開,是計算行列式的一種行之有效的方法之一,可參見文獻7.3.3.1 行列式按一行(列)展開(1)在N階行列式的中，將元素所在的第i行第j列的元素劃去后剩下的元素按照原來位置次序構成的n-1階行列式，稱為元素的余子式，記為，即，而稱為元素的代數(shù)余子式.(2) 行列式的值等于它的某一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和,即(3)n階行列式中某一行（列）的每個元素與另一行（列）相應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.3.3.2 拉普拉斯定理 拉普拉斯定理可以看成是行列式按行(列)展開公式的推廣,在行列式的計算中也是一個不可或缺的定理之一,

9、下面將該定理陳述如下:拉普拉斯定理 任意取定n階行列式D的某k行（列）（1kn）,由這k行（列）元素所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D.4 幾類特殊N階行列式的計算除了較簡單的行列式可以用定義直接計算和少數(shù)幾類行列式可利用行列式性質(zhì)直接計算外,一般行列式計算的主要方法是利用行列式的性質(zhì)做恒等變形化簡,使行列式中出現(xiàn)較多的零元素,然后直接上(下)三角行列式或利用行列式按行展開定理降階.在化簡時,必須根據(jù)行列式的特點和元素的規(guī)律性,運用適當?shù)牟襟E來進行,所以研究行列式的規(guī)律性是重要的.下面是對一些典型行列式的計算方法的探究,并舉例說明其求解方法和技巧.4.1 三角形行列式

10、的計算 在行列式的計算中,有一類特殊的行列式是除主對角線以外的元素全為零的行列式,我們稱為對角行列式或三角行列式,該行列式的計算是很有規(guī)律的,也即(1)上(下)三角行列式等于其主對角線上元素的乘積,即.（2） 次三角行列式的值等于添加適當正、負號的對角線元素的乘積，即.(3) 分塊三角行列式可化為低級行列式的乘積,即.42兩條線型行列式的計算在行列式的計算中,遇見兩條線型的行列的情況很多,對于形如，的兩條線型行列式，我們的計算方法是先展開看看該行列式能否可以降階,化為三角或次三角行列式,由三角行列式的計算性質(zhì)算出該類行列式.例1 計算n階行列式.分析:本題中所給的行列式,我們先觀察一下行列式的

11、元素間的規(guī)律,顯然,這是一個兩條線型的行列式,根據(jù)行列式的性質(zhì),把行列式按第一行或第一列展開得到兩個三角行列式,由三角行列式的性質(zhì)即可算出該行列式.解: 按第1列展開得總結:由該題的分析與解答過程,易得出解兩條線型行列式的規(guī)律:按某一(列)展開,化簡為三角行列式或次三角行列式,再根據(jù)三角行列式的計算方法求出所給的行列式.4.3 箭形行列式的計算在平時所遇見的行列式中,有許多形如，的箭形行列式, 這類行列式不易下手,得想辦法化簡,從行列式的相關性質(zhì)和定理上入手.這樣的行列式成箭形,只要我們把一邊消去就能轉(zhuǎn)化為三角或次三角行列式,從而就能用相關三角行列式的計算性質(zhì)去計算該類行列式了.例2 計算n+

12、1階行列式分析:題中所給的n+1階行列式，顯然是一個箭形行列式，對于這樣的行列式，得相辦法變?yōu)槿腔虼稳切辛惺?，把每一列的倍加到第一列即可得到一個三角行列式，本題即可算出.解：把每一列的（）加到第一列，得總結:對于箭形行列式的計算,可以直接利用行列式性質(zhì)化為三角或次三角行列式來計算,即利用對角元素或次對角元素將一條邊消為零.4.4 三對角行列式的計算對于形如的三對角行列式,. 計算就比較復雜一點了,因為這樣的行列式要想辦法消去主對角線外的兩條線上的元素,這樣一來計算量上就比較大了,但是在展開的過程中,我們易發(fā)現(xiàn),在展開的過程中會得到一個遞推公式,從代數(shù)方面的角度出發(fā),就能解出這樣的行列式.例

13、3 計算n階“三對角”行列式D=分析:把該行列式展開,我們會發(fā)現(xiàn),逐漸展開后得到一個遞推公式,根據(jù)遞推公式的特點,應用相關的代數(shù)方法,即可求出行列式的值.解: 把行列式展開,得到DDDD即有遞推關系式D=DD (n3)故 遞推得到 而，代入得由遞推公式得D 總結:對于三對角線行列式的計算,可直接展開得到兩項的遞推關系,然后根據(jù)遞推關系的特點采用相應的一些代數(shù)方法去求解出行列式.4.5 Hessenberg型行列式的計算對于形如，的行列式,我們叫做Hessenberg型行列式，這類行列式類似于箭形行列式,但差別又有一定的差別.對于這類行列式可直接展開得到遞推公式，也可以利用行列式性質(zhì)化簡并降階.

14、例4 計算N階行列式分析:對于該行列式,將每一列都加到第N列,能化為三角行列式,即可算出該行列式.解:將第1,2,，n-1列加到第n列，得總結:對于Hessenberg型行列式的計算,可直接展開得到遞推公式,根據(jù)遞推公式的特點從代數(shù)方面即可算出,也可利用行列式性質(zhì)化簡并降階,利用三角行列式或次三角行列式的性質(zhì)計算.4.6 行（列）和相等的行列式的計算在平時的行列式計算中,行(列)和相等的行列式不在少數(shù),也是行列式計算中的一個難點.對于這樣的行列式,我們就可以很好的去利用它的這個行(列)和相等的特點了,把每一行(列)都加到一行(列),再提出公因式,這樣就能出現(xiàn)大量的零或1的行列式,從而利用行列式

15、的相關性質(zhì)就能算出該類行列式了.例5 計算行列式.分析:因為第行(例)的和都相等,所以把每一列都加到第一列利用行列式的性質(zhì)提出公因式,把每一行都減去第一行即可行到三角行列式,根據(jù)三角行列式的性質(zhì)即可算出該行列式.解: 把每一列都加到第一列提出公因式得總結:對于各行（列）這和相等的行列式，將其各列（或行）加到第1列（或行）或第N列（或行），然后再利用行列式的性質(zhì),化為三(或次三角)行列式,根據(jù)行列式的性質(zhì)計算出行列式的值.4.7 相鄰行（列）元素差1的行列式的計算計算完行(列)和相等的行列式,現(xiàn)在來看一下行(列)元素差1的行列式的計算.同樣,這樣的行列式他們的行(列)元素差1,我們可以利用它的這

16、一特點,每一行(列)遞減,得到大量元素是1的行列式,進一步運用行列式的性質(zhì)就能很好的解出這類行列式了.例6 計算元素滿足的N階行列式.分析: 根據(jù)題設寫出N階行列式這是相鄰兩行(列)元素差1的行列式,用前行減去后行可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式,進一步化為三角行列式,即可算出該行列式.解:前行（列）減去后行（列）,得總結:以數(shù)字1,2,，n為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差1的N階行列式可以如下計算：自第1行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或自第N行（列）開始，后行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式，再進一步化簡即出現(xiàn)大量的零元素.對于相鄰兩行（列）元素相差

17、倍數(shù)K的行列式,采用前行（列）減去后行（列）的-K倍,或后行（列）減去前行（列）得-K倍的步驟,即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素.4.8 范德蒙型行列式的計算范德蒙行列式具有逐行元素方冪遞增的特點,在行列式的計算中,如果有這樣特點的行列式或類似的行列式,我們就可以想辦法與范德蒙行列式聯(lián)系起來,利用行列式的計算方法去計算了.首先,先來回顧一下范德蒙行列式的一些定義和性質(zhì).可參見文獻17.范德蒙行列式即等于這N個數(shù)的所有可能的差的乘積.例7 計算行列式 (1)分析:和范德蒙行列式相比較,發(fā)現(xiàn)本行列式缺少n-2次冪行,所以我們能補成范德蒙行列式,利用范德蒙行列式就能求出了.解：比較范德蒙行列式，缺少次

18、冪行，所以應補之于是考察階范德蒙行列式 (2)視文字，一方面，由（1）知是行列式中元素的余子式，即：于是將按其第列展開可得中的系數(shù)為另一方面，從的表達式（2）及根與系數(shù)的關系知，中的系數(shù)為：所以 所以 總結: 范德蒙行列式具有逐行元素方冪遞增的特點,因此遇到具有逐行（或列）元素言冪遞增或遞減的范德蒙行列式時，可以考慮將其轉(zhuǎn)化為范德蒙行列式并利用相應的結果求值.5 結論5.1 主要發(fā)現(xiàn) 行列式的計算是高等代數(shù)和線性代數(shù)里面的一個重難點之一,在平時的考式計算中,靈活多變,有較大的難度,特別是對于特殊N階行列式的計算,這類行列式的計算技巧性非常大,在我們掌握這些技巧和計算方法之前,對于這些行列式的計

19、算有相當大的難度.5.2 啟示和意義在行列式的計算中,特別是對于特殊N階行列式的計算,有一定的技巧性.從特殊到一般,能把各種特殊行列式的計算技巧融會貫通,領悟滲透,那么在將來的行列式計算中將會取得事半功倍的效果. 特別是學生在平時的學習中,應熟悉行列式的一些計算方法,達到舉一反三.掌握了這幾類特殊行列式的計算方法,并將其融會貫通后,那么行列式的計算問題將能夠迎刃而解，尤其在計算N階行列式時，能做到思路清晰，計算上快速，準確.5.3 局限性 本文只介紹了幾類特殊N階行列式的計算方法與技巧,對于一般普通行列式的計算還有待補充和完善,特別對于像行列式這樣題型多變的計算部分更需進一步的探討與研究.5.

20、4 努力方向 行列式的計算方法多種多樣,而行列式也是變化繁多,并不是短時間內(nèi)學習就可以掌握的,需要長時間的積累探討,除了本文介紹的這幾類特殊N階行列式外，對于一般普通的行列式的計算也應該歸納總結出相關的計算方法與技巧.參考文獻1 陳治中.線性代數(shù)M.北京:科學出出版社,2009:6-23.2 邵建峰、劉彬. 線性代數(shù)M.北京：化學工業(yè)出版社，2007：1-18.3 張翠蓮. 線性代數(shù)M.北京:中國水利水電出版社，2007：4-16.4 李小剛.線性代數(shù)能及其應用M.北京:科學出出版社,2006:37-61.5 郭立煥、湯琴芳. 線性代數(shù)M. 北京：科學技術文獻出版社，1988：1-32.6 俞

21、正光、王飛燕. 線性代數(shù)M. 北京：清華大學出版社，2005；1-26.7 鄭素文.線性代數(shù)與應用名師導學M. 北京: 中國水利水電出版社,2004:1-45.8 劉劍平、施勁松.線性代數(shù)M.上海:華東理工大學出版社,2011:35-53.9 賈蘭香、張建華.線性代數(shù)M.天津:南開大學生出版社,2004:1-42.10 居余馬.線性代數(shù)M. 北京:清華大學出版社,2002:1-32.11 詹耀華.線性代數(shù)M. 北京:中國金融出版社,2007:1-17.12 宋光艾、劉玉鳳、姚光同、陳衛(wèi)星.高等代數(shù)M. 北京:清華大學出版社,2012:1-15.13 藍以中.高等代數(shù)簡明教程M. 北京:北京大學

22、出版社,2002:147-203.14 北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M. 北京:高等教育出版社,2003三版:50-89.15 張新功.行列式的計算方法探討J.重慶師范大學學報,2011,第28卷第4期:88-92.16 古家虹.關于行列式的計算方法J.廣西大學學報,2005,第30卷增刊:174-176.17 李紅珍.行列式的計算方法與研究J.河南科技報,2013:212.18 賈冠軍.行列式計算方法研究J.菏澤師專學報,1999,第21卷第2期:61-65.曲靖師范學院本科生畢業(yè)論文論文題目: 幾類特殊N階行列式的計算作者、學號：周松 學院、年級：數(shù)學與信息科學學院 2

23、009級學科、專業(yè)：數(shù)學 數(shù)學與應用數(shù)學指 導 教 師：程畢陶 完 成 日 期：2013年5月20日曲靖師范學院教務處曲靖師范學院 本論文（設計）經(jīng)答辯小組全體成員審查，確認符合曲靖師范學院本科(學士學位)畢業(yè)論文（設計）質(zhì)量要求。 答辯小組簽名主席 姓 名工 作 單 位 職 稱曲靖師范學院數(shù)學與信息科學學院成員曲靖師范學院數(shù)學與信息科學學院曲靖師范學院數(shù)學與信息科學學院曲靖師范學院數(shù)學與信息科學學院曲靖師范學院數(shù)學與信息科學學院 答辯日期：2013年5月22日原創(chuàng)性聲明本人聲明：所呈交的論文（設計）是本人在指導教師指導下進行的研究工作成果。除了文中特別加以標注和致謝的地方外，論文（設計）中不

24、包含其他人已發(fā)表或撰寫過的研究成果。參與同一工作的其他同志對本研究所作的任何貢獻已在論文（設計）中作了明確的說明并表示了謝意。簽名： 日期： 。論文（設計）使用授權說明本論文（設計）作者完全了解曲靖師范學院有關保留、使用畢業(yè)(學位)論文（設計）的規(guī)定，即學校有權保留論文（設計）及送交論文（設計）復印件，允許論文（設計）被查閱和借閱；學?？梢怨颊撐模ㄔO計）的全部或部分內(nèi)容。簽名： 指導教師簽名： 日期： 。幾類特殊N階行列式的計算摘 要 行列式是高等代數(shù)課程里基本而重要的內(nèi)容之一,在數(shù)學和現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用,如在解析幾何,代數(shù)式中的理論應用和在工程和建設、經(jīng)濟管理中的實踐應用等如何計算行

25、列式顯得優(yōu)為重要而大多行列式的計算特別是N階行列式的計算，在平時的計算和考試中即費時又很難抓住解題的技巧，特別是在考試中容易出現(xiàn)思維短路，解不出題或解題效率不高本文從幾類特殊的N階行列式入手,歸納了行列式的常用計算方法,根據(jù)行列式的特點為選擇行列式的計算方法在平時的N階行列式的計算中,希望從本文的幾類特殊行列式的計算中,歸納總結出一些行列式計算的方法技巧，使計算方便、簡潔.關鍵詞：N階行列式；行列式；計算方法A Variety of Special N-th-order Determinant CalculationAbstract: Determinant is one of the most important and basic knowledge in Higher Algebra Course. It is widely used both in mathematics and our ev