2011專升本數(shù)學(xué)全真模擬試題二

1、2010專升本數(shù)學(xué)全真模擬試題（二）一. 選擇題：本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)。 *1. 函數(shù)在點(diǎn)不連續(xù)是因?yàn)椋?） a. b. c. 不存在d. 不存在 答案：c不存在。 2. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，則下列命題正確的是（ ） a. 為上的奇函數(shù) b. 為上的偶函數(shù) c. 可能為上的非奇非偶函數(shù) d. 必定為上的非奇非偶函數(shù) *3. 設(shè)有單位向量，它同時(shí)與及都垂直，則為（ ） a. b. c. d. 解析： ，應(yīng)選c。 4. 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是（ ） a. b. c. d. *5. 按照微分方程通解的

2、定義，的通解是（ ） a. b. c. d. （其中是任意常數(shù)） 解析：，故選a。二. 填空題：本大題共10個(gè)小題，10個(gè)空，每空4分，共40分，把答案填在題中橫線上。 6. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則_。 *7. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_。 解析： 當(dāng)時(shí)，故y單調(diào)遞減，故單調(diào)區(qū)間是（-2，1） 8. 設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，則_。 *9. 設(shè)，則_。 解析： *10. 設(shè)，其中k為常數(shù)，則_。 解析： 11. 設(shè)，則_。 *12. 微分方程的通解為_(kāi)。 解析：方程改寫為，兩邊積分得： 即 13. 點(diǎn)到平面的距離_。 *14. 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是_（不含端點(diǎn)）。 解析：，收斂半徑 由得：，故收斂區(qū)間是（-3，5

3、） 15. 方程的通解是_。三. 解答題：本大題共13個(gè)小題，共90分，第16題25題每小題6分，第26題第28題每小題10分，解答時(shí)應(yīng)寫出推理，演算步驟。 16. 求極限。 *17. 設(shè)，求。 解： 所以 *18. 求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值。 解：函數(shù)在處不可導(dǎo)， 令得駐點(diǎn)，求得 于是y在上的最大值為，最小值為 19. 求不定積分。 20. 設(shè)由方程確定，求。 21. 若區(qū)域d：，計(jì)算二重積分。 *22. 求過(guò)三點(diǎn)a（0，1，0），b（1，-1，0），c（1，2，1）的平面方程。 平面方程為： ，即 *23. 判定級(jí)數(shù)的收斂性。 解：因?yàn)槭枪鹊牡缺燃?jí)數(shù)從而收斂，再考察級(jí)數(shù) 其中滿足，

4、 由萊布尼茲判別法知收斂，級(jí)數(shù)收斂。（兩收斂級(jí)數(shù)之和收斂） 24. 求方程的一個(gè)特解。 *25. 證明： 解： 又 由、得： 26. 設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，求。 *27. 設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0）且當(dāng)時(shí)，試確定a、b、c的值。使得拋物線與直線，所圍成圖形的面積為，且使該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小。 解：因拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0），有 依題意，如圖所示陰影部分的面積為 該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 令，得駐點(diǎn)： 由問(wèn)題的幾何意義可知，當(dāng)，從而時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的體積最小，于是所求曲線為 *28. 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，并由此求級(jí)數(shù)的和。 解：令，則且有 又 于是【試題答案】一. 1. c不存在。

5、 2. c正確 例：，則在上非奇非偶，但。 3. ，應(yīng)選c。 4. 故收斂區(qū)間是（-1，1），故選b。 5. ，故選a。二. 6. 7. 當(dāng)時(shí)，故y單調(diào)遞減，故單調(diào)區(qū)間是（-2，1） 8. 9. 10. 11. 12. 方程改寫為，兩邊積分得： 即 13. 點(diǎn)到平面的距離公式為 所求 14. ，收斂半徑 由得：，故收斂區(qū)間是（-3，5） 15. 特征方程為：，特征根為 通解為三. 16. 解： 17. 解： 所以 18. 解：函數(shù)在處不可導(dǎo)， 令得駐點(diǎn)，求得 于是y在上的最大值為，最小值為 19. 解：令，于是 20. 解：令，則 于是， 21. 解：d用極坐標(biāo)表示為 22. 平面方程為： ，即 23. 解：因?yàn)槭枪鹊牡缺燃?jí)數(shù)從而收斂，再考察級(jí)數(shù) 其中滿足， 由萊布尼茲判別法知收斂，級(jí)數(shù)收斂。（兩收斂級(jí)數(shù)之和收斂） 24. 解：特征方程為，特征值 ，這里不是特征根，可設(shè)特解為： 代入原方程并整理得： 解得： 于是 25. 解： 又 由、得： 26. 解：令，則 即 于是 27. 解：因拋物線過(guò)原點(diǎn)（0，0），有 依題意，如圖