不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(20201227004952)

1、不等式知識(shí)點(diǎn)總結(jié) a2 b2 2ab a， （當(dāng)且僅當(dāng) b時(shí)取號(hào)）. 變形公式：ab b2 2 （基本不等式） a， R ,（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取到等號(hào)） 變形公式：a b 2ab ab 用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積 “一正、二定、三相等”. （三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）a b c 3盂 3 最大），要注意滿足三個(gè)條件 b、c R ）（當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí)取到等號(hào)） a2 b2 c2 ab bc ca a, b R (當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取到等號(hào)） a3 b3 c3 3abc(a 0,b0,c0)(當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)取到等號(hào)） 若ab 0,則- a （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2、 若ab 0,則- a 2 （當(dāng)僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)） b b a a m 同加則變小. :其中（a 0， m 0， 0）規(guī)律: 小于 同加則變大，大于1 當(dāng)a 0時(shí)，x a; 2 a a x a. 絕對值三角不等式 b. 1不等式的基本性質(zhì) （對稱性） a b b a （傳遞性） a b,b c a c （可加性） a b a c b c （同向可 加 性 ）； a b,c d a c b d （異 向 可減 性） a b, c d a c b d （可積性）a b, c 0 ac bc a b, c 0ac bc （同向正數(shù)可乘性）a b 0,c d 0 ac bd （異向正數(shù)可除性）a

3、 b 0,0 c d a b c d （平方法則） a b i0 r a 1 bn(n N,且n 1) （開方法則） a b 0 na n b(n N,且n 1) （倒數(shù)法則）a b 0 1 1 -；a b 0 1 1 a b a b 幾個(gè)重要不等式 2、 11 3、幾個(gè)著名不等式平均不等式: 當(dāng)a b時(shí)取 - a 號(hào)）.（即調(diào)和平均 爭 幾何平均算術(shù)平均平方平均）. a, b R ,(當(dāng)且僅 變形公式：ab a2 b2 2 2 2.2 (a b) a b 2 幕平均不等式: 22 aia2 2 an -(aia2. an)1 n 二維形式的三角不等式: 2 2 yi 2 2 X2y2 Kx

4、X2)2 (yi y2)2 (xi,yi,X2,y2 R). 二維形式的柯西不等式（a2 b2）（c2 2 2 d ) (ac bd) (a,b,c,d R).當(dāng)且僅當(dāng) ad bc 時(shí)，等號(hào)成立 三維形式的柯西不等式：佝 2 a2 2 2 a3 )(bi b22 b32) (aibi a2b asd)2. 一般形式的柯西不等式: / 2 2 2 2 2 (aia . an )(“b2 bn2) （曲 826. anbn ). 向量形式的柯西不等式： u ir ur ur 設(shè)，是兩個(gè)向量，則 ur ur ,當(dāng)且僅當(dāng) irur ur 是零向量，或存在實(shí)數(shù)k，使 k 時(shí), 等號(hào)成立 排序不等式（排序

5、原理） 設(shè) a a2. an,b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) G,C2,.,Cn是b1,b2,., bn的任一排列, aibna2bn i anb1aici a?。? . ancna1b1a2b2. anbn.(反序和 亂序和 f（X）,對于定義域中任 意兩點(diǎn) Xi,x2(xiX2),有 fQ X2) 2 f(Xi)恨)或f (Xi X2 ) 2 2 f（Xi） f（x2）則稱f（x）為凸（或 2 凹）函數(shù). 4、不等式證明的幾種常用方法 常用方法有：比較法（作差, 放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法， 常見不等式的放縮方法： 作商法）、綜合法、分析法; 數(shù)學(xué)歸納法等 其它方法有：換元法、反證法、 1

6、3i 舍去或加上一些項(xiàng)，如（a）2-（a-）2; 2 42 將分子或分母放大（縮?。?順序和） 當(dāng)且僅當(dāng)aia2. an或b d .bn時(shí)，反序和等于順序和 琴生不等式：（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù) k2k(k 1) 1 1 ( 2 2 )1 2 1 2 (k N* k 1) k2 k(k 1)，2 . k, 1 k ,k .k x k f , k k /k 1(k IM 小1 ) 等. 5、 兀二次不等式的解法 求一 元二次不等式ax2 bx c 0(或 0) (a 0,b2 4ac 0)解集的步驟： 一化 :化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù) .二判： 判斷對應(yīng)方程的根.三求:

7、求對應(yīng)方程的根 .四畫： 畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集 規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊 6、高次不等式的解法： 穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿( 奇穿偶 切)，結(jié)合原式不等號(hào)的方向，寫出不等式的解集. 7、分式不等式的解法： f(x) 先移項(xiàng)通分 標(biāo)準(zhǔn)化,則g(x) g(x) f(x) g(x) 0 f(x) g(x) 0 g(x) 0 (“或”時(shí) 同理) 規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解 f(x) 0 ,f(x) a(a 0) 齊、2 (x) a(a 0) f(x) a f(x

8、) 0 f(x) a2 f(x) 、f(x) g(x) g(x) f(x) 0 0 或 f(x) g(x)2 g(x) 0 、.而 g(x) f(x) 0 g(x) 0 2 f(x) g(x) f(x) 0 g(x) 0 f(x) g(x) 規(guī)律：把無理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解 9、指數(shù)不等式的解法： 當(dāng) a 1 時(shí),af(x) ag(x) f (x) g(x)當(dāng) 0 a 1 時(shí)， af(x) ag(x) f (x) g(x) 規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 . 10、對數(shù)不等式的解法 f(x) 0 當(dāng) a 1 時(shí)，lOga f(x) lOgag(x) g(x)

9、 0 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， f(x) g(x) f(x) 0 loga f(x) loga g(x) g(x) 0 f(x) g(x) 規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化 11、含絕對值不等式的解法：定義法： a (a 0).平方法： a (a 0) f(x) g(x) f2(x) g2(x). 同解變形法，其同解定理有: x a(a 0); a 或 xa(a 0); f(x) g(x) g(x) f(x) g(x) (g(x) 0) f（X） g(x) f(x)g(x)或f (x)g(x) (g (x) 0) 規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號(hào) 12、含有兩個(gè)（或兩個(gè)以上）絕對值的不等式的解法： 最后取各段的并集 規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集, 13、含參數(shù)的不等式的解法 分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有: 解形如ax2 bx c 0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論, 討論a與0的大小；討論 與0的大?。挥懻搩筛拇笮?14、恒成立問題 不等式 2 ax bx c 0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立） 的條件是： 當(dāng)a 0時(shí) b 0,c0;當(dāng)a 0時(shí) a