探索相似三角形相似的條件 知識講解(提高）

1、探索相似三角形相似的條件(提高)責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三個判定定理.3.黃金分割.4. 進(jìn)一步探索相似三角形的判定及其應(yīng)用，提高運(yùn)用“類比”思想的自覺性，提高推理能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的概念相似三角形：三個角分別相等，三邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.要點(diǎn)詮釋： (1)書寫兩個三角形相似時，要注意對應(yīng)點(diǎn)的位置要一致，即，則說明點(diǎn)a的對應(yīng)點(diǎn)是a，點(diǎn)b的對應(yīng)點(diǎn)是b，點(diǎn)c的對應(yīng)點(diǎn)是c；(2)對于相似比，要注意順序和對應(yīng)的問題，如果兩個三角形相似，那么第一個三角形的一邊和第二個三角形的對應(yīng)邊的比叫做第一個三角形和第二個三角形的相似比.當(dāng)相似比為

2、1時，兩個三角形全等.要點(diǎn)二、相似三角形的三個判定定理定理：兩角分別相等的兩個三角形相似. 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似. 三邊成比例的兩個三角形相似.要點(diǎn)詮釋：（1）要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應(yīng)角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.（2）此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應(yīng)用時必須注意這個角必需是兩邊的夾角，否則，判斷的結(jié)果可能是錯誤的.要點(diǎn)三、相似三角形的常見圖形及其變換：要點(diǎn)四、黃金分割1.定義： 一般地，點(diǎn)c把線段ab分成兩條線段ac和bc兩段,如果,那么線段ab被點(diǎn)c黃金分割，點(diǎn)c叫做線段a

3、b的黃金分割點(diǎn)，ac與ab的比叫做黃金比.要點(diǎn)詮釋：0.618ab(0.618是黃金分割的近似值，是黃金分割的準(zhǔn)確值).2.作一條線段的黃金分割點(diǎn)：如圖，已知線段ab，按照如下方法作圖：（1）經(jīng)過點(diǎn)b作bdab，使bd=ab.（2）連接ad，在da上截取de=db.（3）在ab上截取ac=ae.則點(diǎn)c為線段ab的黃金分割點(diǎn).要點(diǎn)詮釋：一條線段的黃金分割點(diǎn)有兩個. 【典型例題】類型一、相似三角形的概念1、買西瓜為什么挑大個？思馳是一個好奇心很強(qiáng)的女孩，凡事都喜歡問個為什么一天，思馳跟爸爸上街買西瓜見爸爸選中的全是大個西瓜，她的小腦袋瓜又轉(zhuǎn)開了：買西瓜為什么挑大個？“你這個沈老師的得意門生，能用學(xué)

4、過的數(shù)學(xué)知識解決嗎？”，爸爸“將”了思馳一軍回到學(xué)校，思馳就找來遠(yuǎn)兮一起商量兩人便開始了一番精彩對話思馳：西瓜可以近似看成球體，可以應(yīng)用球的體積公式遠(yuǎn)兮：大西瓜和小西瓜的皮厚幾乎相等思馳：人們買瓜是為了吃瓤遠(yuǎn)兮：瓤的體積在整個西瓜體積中占的比越大越好思馳：兩者的體積比如何求呢？經(jīng)過一段時間的商討，她們提出了解決方案：設(shè)瓜瓤（視為球體）的半徑為r，瓜皮厚度為a，則瓤和整個瓜的體積比為：1當(dāng)a一定時，r值越大，（的值越接近于1，即西瓜越大，瓤與整個瓜的體積比越接近于1思馳把解決方案講給父親聽后，父親充滿了贊許之意，但父親同時又提出了：你能用你正在學(xué)習(xí)的相似圖形知識解決問題嗎？等你學(xué)完圖形的相似這一

5、章后，我相信你還能找出新的方法的問題：你認(rèn)為生活中還有哪些與它類似的情形？【思路點(diǎn)撥】通過選西瓜的方法學(xué)會分析解決生活中簡單的實(shí)際問題，將西瓜沿球心所在直線切開，得到瓤和皮兩個圓，根據(jù)相似形的性質(zhì)，計(jì)算其半徑的比，得到面積比，從而得出正確結(jié)果【答案與解析】解：如圖，設(shè)西瓜外徑為r，西瓜內(nèi)徑為r，瓜皮厚度為a，于是兩圓面積比為，當(dāng)r越大時，sr：sr越接近與1，故西瓜越大越合算與此類似，買雞蛋也應(yīng)挑大個的【總結(jié)升華】此題是一道材料分析題，通過題目信息所給出的研究方法，進(jìn)行探究是解答此類題目的基本思路類型二、相似三角形的三個判定定理2.（2015湖州模擬）如圖，在正方形abcd中，e、f分別是邊a

6、d、cd上的點(diǎn)，連接ef并延長交bc的延長線于點(diǎn)g（1）求證：abedef；（2）若正方形的邊長為4，求bg的長【思路點(diǎn)撥】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得a=d，根據(jù)已知可得，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得abedef；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得cg的長，即可求得bg的長【答案與解析】（1）證明：abcd為正方形，ad=ab=dc=bc，a=d=90，ae=ed，df=dc，abedef；（2）解：abcd為正方形，edbg，又df=dc，正方形的邊長為4，ed=2，cg=6，bg=bc+cg=10【總結(jié)升華】此題考查了相似三角形的判定、正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比

7、例定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用舉一反三【變式】如圖，已知在abc與def中，c=54，a=47，f=54，e=79，求證：abcdef【答案】解：在abc中，b=180-a-c=79，在abc和def中，abcdef3、（2015大慶模擬）如圖，abc中，ab=5，bc=3，ca=4，d為ab的中點(diǎn)，過點(diǎn)d的直線與bc交于點(diǎn)e，若直線de截abc所得的三角形與abc相似，則de的長為多少？【答案與解析】解：d為ab的中點(diǎn)，bd=ab=，dbe=abc，當(dāng)dbe=acb時，bdebac時，如圖1，則=，即=，解得de=2；當(dāng)bde=acb時，如圖2，de交ac于f，daf

8、=cab，adfacb，bdebca，=，即=，解得de=，綜上所述，若直線de截abc所得的三角形與abc相似，則de=2或【總結(jié)升華】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意分類討論思想在本題的應(yīng)用，避免漏解舉一反三【變式】如圖，在abc于ade中,，要使abc于ade相似，還需要添加一個條件，這個條件是_【答案】b=e4、如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，abc和def的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上（1）判斷abc和def是否相似，并說明理由；（2）p1，p2，p3，p4，p5，d，f是def邊上的7個格點(diǎn)，請?jiān)谶@7個格點(diǎn)中選取3個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與abc相似（要求寫出

9、2個符合條件的三角形，并在圖中連接相應(yīng)線段，不必說明理由）【思路點(diǎn)撥】（1）首先根據(jù)小正方形的邊長，求出abc和def的三邊長，然后判斷它們是否對應(yīng)成比例即可（2）只要構(gòu)成的三角形與abc的三邊比相等即可（答案不唯一）【答案與解析】解：（1）abc和def相似； 根據(jù)勾股定理，得ab=2 ，ac= ，bc=5；de=4 ，df=2 ，ef=2 ；,abcdef （2）答案不唯一，下面6個三角形中的任意2個均可；dp2p5，p5p4f，dp2p4，p5p4d，p4p5p2，fdp1【總結(jié)升華】此題主要考查的是相似三角形的判定方法：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個三角形相似（sss）

10、舉一反三【變式】如圖，已知每個小正方形的邊長均為1，abc與def的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上，那么def與abc相似的是（） 【答案】b.由勾股定理求得各三角形的三邊長，然后根據(jù)三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案注意排除法在解選擇題中的應(yīng)用類型三、黃金分割折紙與證明-用紙折出黃金分割點(diǎn)：第一步：如圖（1），先將一張正方形紙片abcd對折，得到折痕ef；再折出矩形bcfe的對角線bf第二步：如圖（2），將ab邊折到bf上，得到折痕bg，試說明點(diǎn)g為線段ad的黃金分割點(diǎn)（aggd）【思路點(diǎn)撥】連接gf，設(shè)正方形的邊長為1，由折紙第一步，可知df=，在rtbcf中，根據(jù)勾股定理得出bf

11、，在rtagf和rtdgf中，根據(jù)勾股定理由gf不變列出關(guān)于ag的方程，解方程求出ag的長，即可說明點(diǎn)g是ad的黃金分割點(diǎn)【答案與解析】證明：如圖，連接gf，設(shè)正方形abcd的邊長為1，則df=在rtbcf中，bf=，則af=bf-ba=-1設(shè)ag=ag=x，則gd=1-x，在rtagf和rtdgf中，有af2+ag2=df2+dg2，即(-1)+x2=()2+(1-x)2，解得x=，即點(diǎn)g是ad的黃金分割點(diǎn)（aggd）【總結(jié)升華】本題考查黃金分割的概念：把線段ab分成兩條線段ac和bc（acbc），且使ac是ab和bc的比例中項(xiàng)（即ab：ac=ac：bc），叫做把線段ab黃金分割，點(diǎn)c叫做線段ab的黃金分割點(diǎn)舉一反三：【變式】（2012恩施州）如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正