函數(shù)定義域,值域求法以及分段函數(shù)[章節(jié)練習(xí)]

1、 （一）函數(shù)的概念1函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)（function）記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域（domain）；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域（range）注意： “y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； 函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x2 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系

2、和值域3區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示4一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的定義域和值域討論（二）映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射（mapping）記作“f：AB”說明：（1）這兩個集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字敘述（2）“都有唯一”什么意思？包含兩層意思：一是必有一個；二是只有一個，也就是說有且只有一個的意思。1 例題分析

3、：下列哪些對應(yīng)是從集合A到集合B的映射？（1）A=P | P是數(shù)軸上的點，B=R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；（2）A= P | P是平面直角體系中的點，B=（x，y）| xR，yR，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角體系中的點與它的坐標對應(yīng)；（3）A=三角形，B=x | x是圓，對應(yīng)關(guān)系f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；（4）A=x | x是新華中學(xué)的班級，B=x | x是新華中學(xué)的學(xué)生，對應(yīng)關(guān)系f：每一個班級都對應(yīng)班里的學(xué)生思考：將（3）中的對應(yīng)關(guān)系f改為：每一個圓都對應(yīng)它的內(nèi)接三角形；（4）中的對應(yīng)關(guān)系f改為：每一個學(xué)生都對應(yīng)他的班級，那么對應(yīng)f： BA是從集合B到集合A的映射嗎？（三

4、）函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法：（1）解析法；（2）圖象法；（3）列表法三、典例解析1、定義域問題例1 求下列函數(shù)的定義域： ； ； 解：x-2=0，即x=2時，分式無意義，而時，分式有意義，這個函數(shù)的定義域是.3x+20，即x-時，根式無意義，而，即時，根式才有意義，這個函數(shù)的定義域是|.當，即且時，根式和分式 同時有意義，這個函數(shù)的定義域是|且另解：要使函數(shù)有意義，必須： 例2 求下列函數(shù)的定義域： 解：要使函數(shù)有意義，必須： 即： 函數(shù)的定義域為： 要使函數(shù)有意義，必須： 定義域為： x|要使函數(shù)有意義，必須： 函數(shù)的定義域為：要使函數(shù)有意義，必須： 定義域為： 要使函數(shù)有意義，必須：

5、即 x 定義域為：例3 若函數(shù)的定義域是R，求實數(shù)a 的取值范圍 解：定義域是R,例4 若函數(shù)的定義域為-1，1，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須：函數(shù)的定義域為：例5 已知f(x)的定義域為1，1，求f(2x1)的定義域。分析：法則f要求自變量在1，1內(nèi)取值，則法則作用在2x1上必也要求2x1在 1，1內(nèi)取值，即12x11,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域；或者從位置上思考f(2x1)中2x1與f(x)中的x位置相同，范圍也應(yīng)一樣，12x11,解出x的取值范圍就是復(fù)合函數(shù)的定義域。（注意：f(x)中的x與f(2x1)中的x不是同一個x，即它們意義不同。）解：f(x)的定義域為1，1

6、，12x11，解之0x1，f(2x1)的定義域為0，1。例6已知已知f(x)的定義域為1，1，求f(x2)的定義域。答案：1x21 x211x1 練習(xí)：設(shè)的定義域是-3，求函數(shù)的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須： 得： 0 函數(shù)的定域義為：例7已知f(2x1)的定義域為0，1，求f(x)的定義域因為2x1是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，因此由2x1， x0,1求得的值域1，1是f(x)的定義域。已知f(3x1)的定義域為1，2），求f(2x+1)的定義域。）（提示：定義域是自變量x的取值范圍）練習(xí)：已知f(x2)的定義域為1，1，求f(x)的定義域若的定義域是，則函數(shù)的定義域是（）已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)

7、的定義域為，則（）B 2.值域問題利用常見函數(shù)的值域來求（直接法）一次函數(shù)y=ax+b(a0)的定義域為R，值域為R；反比例函數(shù)的定義域為x|x0，值域為y|y0；二次函數(shù)的定義域為R，當a0時，值域為；當a0，=，當x0時，則當時，其最小值；當a0）時或最大值（a0）時，再比較的大小決定函數(shù)的最大（?。┲?若a,b,則a,b是在的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大（小）值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲担划旐旤c橫坐標是字母時，則應(yīng)根據(jù)其對應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點的位置關(guān)系進行討論.練習(xí)：1、求函數(shù)y=3+(23x)的值域解：由算術(shù)平方根的性質(zhì)，知(23x)0， 故

8、3+(23x)3。 函數(shù)的值域為.2、求函數(shù) 的值域解： 對稱軸 例3 求函數(shù)y=4x1-3x(x1/3)的值域。解：法一：（單調(diào)性法）設(shè)f(x)=4x,g(x)= 1-3x ,(x1/3),易知它們在定義域內(nèi)為增函數(shù)，從而y=f(x)+g(x)= 4x1-3x 在定義域為x1/3上也為增函數(shù)，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函數(shù)值域為y|y4/3。小結(jié)：利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，是在函數(shù)給定的區(qū)間上，或求出函數(shù)隱含的區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的增減性，求出其函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值，進而可確定函數(shù)的值域。練習(xí)：求函數(shù)y=3+4-x的值域。(答案：y|y3)法二：換元法例4 求函數(shù) 的值

9、域 解：（換元法）設(shè)，則 點評：將無理函數(shù)或二次型的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，通過求出二次函數(shù)的最值，從而確定出原函數(shù)的值域。這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法。它的應(yīng)用十分廣泛。練習(xí)：求函數(shù)y=x-1 x的值域。（答案：y|y3/4例6 求 的值域解法一：（圖象法）可化為 如圖， 觀察得值域解法二：（零點法）畫數(shù)軸 利用可得。-103練習(xí)：的值域呢？ （）（三種方法均可）例7 求函數(shù) 的值域解：（換元法）設(shè) ，則 原函數(shù)可化為10xy 例8求函數(shù) 的值域解：（換元法）令，則 由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，原函數(shù)的值域為 例9 求函數(shù) 的值域解：（圖象法）如圖，值域為 例10 求函數(shù) 的值域解法一：（逆

10、求法）解法二：（分離常數(shù)法）由 ，可得值域小結(jié)：已知分式函數(shù)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對變量的要求）內(nèi)，值域為；如果是條件定義域（對自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為，用復(fù)合函數(shù)法來求值域。例11 求函數(shù) 的值域011解法一：（逆求法） 小結(jié)：如果自變量或含有自變量的整體有確定的范圍，可采用逆求法。解法二：（換元法）設(shè) ，則 01練習(xí)：y=；（y(-1，1)）.例13 函數(shù) 的值域解法一：（逆求法） 2解法二：（換元法）設(shè) ，則 例13 求函數(shù)的值域解令，則 所以，值域 練習(xí)：1 、；解：x0，y11.另外，此題利用基本不等式解更簡捷：(或利用對勾函數(shù)圖像法)2 、0y5.3

11、 、求函數(shù)的值域； 解：令0,則,原式可化為,u0，y，函數(shù)的值域是（-，.解：令 t=4x-0 得 0x4 在此區(qū)間內(nèi) (4x-)=4 ，(4x-) =0函數(shù)的值域是 y| 0y24、求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：將函數(shù)化為分段函數(shù)形式：，畫出它的圖象（下圖），由圖象可知，函數(shù)的值域是y|y3.解法2：函數(shù)y=|x+1|+|x-2|表示數(shù)軸上的動點x到兩定點-1，2的距離之和，易見y的最小值是3，函數(shù)的值域是3，+. 如圖 5、求函數(shù)的值域解：設(shè) 則 t0 x=1-代入得 t0 y43.分段函數(shù)分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對應(yīng)法則的函數(shù), 它

12、是一個函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認為是幾個函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識的程度的考察上有較好的作用, 時常在高考試題中“閃亮”登場。1求分段函數(shù)的定義域和值域例1求函數(shù)的定義域、值域. 【解析】作圖, 利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域為, 值域為. 2求分段函數(shù)的函數(shù)值例2已知函數(shù)求. 【解析】因為, 所以. 3求分段函數(shù)的最值例3求函數(shù)的最大值. 【解析】當時, , 當時, , 當時, , 綜上有. 4求分段函數(shù)的解析式例4在同一平面直角坐標系中, 函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對稱, 現(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個單位, 再沿軸向上平移1個單位, 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數(shù)的表達式為（ ）【解析】當時, , 將其圖象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式為, 所以, 當時, , 將其圖象沿軸向右平移2個單位, 再沿軸向下平移1個單位, 得解析式, 所以, 綜上可得, 故選A. 9解分段函數(shù)的不等式例11設(shè)函數(shù), 若, 則得取值范圍是（ ） 【解析1】首先畫出和的大致圖像, 易知時, 所對應(yīng)的的取值范圍是. 【解析2】因為, 當時, , 解得, 當時, , 解得, 綜上的取值范圍是. 故選D. 例12設(shè)函數(shù)