排列組合中“重復(fù)”的產(chǎn)生及糾正

1、For personal use only in study and research; not for commercialuse排列組合中“重復(fù)”的產(chǎn)生及糾正有些類(lèi)型的排列、 組合應(yīng)用題是較容易出現(xiàn)錯(cuò)誤解法的,其中產(chǎn)生的錯(cuò)誤原因之一是由于重復(fù)造成的?，F(xiàn)舉幾例對(duì)排列組合問(wèn)題中“重復(fù)”現(xiàn)象產(chǎn)生的原因加以剖析、糾正，以期望對(duì)于提高解排列、組合應(yīng)用題及分析解決問(wèn)題的能力能有較大益處。一、“至少”問(wèn)題易重復(fù)例1在100件產(chǎn)品中有3件次品，從這些產(chǎn)品中取出 4件，至少有1件次品的抽法有多少 種？1解法1:先在3件次品中抽出1件，抽法有C3種；然后在其余的99件產(chǎn)品（含未被抽出的2件次品）中任意抽出 3

2、件，抽法有C；9種，這樣抽出的4件產(chǎn)品至少含1件次品。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，符合題意的抽法有 C3 C；9 = 470547 （種）。點(diǎn)評(píng)：解法1是錯(cuò)的，假設(shè) a、b、C分別為三件次品，d為某一合格品，“先抽出a（ C3 的一種可能），再抽B、C、D（ C：9的一種可能）”與先抽出B,再抽A、c、D是相同的抽 法，所以解法1含3件次品的抽法重復(fù)而導(dǎo)致錯(cuò)誤。 又，假設(shè)E是另一合格品，“先抽出A， 再抽出B、D、E”與“先抽出B，再抽出A、D、E”是相同的抽法，所以解法 1中多出的 種數(shù)還有含2件次品的抽法重復(fù)在內(nèi)。正確方法：直接法 c3 C97 + C： C； + c： C；7 = 456385或間

3、接法 C爲(wèi)一 C9； = 456385種。2、均分組問(wèn)題易重復(fù)例2:將8個(gè)不同的小球分成四堆，每堆 2個(gè)，共有多少種不同的分堆方法？解法1 :分四步完成。首先，從 8個(gè)不同的小球中任意取出 2個(gè)作為一堆，有C：種取法；然后，從其余的6個(gè)小球中任取2個(gè)作為一堆，有 C6種取法；再者，從剩下的 4個(gè)小球中2 2任取2個(gè)作為一堆，有 C4種取法；最后，留下的 2個(gè)作為一堆，有 C2種取法；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有不同的分堆方法種數(shù)為c： Cl二2520種。點(diǎn)評(píng)：解法1是錯(cuò)誤的，比如將 8個(gè)不同的小球編號(hào)，對(duì)應(yīng)號(hào)碼分別為1, 2, 3，8。第一種取法：第一次取出 1 , 2號(hào)球，第二次取出3, 4號(hào)球，

4、第三次取出 5, 6號(hào)球，第四 次取出7, 8號(hào)球，分成了四組。第二種取法：第一次取出7, 8號(hào)球，第二次取出1, 2號(hào)球，第三次取出3, 4號(hào)球，第四次取出5, 6號(hào)球，分成了四組，不難看出這兩種取法是同一種分組方法，因此解法 1出現(xiàn)重復(fù)，導(dǎo)致錯(cuò)誤。22224正確解法：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有C8 C6 C4 C2種取法，再除以均分堆的重復(fù) A次,C2 c 2 c 2 c 2 所以共有不同的分堆方法有86盯上 3=105種。A3、多個(gè)位置要求兼顧的排列問(wèn)題易重復(fù)例3： 6人任意排成一排照相，甲不排在左端，乙不排在右端，共有多少種不同的排法？解法1 : 6個(gè)人任意排成一排排法總數(shù)為 C：種，其中

5、不合題意的排法分兩類(lèi)。第一類(lèi)：甲排在左端，其余5個(gè)人排在剩下的5個(gè)位置上，有 A5種排法；第二類(lèi)：乙排在右端，其余5655人排在剩下的5個(gè)位置上，有 A種排法。所以適合題意的排法有 Aj - 2A5 -480種。點(diǎn)評(píng)：解法1是錯(cuò)誤的。解法1中在去掉“不符合題意的”排列時(shí)產(chǎn)生了重復(fù)減。原因：解法1第一類(lèi)，甲在左端為 A中有兩種情況，兩種情況，左中右與與左中右甲含乙無(wú)乙甲無(wú)乙乙左中右左中右甲含乙無(wú)乙甲無(wú)乙乙故在“全部減去不符”中，甲在左端乙在右端的情況重復(fù)被減去,因而導(dǎo)致錯(cuò)誤。正確解法：在 a6 _2a|的基礎(chǔ)上應(yīng)再補(bǔ)上多減去的甲在左且乙在右的一類(lèi)排法有A種，所以適合題意的排法有-2A5 A4 =

6、 504種。4、環(huán)排問(wèn)題易重復(fù)例4. 6個(gè)人圍圓桌而坐，一共有多少種不同的排法？解法1： 6個(gè)人圍坐，又無(wú)其他限制，則總共 6二720種。點(diǎn)評(píng)：6個(gè)人圍桌坐和6個(gè)人坐成一排是不同的，原因在于坐成一個(gè)圓形沒(méi)有首尾之分。不妨設(shè)6個(gè)人為a,b, c,d,e, f，坐法a,b,c,d,e, f與b,c,d,e, f ,a其實(shí)是相同的。為此，可把某人固定一個(gè)位，其余 5人盡量變換次序，其余5人此時(shí)可全排為5!。故正確的解法應(yīng)為（6 1）! = 120 種。5、順序固定問(wèn)題易重復(fù)例5、某人的電子郵箱的密碼由5位數(shù)字組成，為了提高保密程度，他決定再插入兩個(gè)英文字母a、b，原來(lái)的數(shù)字及順序不變，求可構(gòu)成的新密

7、碼的個(gè)數(shù)。解法1:新密碼由5個(gè)數(shù)字和兩個(gè)字母這 7個(gè)不同元素組成，則可構(gòu)成的新密碼應(yīng)為A；種。點(diǎn)評(píng)：雖然新密碼由5個(gè)數(shù)字和兩個(gè)字母這 7個(gè)不同元素組成，但題中規(guī)定原來(lái)的數(shù)字及順序不變，也即在7個(gè)元素的排列過(guò)程中， 原來(lái)5個(gè)元素的相對(duì)位置是不能改變的。 故正確的 方法是先把7個(gè)不同的元素全排列，則應(yīng)是a7種方法，對(duì)其中的一類(lèi)排列分析：不妨設(shè)a、b在第一、二兩位，另5位上全排，共有 A種方法，而這 A種方法中只有一種是正確的，所A以正確的方法應(yīng)是5二42種。A綜上，解排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，事情的發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不“重”不漏。僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fin