史上最全橢圓二級(jí)結(jié)論大全

1、專(zhuān)題 118史上最全橢圓二級(jí)結(jié)論大全 22 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2 y2 1 ab 4點(diǎn) P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角 . 5PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角， 則焦點(diǎn)在直線 兩個(gè)端點(diǎn) . 6以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 . 切. 8設(shè) A1、A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF 1F2 在邊 A1) . 1. PF1 PF2 2a 2. 3. PF1 d1e 1 PT上的射影 H 點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓， 除去長(zhǎng)軸的 7 以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi) PF2(或 PF1)上的旁切圓，必與 A1A2 所在的直線切于 A2(或 2 x 9橢圓

2、2 a 2 y 2 1(ab0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0), A2(a,0) ，與y軸平行的直線交橢圓于 b P1、P2 時(shí) A1P1 與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是 10若 P0(x0,y0) 在橢圓 11若 P0(x0,y0) 在橢圓 2 x 2 a 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y b2 2 y b2 2 y b2 1. x0 x 1 上，則過(guò) P0 的橢圓的切線方程是2 a 1外 ，則過(guò) Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 程是 x02x a2 y0 y 1. b2 1. 2 x 12 AB是橢圓 2 a2 2 y b2 1的不平行于對(duì)稱(chēng)軸的弦， M為 AB 的中點(diǎn)，則 kOM 1

3、3若 P0(x0,y0) 在橢圓 14若 P0(x0,y0) 在橢圓 15若 PQ是橢圓 16 2 x 若橢圓 x2 a2 2 x 2 a 2 y b2 2 x 2 a 2 x 2 a 2 y b2 y0y b2 P1、 kAB 1. P2， 則切點(diǎn)弦 P1P2的直線方 b2 . a2 . b12 A2 2 B2 ;(2) 17 給定橢圓 C1 ： b2x 2 y 2 1 內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是 b2 2 y2 1 內(nèi)，則過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 b2 a b0)上對(duì)中心張直角的弦， 則 12 r1 ab 0)上中心張直角的弦 L 2 a4 A2 b4B2 22 ay x

4、0 x a2 2 x 2 a 1 2 2 y b2 1 2 a L 所在直線方程為 2 2 2 2 a b (ab0), C2： b x 22 ay y0y b2 2 x0 2 a y02 b2 2 a 給定的點(diǎn) P(x0,y0) ,它的任一直角弦必須經(jīng)過(guò) C2上一定點(diǎn) M( 2 a2 x0 x 2 a 1 2 (r1 b y0y b2 |OP |,r2 |OQ|). Ax By 1 (AB 0), 則(1) 2 a (2 a 2 a 2 a b2 2 2 ab)2, 則(i) 對(duì)C1上任意 b b2 y ) . b2 y0). b2 x , b2 0 (ii) 對(duì)C2上任一點(diǎn) P ( x0

5、, y0 )在C1上存在唯一的點(diǎn) M,使得 M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P點(diǎn). 22 xy 18設(shè) P( x0 , y0 )為橢圓(或圓) C: 2 2 1 (a 0,. b 0)上一點(diǎn)， P1P2為曲線 C的動(dòng)弦 ,且弦 PP1, PP2 ab 斜率存在，記為 k1, k 2 , 則直線 P1P2通過(guò)定點(diǎn) M （mx0, my0） （m 1） 的充要條件是 k1 k2 2 1 m b 2. ma 22 19過(guò)橢圓 x2 y2 1 a2 b2 （a 0, b 0）上任一點(diǎn) A（x0,y0） 任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于 B,C 兩點(diǎn)， 則直線 BC有定向且 b x0 常數(shù)） . 2 a2y0

6、 22 20橢圓 x2y2 ab 1 （a b0） 的左右焦點(diǎn)分別為 F1， F 2，點(diǎn) P為橢圓上任意一點(diǎn) F1PF2 ，則橢圓的 焦點(diǎn)三角形的面積為 F1PF2 2 b2tan2，P( a 2 2 2 c b tan , c 2 c b2 tan ) . 2 21 若 P 為橢圓 PF2F1 2 22橢圓 x2 a2 M (x0,y0). ，則 a 2 y22 1 b2 1 22 xy 2 2 1( ab0) ab a c tan tan . c 2 2 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F 1, F 2 是焦點(diǎn) , PF1F2 a b 0）的焦半徑公式： |MF1| a ex0, |MF2 |

7、a ex0 ( F1( c,0) F2(c,0) ， 22 23若橢圓 x2 y2 a2 b2 2 1 e 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P，使得 PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng) . x2 y2 24 P 為 橢 圓 2 2 1 （ a b 0 ） 上 任 一 點(diǎn) ,F 1,F 2 為 二 焦 點(diǎn) ， A 為 橢 圓 內(nèi) 一 a2 b2 |AF2| |PA| |PF1| 2a | AF2 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A,F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 . 22 橢圓 x2 y2 1（ ab0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l ： y k（x x0） 對(duì)稱(chēng)的充要條件是 x0 ab 1（ ab0）的左、右焦點(diǎn)分

8、別為 F1、 F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) 定點(diǎn)，則 2a 25 2 2 2 (a2 b2)2 . 2 2 2 . a b k 過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線 26 垂直 . 27過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直 x acos （ab0） 28P是橢圓 y bsin x2 y2 29設(shè) A,B 為橢圓 x2 y2 ab 22 圓 x22 y22 a2 b2 2 30 在橢 31設(shè) S 為橢圓 2 x 2 a 2 y b2 是 AB 中 點(diǎn) ，則當(dāng) (x0) max 2ab 4b2 l 2

9、 k(k 0,k 2 cos 中， 上一點(diǎn)，則點(diǎn) P 對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是 e21 2 1 sin2 22 xy 1） 上兩點(diǎn)，其直線 AB 與橢圓 2 2 ab 定 長(zhǎng) 為 2m （ o b0）的通徑，定長(zhǎng)線段 L 的兩端點(diǎn) A,B在橢圓上移動(dòng)，記|AB|= l ，M（x0,y0） a2 l l S 時(shí)， 有 (x0)max ac 2le (c2 2 2 c a2 b2 , e ); 當(dāng) l S 時(shí) ， 有 a (x0)min0. 2 32橢圓 x2 a 33 橢圓 22 A2a2 34 22 B2b2 2 設(shè)橢圓 x2 a2 2 y 2 2 2 1與直線 Ax By C 0 有公

10、共點(diǎn)的充要條件是 A2a2 b2 22 (x x0) (y y0) b2 2 By0 C)2 . 2 2 2 B2b2 C2 . 中， 記 F1PF2 2 a (Ax0 2 y b2 ab0） 1 與 直 線 Ax By C 0 有 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P （異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)） 公共點(diǎn)的充要條件是 為橢圓上任意一點(diǎn)，在 1FP2F 經(jīng)過(guò)橢圓 b2 P1和 P2，則 |P1A1 | 2 x 36已知橢圓 x2 a2 11 |OP|2 |OQ |2 37MN是經(jīng)過(guò)橢圓 35 x2 sin c ，則有 sin sin a a2b2（ab0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn) A1和 A2的切線， 與橢圓上任一點(diǎn)的切線

11、相交于 b2. PF1F2 F1F2P e. 2 a2y |P2A2| 2 y b2 1 2 a 22 bx ab0），O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q 為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP OQ . （1） 1 b2 22 ay 22 ; ( 2)|OP| 2+|OQ| 2 的最小值為 42a2b22 ; (3) S OPQ的最小值是a22b22 . a2b2OPQa2b2 22 a2b2（ ab0）焦點(diǎn)的任一弦， 若 AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心 O且平行于 MN的弦， 則| AB|2 2a|MN |. 38MN是經(jīng)過(guò)橢圓 21 2 a |MN | |OP|2 2 39設(shè)橢圓 x2 a2 22 bx 1 2 a 2 y2

12、2 1 b2 1 直線與橢圓相交于 22 ay 1 b2. 22 a2b2 （ a b 0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O 的半弦 OP a b 0） ,M（m,o） 或 （o, m） 為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，過(guò) MN ，則 M引一條 b2 2 ab P、Q兩點(diǎn)，則直線 A1P、A2Q（A1 ,A2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn) ） 的交點(diǎn) N在直線 l ：x（或 y） mm 上. 40設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) 焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 41過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) 和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 x2 42設(shè)橢圓方程 2 a 而且 kkb2 . a2 F作直線與橢圓相交 P 、Q兩點(diǎn)， A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP

13、和 AQ分別交相應(yīng)于 M、N 兩點(diǎn)，則 MFNF. F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, A 1、A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)， MFNF. 2 y b2 1,則斜率為 k（k 0）的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l ： 43設(shè) A、B、C、D 為橢圓 1上四點(diǎn) ,AB 、CD所在直線的傾斜角分別為 PA PB 22 b cos 22 a sin PC PD 22 b cos 22 a sin P,且 P不在橢圓上 , 則 2 2 a 2 y b2 22 xy 44已知橢圓 2 2 1（ a b0） ab 為 l ，作 F1、F2分別垂直l 于 ,點(diǎn)P為其上一點(diǎn) F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)， R、 S ， 當(dāng)

14、P 跑 遍 整 個(gè) 橢 圓 時(shí) ， A1P 和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2P kx 的共軛直線 y k x 上 , ，直線 AB與 CD相交于 F1PF2 的外（內(nèi)）角平分線 R 、 S 形 成 的 軌 跡 方 程 是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a y bx x c x y a （ c2 y22 2 2 2 ）. a y b x c 45設(shè) ABC內(nèi)接于橢圓 ，且 AB為 的直徑， l為 AB的共軛直徑所在的直線， l分別交直線 AC、BC于E 和 F，又 D為 l 上一點(diǎn)，則 CD與橢圓 相切的充要條件是 D 為 EF的中點(diǎn) . ab0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩

15、點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交 x 22 46過(guò)橢圓 x2 y2 1 a2 b2 軸于 P，則 |PF | e . |MN | 2 47設(shè) A（x1 ,y 1）是橢圓 2 x 2 a 22 y2 1（ab0）上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為b2x1 的直線 L，又設(shè) d 是 ba y1 原點(diǎn)到直線 L 的距離 , r1,r2分別是 A到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則r1r 2d ab. 2 x 和2 a P(x0,0) , 則 2 x 2 y 2 2 a b2 B |CD 2 2 x y 2 2 a b2 22 a 2 b2 48已知橢圓 1 49已知橢圓 1 D四點(diǎn)，則 a b0） a b0） ,A 、 50

16、 (1) a x2 設(shè) P 點(diǎn)是橢圓 2 a2 2b2 1 cos |PF1 |PF2 | 51 設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn) x0 2 y b2 分別交相應(yīng)于過(guò) H 點(diǎn)的直線 a2 b2 a b 0） 2 y b2 1 ），一直線順次與它們相交于 B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) b2 tan . 2 B（m,o）作直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)， .(2) PF1F2 MN： x n于 M，N兩點(diǎn) ,則 MBN 90o A、B、 C、 AB 的垂直平分線與 ,F 1、 F2為其焦點(diǎn)記 A 為橢圓長(zhǎng)軸的左頂點(diǎn)， 2 an 2 x 軸相交于點(diǎn) F1PF2 ，則 連結(jié) 2 a m a n

17、m . a m b2(n a)2 AP和 AQ 22 52L 是經(jīng)過(guò)橢圓 x2 y2 a2 b2 心率,點(diǎn) P L ，若 EPF x2 y2 53L是橢圓 2 2 1（ ab0）的準(zhǔn)線，A、B是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn) ,點(diǎn) P L ，e是離心率， EPF ， ab 1（ a b0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn) A且與長(zhǎng)軸垂直的直線， E、F 是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)， e 是離 ，則 是銳角且 sin e或arc sin e（當(dāng)且僅當(dāng) |PH | b時(shí)取等號(hào)） . H是 L與 X軸的交點(diǎn) c是半焦距， 則 是銳角且 sine或arc sin e（當(dāng)且僅當(dāng) ab |PH | 時(shí)取等號(hào)） . c 22 xy 54L是橢圓 2 2 1

18、（ ab0）的準(zhǔn)線，E、F是兩個(gè)焦點(diǎn)，H是 L與x軸的交點(diǎn)， ab 點(diǎn) P L ， EPF 離心率為 e，半焦距為 c ，則 為銳角且 sine2 或arc sin e2（當(dāng)且僅當(dāng) |PH | b a2 c2 時(shí)取等號(hào)） . c 22 xy 55已知橢圓 2 2 1（ ab0），直線 L 通過(guò)其右焦點(diǎn) F2,且與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，將 A、B與橢圓 ab 左焦點(diǎn) F1連結(jié)起來(lái)，則 b2 | F1A| |F1B| 2 2 2 （2a 2 b ） （當(dāng)且僅當(dāng) ABx軸時(shí)右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng) a2 A、F1、B三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)） 56 設(shè) A、 B 是橢 圓 2 x 2 a 2

19、y b2 1（ ab0）的長(zhǎng)軸兩端 點(diǎn)，P 是橢圓上的一點(diǎn)， PAB PBA BPA c、 2 2ab2 |cos | e 分別 是橢圓 的半焦 距離心 率，則有(1) |PA| 2 2 2 .(2) a c cos tan tan 2 1 e2 .(3) PAB 22 2a2b2 2 2 cot ba 57設(shè) A、 2 by22 1 的橫坐標(biāo) 2 B 是橢圓 x2 a2 2 a 2 ，（ 1）若過(guò) xA xB a b0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)） 、外部的兩點(diǎn)，且 xA 、 xB A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 直線與這橢圓相交于 P、Q 兩點(diǎn)，則 22 58設(shè) A、B 是橢圓 x2 y2

20、1（ a a2 b2 P、Q兩點(diǎn)，則 PBAQBA ；（ 2）若過(guò) B引 PAB QAB 180o . b0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)） ，外部的兩點(diǎn)， （1）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q 兩點(diǎn)， 則點(diǎn) A、 B 的橫坐標(biāo) x 180o, 則點(diǎn) 2 x 2 a 2 y b2 2 y b2 PAB QAB 59設(shè) A, A是橢圓 2 軌跡是雙曲線 x2 a2 2 x 2 a 60 過(guò) 橢圓 A、 若 B P交橢圓于兩點(diǎn)， 則 P、Q不關(guān)于 x軸對(duì)稱(chēng)），且 PBA QBA ， 2 a； xB 滿(mǎn)足 xA xB A、 B的橫坐標(biāo)滿(mǎn)足 2 y b2 1. 1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， ab0

21、） （ 2）若過(guò) B 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、 Q 兩點(diǎn)，且 2 xA xB a . QQ是與 AA垂直的弦，則直線 AQ與AQ 的交點(diǎn) P的 的 左 焦 點(diǎn) F 作 互 相 垂直 的兩 條弦 AB、 CD 則 8ab2 a2 b2 | AB| |CD| 2(a2 b2 ) 2 x 61到橢圓 x2 a2 22 (x a)2 y 2 2 x 2 a ae)2 2 x 2 a 62到橢圓 姊妹圓 （x 63到橢圓 跡是姊妹圓 (x 64 已 知 2 y b2 b2. 2 y b2 2 y b2 ea2)2 b0） b0） (be)2. e 是橢圓 b0） 2 x 2 a ac 兩焦點(diǎn)的距離之比

22、等于 b 的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于 c 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是姊妹圓 ac b c 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是 的兩準(zhǔn)線和 x 軸的交點(diǎn)的距離之比為 a c（c 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn)的軌 b （ b2）2（ e 為離心率） . e y2 2 1（ ab0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， A,A是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn), 且 b2 2 2 2 Q點(diǎn)的軌跡方程是 x2 b y41. aa 65橢圓的一條直徑 （ 過(guò)中心的弦 ）的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 22 x y 66設(shè)橢圓 2 2 1（ a b 0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 A,A , P（x1,y1） 是橢圓上的點(diǎn)過(guò) P作斜率為2

23、1 的直 a b 2 AQ AP, AQ AP ，則 b2x1 a y1 2 線l ，過(guò)A, A分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交 l于M,M,則（1）|AM|AM| b2 . （ 2）四邊形 MAAM面積 的最小值是 2ab. 2 x 67已知橢圓 x2 a2 2 y2 1（ a b0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F 的直線與橢圓相交于 b A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且 BC / /x軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn). 2 by22 1 68OA、 OB是橢圓 (x 2a) a2 2ab2 2 2 ,0) .(2) ab ab2 2 ( 2 2)2 (x 0).

24、ab 必經(jīng) 過(guò)一個(gè) 定點(diǎn) （ (x a2ab2b2)2 ab 69 P(m,n) 是橢圓 (x a) 必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) （ 2 a 2ab2 m(a2 22 ab 2 y b2 b2) a0,b 0）的兩條互相垂直的弦， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ 1）直線 AB 以 O A 、 O B 為 直 徑 的 兩 圓 的 另 一 個(gè) 交 點(diǎn) Q 的 軌 跡 方 程 是 ab0）上一個(gè)定點(diǎn)， P A、P B 是互相垂直的弦，則（ 1）直線 AB n（b a2 ）.（2）以 P A、P B 為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn) Q的軌跡方 b2 a2 程是 22 ab a m 2 （x 2 2 ）2 ab 70如果一個(gè)橢圓短

25、半軸長(zhǎng)為b，焦點(diǎn) F1、F2到直線 L 的距離分別為 (y a2b2n a b2)2 a2b4 2 2 2 n2(a2 b2) 2 2 2 ( x m 且 y n). (a2 b2)2 在 L 同側(cè) 或 F1、 F2 在 L 異側(cè) 2 x 71 AB是橢圓 2 a2 2 直線 L和橢圓相切 .（2）d1d2 b2，且 F1、F2在 L同側(cè) 直線 L 和橢圓相交 . 2 y 2 1（ ab 0） b2 2 d1、d2，那么（ 1） d1d2 b2 ，且 F1、F2 2 直線 L 和橢圓相離，（3）d1d2 b2 ， 的長(zhǎng)軸， N 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)， N 的切線與過(guò) A、B的切線交于 C 、 D 兩

26、點(diǎn)，則梯形 ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn) 0). 22 x 4y M的軌跡方程是2 2 1(y ab 2 x 72設(shè)點(diǎn) P(x0, y0)為橢圓 2 a 2 by22 1 a b0）的內(nèi)部一定點(diǎn)， AB是橢圓 任一弦，當(dāng)弦 AB平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí) （|PA| |PB |）max 2 x 2 a 22 ab 2 y b2 (a2 b2 1過(guò)定點(diǎn) P(x0,y0) 的 y02 b2x02) 0 0 . 當(dāng)弦 AB 垂直于長(zhǎng)軸所在直線時(shí) (|PA| |PB |)min 2 2 2 2 2 2 a b (a y0b x0 ) 2 a e（離心率 ）. （注:在橢圓焦 78橢圓焦三角形中 79

27、橢圓焦三角形中 80橢圓焦三角形中 比例. 81橢圓焦三角形中 比例. 82橢圓焦三角形中 在直線平行 . 73橢圓焦三角形中 , 以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 74橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn). 75橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c 與 a-c. 76橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c. 77橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù) 三角形中 , 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn) .） , 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e. , 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的

28、比例中項(xiàng). , 橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離成 , 半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段成 , 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所 83橢圓焦三角形中 , 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線 長(zhǎng). 84橢圓焦三角形中 , 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線 圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn) . 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 , 則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長(zhǎng)半軸的 , 垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢 85 86 87 88 點(diǎn). ,

29、非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為定值 , 非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線. , 非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線. , 過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交 e. , 則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑的圓必過(guò)兩焦 2 y 2 1(a 0,b b2 的平行線，與 x 軸于 M,N ，與 |OQ|2 |OR|2 2b2 . 89. 2 x 已知橢圓 2 a2 0） （ 包括圓在內(nèi) ） 上有一點(diǎn) P, 過(guò)點(diǎn) P 分別作直線 y b x 及 y a R,Q., O為原點(diǎn)，則： （1）|OM |2 |ON|2 2a2 y 軸交于 b x a 2) 90. 過(guò)平面上的 P點(diǎn)作

30、直線 l1: y b x 及 l2 : a 若|OM |2 |ON |2 2a2，則 P的軌跡方程是 2 x 2 a b x 的平行線， 分別交 x 軸于 M,N ，交 y 軸于 R,Q .(1) a 2 y 2 2 2 2 1(a 0,b 0) .(2) 若|OQ|2 |OR|2 2b2，則 P b 2 y2 1（a 0,b 0） . b2 22 xy 91. 點(diǎn) P為橢圓 2 2 1（a 0,b 0） （包括圓在內(nèi) ）在第一象限的弧上任意一點(diǎn)，過(guò)P引x軸、 y軸的 ab 2 的軌跡方程是 x2 a2 平行線，交 y軸、 x軸于 M ,N ，交直線 ybx于Q,R，記 OMQ 與 ONR的面

31、積為 a S1,S2 ，則： S1 ab S2 2 92. 點(diǎn) P 為第一象限內(nèi)一點(diǎn)， 過(guò) P 引 x 軸、 y 軸的平行線， 交 y 軸、 x 軸于 M ,N ，交直線 y b x 于 Q,R ， a abx2 OMQ與 ONR的面積為 S1,S2，已知 S1 S2 a2b ，則P的軌跡方程是 ax2 2 y b2 1(a 0,b 0) . 橢圓性質(zhì) 92 條證明 1.橢圓第一定義。 2. 由定義即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。 3. 橢圓第二定義。 4. 如圖，設(shè) P(x0,y0)，切線 PT(即 l )的斜率為 k， PF1 所在直線 l1 斜率為 k1， PF2 所在直線 l2斜率為 k2。 由兩

32、直線夾角公式 tan k1 k2 得： 1 k1k2 tan k k1 2 b x0y0 x0 c y0 x0 c 2 a y0 b2x0 2 a y0 22 b x0 2 a x0 y0 2 2 2 a y0 b x0c 22 a cy0 b x0y0 22 ab 2 c x0y0 22 ba cx0 b2 2 cy0 a cx0 c y0 2 b cx0 2 a cy0 tan k k2 1 kk2 b2x0 a2 y0 b2x0 a2y0 y0 x0 c y0 x0 c b2x02 2 a x0 y0 2 2 2 a y0 b x0c 22 a cy0 b x0 y0 a2b2 22 b

33、 a cx0 b2 2 cy0 a cx0 c y0 b2cx0 22 c x0 y0 a cy0 0,2 同理可證其它情況。 故切線 PT平分點(diǎn) P 處的外角。 5. 如圖， 延長(zhǎng) F1P 至 A，使 PA=PF2，則 PAF 2是等腰三角形， AF2中點(diǎn)即為射影 H2。 則 OH 2 F1A 2 a ，同 理可得 OH1 a ，所以射影 H1，H2的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓除去兩端點(diǎn)。 6. 設(shè) P，Q 兩點(diǎn)到與焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離分別為 d1,d2 ，以 PQ中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 d ，以 PQ為直徑的圓的 半徑為 r ，則 d d1 d2 2 圖 PF FQ 2e r， 故以 PQ為直徑的

34、圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離。 7. 如圖，兩圓圓心距為 d OM PF1 2 2a PF2 2 a PF2 2 8. 如圖， 由切線長(zhǎng)定理： F1S F1T PF1 PF2 F1F2 2a 7圖 8 a r ，故兩圓內(nèi)切。 而 F1T T與 A2重合，故旁切圓與 2c ， F1S F1T a c 9. a c F1A2 x 軸切于右頂點(diǎn)，同理可證 P 在其他位置情況。 2 易知A1 a,0 A2 a,0 ,設(shè)P1 x0,y0 ,P2 x0, y0 ,則 x02 a 2 yb022 1 A1P1 : y y0 a x0 a ,A2P2 : y y0 a x0 則xP ay0 x0 x0 x0 2 xP 2

35、 a 2 yP b2 2 a 2 x02 22 a y0 22 x0 2 2 2 2 a b a y0 22 b2x02 2 1 P點(diǎn)的軌跡方程為 x2 a2 2 by22 1 10. Q 2 x P0 (x0, y0) 在橢圓 2 a 2 y b2 1上 2 x0 2 a y02 b2 2 x ，對(duì) 2 a 2 y b2 2x 1求導(dǎo)得： 2 a 2yy 2by2y 0 y b2x0 2 a2 y0 切線方程為 y y0 ab22xy0 x a2 y0 x0 x0 x 2 a y0y b2 2 x0 2 a 2 y0 b2 11. 設(shè) P1 x1,y1 ,P2 x2,y2 ，由 10 得：

36、x0 x 同時(shí)滿(mǎn)足方程 2 a2 y0y b2 1，所以 P1P2 : x0 x1 2 a x0 x 2 a y0 y1 b2 y0y b2 1, x0 x2 2 a y0 y2 b2 1 ，因?yàn)辄c(diǎn) P1,P2 在直線 P1P2上，且 12. 設(shè)A x1,y1 ,B x2,y2 ,M x0,y0 則有 2 x1 a2 2 y1 b2 2 1, x222 2 a 2 y2 b2 1作差得： 2 x1 2 a 2 x2 22 y1 y2 b2 x1 x2 x1 x2 2 a y1 y2 b2 y1 y2 kAB y1 y2 x1 x2 b2 x1 x2 y1 y2 b2x0 2 a y0 b2 a

37、 kOM kOM b2 2 a 13. 由 12 可得： y y0 b2x0 2 a y0 x0 a2 y0y a2 22 y0 b x0 x b2 x02 0 b2x0 x a2y0y b2x02 22 y0 x0 x 2 a y0y b2 2 x0 2 a 2 y0 b2 14. . 由 12 可得： y y0 x x0 b2 2 a 22 ay 2 a y0y 2 2 2 b x b x0 x 0 b2x2 22 a2y2 b2x0 x 2 a y0 y 2 x 2 a x0 x 2 a y0y b2 15. 設(shè) P a cost ,b sin t ,Q acost,bsint ， 則

38、kOP k bsint bsint OQ acost acost tant tant a2 b2 1 2 r12 22 r1 r2 22 r12r22 2 2 2 2 2 2 a cos t cos t b sin t sin t cos2t b2 sin 2 t a cos2 t b2sin2 t 1 22 cos t cos t 2 2 2 2 a b tan t a b2 tan2 t tan2 t b 2 2 cos t cos t b2 tan2 t 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a2 2 tan2t tan2 t b2 tan2t tan2 t 2b2 tan2 t tan2

39、 t a4 a2b2 tan2 t tan2t b4 tan2 t tan2 t a2 b2 tan2 t tan2 t 22 2a2 a2b2b2 1 b2 2 tan2 t tan2 t 2ab2 2a4 a2b2 tan2t tan2 t 2 a 2 2 2 2 tan2 t tan2 t b2 11 a2 b2 16. 將直線 AB 代入橢圓方程中得： A2a2 2 2 2 2 2 2 2 B2b2 x2 2Aa2x a2 1 B2b2 4a2B2b2 A2 a2 B2b2 1， AB 2ab A2 22 A2a2 B2bB2 A2a2 B2b2 1 設(shè) A x1,y1 ,B x2,y

40、2 則 x1 x2 2Aa2 A2a2 b2 22 B2b2 ，x1x2 A2a2 B2b2 ，y1y2 A2a2 22 1 A a 2 2 Q OA OB B2b2 22 x1x2 y1 y2 0 a b 2 2 2 a2b2 A2 B2 A 2 B2 12 a 1 b2 AB 2ab2 2 A 2B2 A2a2 B2b2 1 A 2a2 B 2b2 a 2 b 2 A2a2 B 2b2 1 2 2 2 2 A2a2 B 2b2 4 B 2b4 a 2b2 A2 B2 a2 b2 A2a 2 B 2b2 2 A2a 4 B 2b 4 A2a2 B 2b2 17. 設(shè)橢圓內(nèi)直角弦 AB的方程為

41、： y mk x n 即 y kx m kn 。 當(dāng)斜率 k 存在時(shí)，代入橢圓 C1 方程中得： a2k2 b2 2a2k m kn x 22 knb20 設(shè) A x1, y1 ,B x2, y2 得 x1 x2 2a 2 k m kn 2 m kn b2 kb x1x2 2 2 2 a2k2 b2 uuur 則 PA uuur PB x0 x1 x0 x2 y0 y1 y0 y2 k2 1 x1x2 k 2n ky0 x0 mk x1 2 x2 x0 y0 2 kn 0 2 2 2 2 a2 k 2 1 m kn 2 b2 22 k n ky0 x0 mk 2a k m kn 2k2 b2

42、2 x0 2 2 2 k by0 2 m kn 2 a k2 1 m kn 2 a2 k 2 1 b2 2 2 2 2 a k b x0 22 ak b2 2 y0 a2k2 b2 m kn 2 2y0 m kn 2 2 2 a k b 2a2k 2 m kn 2 2a2 kx0 m kn 2a2 k2y0 m kn 0 2 a m kn 2 2 2 ak 1 b2 22 ak b2 2 2 2 x0 a k 22 b2 y02 b2 m 2 kn2 y0 m kn b2 2a2kx0 m kn 2 a k2 b2 22 x02y02 22 abm kn 2 a2b2 k 2 12 m kn

43、a2kx0 b2y0 0 2 2 2 a k x0 2 y0 b2 2 x0 2 2 2 y0a b 2 m 2 2ma kx0 2mb2 y0 2k2 22 na x0 2kn b y0 0 22 a2x02 a 2 b2 2 n b2x 02 2na2 x0 0 m 2 ma x0 nb2y0 mn a2 b2 22 b2y02 22 ab 2 m 2 a y02 2mb2 y0 0 n 2 a b2 2 2 2 2 k2n2 2 kmn a 2 b2 2 2 2 2 2 a2b2k 2 a2b2 2 2 b2 a y0 2 2 a b2 2 a b2 x0 2 2 a b2 即直線 AB

44、過(guò)定點(diǎn) 222 2 a2 b2 x0, b2 a2 y0 ，此點(diǎn)在 C2上。當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線 a2 b2a2 b2 AB也過(guò) C2 上的定點(diǎn)。 由上可知 C1和 C2 上點(diǎn)由此建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系， 即證。 18. 必要性： 設(shè) P1P2 ： y my0 k x mx0 。 k 存在時(shí)， 代入橢圓方程中得： a2k 2 b2 x2 2a2km y0 kx0 22 x a m y0 kx0 a2b2 設(shè) P1 x1, y1 ,P2 x2, y2 得 x1 2a2km x2 y0 kx0 a2k 2 b2 x1x2 a2m2 y0 kx0 22 ab a2k2 b2 y0 y1 y0

45、y2 k1 k 2 x0 x1 k 2x1x2 k my0 mkx0 y0 x1 x2 x2 x0 2 2 2 2 b m 1 2kmx0 y0 k x0 m 1 y0 m 1 x1x2 x0 x1 x2 b2 m 1 2kmx0 y0 k2 x02 m 1 y02 m 1 m1 2 my0 mkx0 y0 2 x0 k 不存在時(shí)， P1P2： x=mx0 則 y b 2 2 2 a m x0 ， a y0 k1 k2 b a2 a y0+ b a a x02 1 m 22 m x0 2 2 2 m x0 2 y0 b2 2 2a a 22 m x0 22 x0 1 m b2 x02 m2 1

46、 a2 x02 1 m b2 m 1 a2 m 1 必要性得證。 充分性：設(shè) P1P2過(guò)定點(diǎn) q, p ，則 P1P2： y kx p kq 。代入橢圓方程得： x2 2a2k p kq 2 p kq 22 ab 設(shè) P1 x1,y1 ,P2 x2,y2 得 x1 x2 2a2k p a2k2 kq b2 x1x2 2 2 2 p kqa2b2 2 2 2 a k b 則 k1 k2 y1 y0 y2 y0 k2x1x2 k p kq a2k2 x1 x0 x2 x0 2 x2p kq y0 2 x1x2 x0 x1 x2 x0 y0 x1 kq a2b2k2 2a2k2 p kq p kq

47、y0 a2 p kq 2 2 2 a b 2a kx0 p kq p kq 2 x0 a y0 2 2 2 2k2 b2 2 a2k2 b2 22 b2 p kq 2 2kx0 2y0 p kq 2 2 2 y0 k x0 p kq p kq k2x02 2 y0 m1 m1 b2 2 a 2 kq 2 2y0 p kq y02 22 k x0 kq 2kx0 p kqk2x02 y02 k2 2 mx0 2 q mqx0 qx0 k mpx0 px0 mqy0 qy0 2pq mpy0 py0 p2 my02 0 2 mx0 mpx0 px0 mpy0 py0 mqx0 qx0 0 mqy0

48、 qy0 2pq 2 p 2 my0 0 x0 注意到 m1，解 px0 mx0 qy0 y0 my0 p 2pq 1）（ 3）得 pmy0,q mx0， 代入（ 2）式，成立。 驗(yàn)證 k 不存在的情況， 也得到此結(jié)論。故 l 過(guò)定點(diǎn) mx0, my0 充分性得證。 19. 設(shè) AB： y y0 k x x0 即 kx y0 kx0 y kx y0 2 x 2 a kx0 x0 同理C 20. PF1 2 y2 b2 xB a2k2 b 2a2k kx0 y0 a2k2 b2 xB a2k2x0 2a2ky0 b2x0 a2k2 b2 2 PF1 PF2 cos 2 2a k y0 kx0 x

49、 a2k2x0 2a2ky0 a2k2 b2 y0 kx0 b2 0 b2x0 2a2ky0 22 a k x0 2 2 2 a k b b2x0 b2 y0 a2k2y0 2b2kx0 a2k2 b2 b2y0 2k2 y0 2b2kx0 a 22 ak 2 2c b2 PF1 4c2 4b2kx0 4a2 ky0 b2x0 a2y0 2 PF1 PF2 cos 4a2 4c2 2 PF1 PF2 cos PF1 PF2 2b2 b2 cos 1 cos F1PF2 1 21 PF1 PF2 sin 2 b sin cos 1 2b2 sin cos 2 2 b2 tan 2 2cos2 2

50、 yP 21. 由 34： sin b2tan , xP c 2 P ac 1e a2 sin ac 1e sin 22 a b 2 tan 2 sin sin sin sin sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin sin b2 tan2 2 sin sin sin sin 1 cos sin 1 cos sin a c2 b2 tan2 , sin 1 cos sin 1 cos b2 tan c2 sin sin cos sin cos sin 2 2 2 2 2 2 2sin cos 2sin 2 2sin cos 2sin 2

51、2 2 2 2 2 2 2sin cos 2cos 2 2 2 2 2sin cos 2cos 2 2 2 2 cos cos sin cos sin cos 2 2 2 2 2 2 sin sin 22 cos cos 22 tan tan 22 2 a 22. 由第二定義得： MF1 e x0 c 2 a ex0 , MF2 ex0 c a ex0 23. PF1 PF2 e PF2 e PF1 d PF1 2 1 a ex0 e a ex0 1e x02 a ee Q x0 0,a 1e 2 ee e2 2e 1 0 e 2 1或 e 1 2Q e 0,1 e 2 1,1 24. 在 A

52、PF2中, 有 PF2 AF2 PA PF2 AF2 PF1 都當(dāng)且僅當(dāng) A、 PA PF1 P、 PA AF2 2a AF2 2a AF2,PF1 F2三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)。 AF2 PF1 PF2 25. 設(shè)橢圓上的點(diǎn) A x1, y1 ,B x2, y2 關(guān)于 l : y kx m 對(duì)稱(chēng)， M x0, y0 。 由 12 得： kAB 2 b x0 1 k 2 a y0 a 2 kx0 m x0 2 a m 2 bm 2 k 2 2 2 , y0 2 a y0 b x0 b x0 c2k c 又 QM 在橢 圓內(nèi) 2 2 2 2 a m bm 4 2 4 c k c 2 x0 4 c 2 a

53、 b2 2 2 a 22 bk 2 a 22 bk 26. 由 5 即可得證。 cos 27. 設(shè) P acos ,bsin ，則切線 l : cos x a 2 a b2k2 2 m 2 42 ck 1 m 2 2 2 若 m a b k c4k2 sin y 1 ， 2 a A, b acos 1 b c sin c kx0 ， 則 27 圖 30 圖 uuur uuur FP FA acos c,bsin b2 b acos ab2 cos b2 b2 ab2 cos 0 FP FA 1 c sin c c c 28. 設(shè)P acos ,bsin ,由射影定理有 :b2 sin2 aco

54、s acos 222 c a cos 22 a cos 22 c sin 2 cos 1 e2 sin 2 2 sin 2 sin 2 cos 1 1 sin2 29. 設(shè) C1 2 x 2 a 2 y b2 1,C 2 x 2 a 2 y b2 k1 ,AB l : Ax By 0。聯(lián)立 C1,l 得： A2a2 B2b2 x2 2Aa2Cx a2C2 a2b2B2 0， xA xB 2 2Aa2C 22 A2a2 22 B2b2 同 xA xP 1 BA22 由韋達(dá)定理： xB xB xQ 30. 設(shè) A acos ,bsin ,B acos ,bsin ， M x0,y0 為 AB 中點(diǎn)

55、。 則 AB a2 cos cos 2 b2 sin sin 2 2 2 4a2 sin 2 2 sin 22 4b2 cos2 sin 2 22 4m2 所以 AP=BQ xQ =0。 xA xP xP xB xQ =xA xB 而 xA xP ,xB xQ的符號(hào)一定相反，故 2 2 2 a sin sin 2 2 2 b cos sin 而 x0 acos acos acos cos 2 ,y0 設(shè)A sin ,B sin2 2 ，則 2 x0 a2 1 A bsin bsin 解得 2 x0 2 a 2 y0 b2 ,B 2 y0 b2 2 x0 2 a 2 y0 b2 2 代入 m 得

56、： tan bx0 ay0 B ,y02 2 x0 2 a 2 x0 2 a 2 y0 b2 2 a tan21 b2 tan2 tan2 2 x0 2 a 2 y0 b2 所以定長(zhǎng)為 2m（0k），則當(dāng) y2 mkm =c,m=a sin e, 當(dāng)且僅當(dāng) 號(hào)。 2 54. k=c,m= a c sin e 55. 設(shè) AF2x= F1A F1B a2 b2t2 a2 b2t2 b2 2 ana m 2 ama am am 22 anm b2(n a)2 現(xiàn)給出公式：若有兩定點(diǎn) A k,0 ， B k,0 m,y 在直 PH=b時(shí)取等號(hào)。 4a cos2 =0 時(shí)， b2 F1A F1B 56

57、. (1)設(shè) AP: y AP=t m2 k2 時(shí)， APB最大，其正弦值為 , 當(dāng)且僅當(dāng) PH=b a c F1A 2a p 1 ecos 2 2 2 2a2 b2 2 a tcos tsin 2 2ab2 2 2 2 2 b cos a sin cos F1A F1B F1B minb2 min 2 53. k=a,m= c sin e, 當(dāng)且僅當(dāng) ab PH=ab 時(shí)取等 c 22 c 2a 時(shí)取等號(hào)。 ，代入橢圓方程得： 2ab2 cos 2 2 2 a c cos 4a2 ecos =90 時(shí)， b2 2 cos 22 a sin pp 1 e2 cos2 4a F1A F1B ma

58、x 2 2 2 2a2 b2 2 a t2 2ab2t cos AP=t 0 2)設(shè) P x0 , y0 則 tan tan 2 y0 2 a 2 x02 b2 2 a 1 e2 3) S 1 PA 2 AB sin 2 a2b2 sin cos 由（ 2）： tan 2a 2b 2 cot c2 57. 由 58 可證。 22 c cos 2a 2b2 tan a2 tan 2b 2 tan b2 a2 tan 1 b22 2 a 2a 2b2 cot b2 a2 a2 tan2 c2 tan b2tan cot c2 tan 22 a tan b2 58. （1）易知 PQ的斜率為 0 和

59、斜率不存在時(shí)，對(duì)任意 x 軸上的點(diǎn) A 都成立。 設(shè) PQ : x ty m， A（m，0） 代入橢圓方程得： a2 b2t2 y2 2b2mty b2 0，則 y1 y2 2b2mt a2 b2t2 , y1y2 b2 22 ma 若 PBA QBA ， 則 kBQ kBP y1 y2 x1 xB x2 xB y1 ty2 m xB y2 2ty1 y2 m xB y1 y2 m2t a2 t m2t mtxB xB 22 2b2t m2 2 2 2 a2 b2t 2 2 a xA xB m 2b2mt m 2 a 2 a xB 22 b2t2 2 0 2b2t 2 2b mt m xB0

60、2）作 P 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，由 1）即證。 59. 同 9。 60. 設(shè)橢圓 p 1 e cos b2 a c cos 0,2 a2 則 AB CD b2 b2 b2 b2 a c cos a c cos ccos a ccos b2 b2 b2 b2 a c cos a c cos a csin a c sin 8ab2 4a2b2 2 a 42 c sin 2 b2 4時(shí)， AB CD 有最小值 8ab2 ；當(dāng) a 2 b 2 0 或 時(shí)， 2 AB CD 有最大值 b2 8ab2 a2 b2 AB CD 22 2 a b 61,62,63 為同一類(lèi)問(wèn)題， 現(xiàn)給出公式： PA 若點(diǎn)