《一元一次不等式》精講精練(2)

1、第七章一元一次不等式精講精練(2)一、重點(diǎn)難點(diǎn)提示重點(diǎn)：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。難點(diǎn)：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個(gè)基本類型解集的確定。二、學(xué)習(xí)指導(dǎo)：1、幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。但這“幾個(gè)一元一次不等式”必須含有同一個(gè)未知數(shù)，否則就不是一元一次不等式組了。2、前面學(xué)習(xí)過的二元一次方程組是由二個(gè)一次方程聯(lián)立而成，在解方程組時(shí)，兩個(gè)方程不是獨(dú)立存在的（代入法和加減法本身就說明了這點(diǎn)）；而一元一次不等式組中幾個(gè)不等式卻是獨(dú)立的，而且組成不等式組的不等式的個(gè)數(shù)可以是三個(gè)或多個(gè)。（我們主要學(xué)習(xí)由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組）

2、。3、在不等式組中，幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數(shù)軸找公共解）4、一元一次不等式組的基本類型（以兩個(gè)不等式組成的不等式組為例）類型（設(shè)ab）不等式組的解集數(shù)軸表示1. （同大型，同大取大） xa2. （同小型，同小取?。?xb3. （一大一小型，小大之間）bx解不等式 (2) 得 x4（利用數(shù)軸確定不等式組的解集）（ 1）分別解不等式組的每一個(gè)不等式原不等式組的解集為-1,解不等式 (2) 得 x1,解不等式 (3) 得 x2,在數(shù)軸上表示出各個(gè)解為：原不等式組解集為- 1-1,解不等式 (2),|x| 5,- 5x5,將 (3)(4

3、)解在數(shù)軸上表示出來如圖， 原不等式組解集為- 14x-5得： x3，解不等式1 得 x2，1、先求出不等式組的解集。2、在解集中找出它所要求的特殊解，原不等式組解集為x2，正整數(shù)解。這個(gè)不等式組的正整數(shù)解為x=1或x=2例 5，m為何整數(shù)時(shí)，方程組的解是非負(fù)數(shù)？分析： 本題綜合性較強(qiáng)，注意審題，理解方程組解為非負(fù)數(shù)概念，即。先解方程組用的代數(shù)式表示x, y,再運(yùn)用“轉(zhuǎn)化思想”，依據(jù)方程組的解集為非負(fù)數(shù)的條件列出不等式組尋求 m的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數(shù)值。解： 解方程組得方程組的解是非負(fù)數(shù)，即解不等式組此不等式組解集為 m,又m為整數(shù)， m=3 或 m=4。例 6，解不等式 0。分

4、析：由“”這部分可看成二個(gè)數(shù)的“商”此題轉(zhuǎn)化為求商為負(fù)數(shù)的問題。兩個(gè)數(shù)的商為負(fù)數(shù)這兩個(gè)數(shù)異號，進(jìn)行分類討論，可有兩種情況。(1)或 (2) 因此，本題可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組。解： 0, (1)或 (2)由 (1)無解，由 (2) -x,原不等式的解為-x 。m例 7. 解不等式 - 33x -15 。解法（ 1） : 原不等式相當(dāng)于不等式組解不等式組得 - x2，原不等式解集為 - x2。解法（ 2） : 將原不等式的兩邊和中間都加上1，得- 23x6,將這個(gè)不等式的兩邊和中間都除以3 得，- x2, 原不等式解集為 - x2。例 8. x 取哪些整數(shù)時(shí)，代數(shù)式與代數(shù)式的差不小于6 而小于 8

5、。分析： (1) “不小于6”即 6, (2)由題意轉(zhuǎn)化成不等式問題解決，解： 由題意可得， 6 -,原不等式組解集為- x6, - x6的整數(shù)解為x=3,2,1, 0, 4, 5, 6。當(dāng) x 取 3， 2， 1， 0， 4，5， 6 時(shí)兩個(gè)代數(shù)式差不小于6 而小于 8。例 9. 有一個(gè)兩位數(shù)，它十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小2，如果這個(gè)兩位數(shù)大于20 并且小于 40，求這個(gè)兩位數(shù)。分析： 這題是一個(gè)數(shù)字應(yīng)用題，題目中既含有相等關(guān)系，又含有不等關(guān)系，需運(yùn)用不等式的知識(shí)來解決。題目中有兩個(gè)主要未知數(shù)-十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)；一個(gè)相等關(guān)系：個(gè)位上的數(shù)十位上的數(shù)+2, 一個(gè)不等關(guān)系：20原兩位數(shù) 40

6、。解法（ 1） : 設(shè)十位上的數(shù)為x,則個(gè)位上的數(shù)為(x+2),原兩位數(shù)為10x+(x+2),由題意可得：2010x+(x+2)40,解這個(gè)不等式得，1x3,x為正整數(shù)， 1x3 的整數(shù)為 x=2 或 x=3，當(dāng) x=2 時(shí)， 10x+(x+2)=24,當(dāng) x=3 時(shí)， 10x+(x+2)=35,答：這個(gè)兩位數(shù)為24 或 35。解法（ 2） : 設(shè)十位上的數(shù)為x,個(gè)位上的數(shù)為y,則兩位數(shù)為10x+y,由題意可得（這是由一個(gè)方程和一個(gè)不等式構(gòu)成的整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。將 (1) 代入 (2) 得， 2011x+240,解不等式得：1x3,x為正整數(shù)， 1x3 的

7、整數(shù)為x=2 或 x=3,當(dāng) x=2 時(shí)， y=4， 10x+y=24,當(dāng) x=3 時(shí)， y=5, 10x+y=35。答：這個(gè)兩位數(shù)為 24 或 35。解法（ 3） : 可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個(gè)兩位數(shù)大于20且小于 40，所以它十位上的數(shù)只能是2 和3。當(dāng)十位數(shù)為 2 時(shí)，個(gè)位數(shù)為4，當(dāng)十位數(shù)為3時(shí)，個(gè)位數(shù)為 5，所以原兩位數(shù)分別為24或 35。例 10. 解下列不等式：(1)|4；(2)0。（ 1）分析： 這個(gè)不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來解。但由絕對值的知識(shí)|x|0)可知 -axa, (a0)則xa或 x-a 。解： | 4,- 4 4,由

8、絕對值的定義可轉(zhuǎn)化為：即解不等式 (1) ，去分母： 3x- 1 -8,解不等式 (2) 去分母： 3x- 18,移項(xiàng)： 3x -8+1,移項(xiàng)： 3x8+1,合并同類項(xiàng)： 3x -7合并同類項(xiàng)： 3x9,系數(shù)化為 1， x -,系數(shù)化為1： x3,，原不等式的解集為- x3。（ 2）分析： 不等式的左邊為是兩個(gè)一次式的比的形式（也是以后要講的分式形式），右邊是零。 它可以理解成“當(dāng) x 取什么值時(shí)， 兩個(gè)一次式的商是負(fù)數(shù)？”由除法的符號法則可知，只要被除式與除式異號，商就為負(fù)值。因此這個(gè)不等式的求解問題，可以轉(zhuǎn)化為解一元一次不等式組的問題。解： 0 ，3x -6 與 2x+1 異號，即：I或

9、II解 I 的不等式組得 , 不等式組無解，解 II 的不等式組得 , 不等式組的解集為 -x2,原不等式的解集為-x0,(3x -6) 與 (2x+1) 同號，即I或II解 I 的不等式組得 , 不等式組的解集為 x2, 解 II 的不等式組得 , 不等式組的解集為 x2 或 x0( 或 0) 與 ab0（或 0( 或0), a、 b 同號，即 I 或 II,再分別解不等式組I 和 II ，如例 10 的（ 3）題。（ 2）ab0（或 0） , ab0(或0), a、 b 異號，即I或II,再分別解不等式組I 和不等式組II 。例 11. 已知整數(shù)x 滿足不等式3x- 46x -2 和不等式

10、 -1,并且滿足方程3(x+a)=5a-2試求代數(shù)式5a3- 的值。分析：同時(shí)滿足兩個(gè)不等式的解的式組的解集中的整數(shù)為x 值。再將xx 值實(shí)際是將這兩個(gè)不等式組成不等式組，這個(gè)不等值代入方程3(x+a)=5a-2 ，轉(zhuǎn)化成a 的方程求出a 值，再將 a 代入代數(shù)式5a3- 即可。解： 整數(shù) x 滿足 3x- 46x -2 和-1,x為，解集的整數(shù)值，解不等式(1)，得x -,解不等式(2)得， x1,的解集為- x1。 - x3，則 m的取值范圍是 （ ）。A、 m3B、 m=3C、 m3，得 3 m, 選 D。例 3（ 2001 年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1x1 ，那么 (a+1)

11、(b-1)的值等于_。解： 化簡不等式組，得 它的解集是 -1x2的解集為，則a 的取值范圍是（）。A、 a0B、 a1C、 a0D、 a1解： 對照已知解集，結(jié)合不等式性質(zhì) 3 得： 1-a1，選 B。xa，則 a 的取值范圍是 （）。A、 a3D、 a 3解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集xa,得 a 3,選D。變式 （2001 年重慶市初數(shù)賽題）關(guān)于x 的不等式不等式 ax+b0 的解集為 _。三、利用性質(zhì)，分類求解例 6已知不等式的解集是，求a 的取值范圍。解： 由解集得 x-2a-2b的解集是，則關(guān)于x 的。當(dāng) a-10 時(shí)，得解集與已知解集矛盾；當(dāng) a-1=0

12、 時(shí)，化為 0 x0 無解；當(dāng) a-10 時(shí)，得解集與解集等價(jià)。例 7若不等式組有解，且每一個(gè)解 x 均不在 -1 x4 范圍內(nèi)，求 a 的取值范圍。解： 化簡不等式組，得它有解，5a-63aa3 ；利用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x4 內(nèi)。于是分類求解，當(dāng)x4 時(shí)，得 42 。故或 2a3 為所求。評述： (1) 未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)系數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討論求解； 對解集不在axb 范圍內(nèi)的不等式( 組 ) ，也可分 xa 或 x b 求解。(2) 要細(xì)心體驗(yàn)所列不等式中是否能取等號，必要時(shí)畫數(shù)軸表示解集分析等號。四、借助數(shù)軸，分析求解例 8（ 200

13、0 年山東聊城中考題）已知關(guān)于x 的不等式組的整數(shù)解共5 個(gè)，則 a 的取值范圍是 _。解： 化簡不等式組，得有解，將其表在數(shù)軸上，如圖 1，其整數(shù)解5 個(gè)必為 x=1,0,-1,-2,-3。由圖 1 得： -4a -3 。變式 : (1) 若上不等式組有非負(fù)整數(shù)解，求a 的范圍。(2) 若上不等式組無整數(shù)解，求a 的范圍。 ( 答： (1)-11)例 9關(guān)于 y 的不等式組的整數(shù)解是 -3 ， -2 ， -1 ， 0， 1。求參數(shù)t 的范圍。解： 化簡不等式組，得其解集為借助數(shù)軸圖2 得化簡得,。評述： 不等式 ( 組 ) 有特殊解 ( 整解、正整數(shù)解等 ) 必有解 ( 集 ) ，反之不然。

14、圖 2 中確定可動(dòng)點(diǎn) 4、 B的位置，是正確列不等式 ( 組 ) 的關(guān)鍵，注意體會(huì)。五、運(yùn)用消元法，求混臺(tái)組中參數(shù)范圍例 10.下面是三種食品A、B、 C 含微量元素硒與鋅的含量及單價(jià)表。某食品公司準(zhǔn)備將三種食品混合成100kg ，混合后每kg 含硒不低于5 個(gè)單位含量，含鋅不低于4.5 個(gè)單位含量。要想成本最低，問三種食品各取多少kg?ABC硒（單位含量 /kg ）446鋅（單位含量 /kg ）624單位（元 /kg ）9510解設(shè) A、 B、 C三種食品各取 x， y， z kg ，總價(jià) S 元。依題意列混合組視 S 為參數(shù)，(1) 代入 (2)整體消去x+y得： 4(100-z)+6z 500z 50,(2)+(3)由不等式性質(zhì)得：10(x+z)+6y 950,由 (1)整體消去(x+z)得 : 10(100-y)+6y 950y 12.5 ，再把 (1)與 (4)聯(lián)立消去x 得： S=900-4y+z 900+4 (-12.5)+50,即 S900。 當(dāng)x=3