高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3 函數(shù)的基本性質(zhì) 1.3.1 單調(diào)性與最大（?。┲?第2課時(shí) 函數(shù)的最大（?。┲嫡n件 新人教版必修1

1、第二課時(shí)函數(shù)的最大第二課時(shí)函數(shù)的最大( (小小) )值值 課標(biāo)要求課標(biāo)要求: :1.1.理解函數(shù)的最大理解函數(shù)的最大( (小小) )值及其幾何意義值及其幾何意義.2.2.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最 大值或最小值大值或最小值.3.3.體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想在求解最值問(wèn)題中的應(yīng)用體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想在求解最值問(wèn)題中的應(yīng)用. . 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí) 1.1.最大值最大值 (1)(1)定義定義: :一般地一般地, ,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,I,如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M M滿(mǎn)足滿(mǎn)足: : 對(duì)于任意的對(duì)于任意的xI,xI,都有都有f(x)

2、f(x) M;M; 存在存在x x0 0I,I,使得使得 . . 那么那么, ,稱(chēng)稱(chēng)M M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值. . (2)(2)幾何意義幾何意義: :函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最大值是圖象最的最大值是圖象最 點(diǎn)的點(diǎn)的 坐標(biāo)坐標(biāo). . 探究探究: :若函數(shù)若函數(shù)f(x)M,f(x)M,則則M M一定是函數(shù)的最大值嗎一定是函數(shù)的最大值嗎? ? 知識(shí)探究知識(shí)探究 f(xf(x0 0)=M)=M 高高縱縱 答案答案: :不一定不一定, ,只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)x x0 0, ,使使f(xf(x0 0)=M)=M時(shí)時(shí),M,M才是函數(shù)的最大才是函

3、數(shù)的最大 值值, ,否則不是否則不是. . 2.2.最小值最小值 (1)(1)定義定義: :一般地一般地, ,設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,I,如果存在實(shí)數(shù)如果存在實(shí)數(shù)M M滿(mǎn)足滿(mǎn)足: : 對(duì)于任意的對(duì)于任意的xI,xI,都有都有f(x)f(x) M;M; 存在存在x x0 0I,I,使得使得 . . 那么那么, ,稱(chēng)稱(chēng)M M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值. . (2)(2)幾何意義幾何意義: :函數(shù)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最小值是圖象最的最小值是圖象最 點(diǎn)的點(diǎn)的 坐標(biāo)坐標(biāo). . f(xf(x0 0)=M)=M 低低縱縱 自我檢測(cè)自我檢

4、測(cè) 1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=2x-1(x0),f(x)=2x-1(x0),則則f(x)(f(x)( ) ) (A)(A)有最大值有最大值 (B)(B)有最小值有最小值 (C)(C)既有最大值又有最小值既有最大值又有最小值 (D)(D)既無(wú)最大值又無(wú)最小值既無(wú)最大值又無(wú)最小值 2.2.函數(shù)函數(shù)y=|x+1|y=|x+1|在在-2,2-2,2上的最大值為上的最大值為( ( ) ) (A)0(A)0 (B)1(B)1 (C)2(C)2 (D)3(D)3 D D D D 解析解析: :函數(shù)函數(shù)y=|x+1|y=|x+1|的圖象如圖所示的圖象如圖所示, ,可知可知y ymax max=3. =3.

5、 B B 4.4.函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在-2,+)-2,+)上的圖象如圖所示上的圖象如圖所示, ,則函數(shù)的最小值為則函數(shù)的最小值為; ;最最 大值為大值為. . 答案答案: :不存在不存在3 3 5.5.函數(shù)函數(shù)y=-xy=-x2 2+6x+9+6x+9在區(qū)間在區(qū)間a,b(ab3)a,b(ab3)上有最大值上有最大值9,9,最小值最小值-7,-7,則則a=a= . . ,b=,b= . . 解析解析: :由由y=-xy=-x2 2+6x+9+6x+9在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增, ,即即-b-b2 2+6b+9=9,+6b+9=9,得得b=0,-ab=0,-a2 2+6a

6、+6a+ 9=-7,9=-7,得得a=-2.a=-2. 答案答案: :-2-20 0 題型一題型一圖象法求最值圖象法求最值 【例例1 1】 已知已知f(x)=2|x-1|-3|x|.f(x)=2|x-1|-3|x|. (1)(1)作出函數(shù)作出函數(shù)f(x)f(x)的圖象的圖象; ; (2)(2)根據(jù)函數(shù)圖象求其最值根據(jù)函數(shù)圖象求其最值. . 課堂探究課堂探究 解解: :(1)(1)當(dāng)當(dāng)x1x1時(shí)時(shí),y=2(x-1)-3x=-x-2;,y=2(x-1)-3x=-x-2;當(dāng)當(dāng)0 x10 x1時(shí)時(shí),y=-2(x-1)-3x=-5x+2;,y=-2(x-1)-3x=-5x+2; 當(dāng)當(dāng)x0 x0時(shí)時(shí),y=

7、-2(x-1)+3x=x+2.,y=-2(x-1)+3x=x+2.所以所以y=y= 結(jié)合上述解析式作出圖象結(jié)合上述解析式作出圖象, ,如圖所示如圖所示. . (2)(2)由圖象可以看出由圖象可以看出, ,當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),y,y取得最大值取得最大值y ymax max=2. =2.函數(shù)沒(méi)有最小值函數(shù)沒(méi)有最小值. . 2,1, 52,1, 2,0. xx xxx xx 方法技巧方法技巧 利用圖象求函數(shù)最值的方法利用圖象求函數(shù)最值的方法: :畫(huà)出函數(shù)畫(huà)出函數(shù)y=f(x)y=f(x)的圖象的圖象; ; 觀察圖象觀察圖象, ,找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn); ; 寫(xiě)出最值寫(xiě)出最

8、值, ,最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值, ,最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的 最小值最小值. . 即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練1 1- -1:1:(1)(1)如圖所示為函數(shù)如圖所示為函數(shù)y=f(x),x-4,7y=f(x),x-4,7的圖象的圖象, ,指出它的最指出它的最 大值、最小值及單調(diào)區(qū)間大值、最小值及單調(diào)區(qū)間. . 解解: :(1)(1)觀察函數(shù)圖象可以知道觀察函數(shù)圖象可以知道, ,圖象上位置最高的點(diǎn)是圖象上位置最高的點(diǎn)是(3,3),(3,3),最低的最低的 點(diǎn)是點(diǎn)是(-1.5,-2),(-1.5,-2), 所以函數(shù)所以函數(shù)y=f(x)y=f(x)當(dāng)當(dāng)x=3x

9、=3時(shí)取得最大值時(shí)取得最大值, ,最大值是最大值是3,3, 當(dāng)當(dāng)x=-1.5x=-1.5時(shí)取得最小值時(shí)取得最小值, ,最小值是最小值是-2.-2. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-1.5,3),5,6),-1.5,3),5,6), 單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為-4,-1.5),3,5),6,7.-4,-1.5),3,5),6,7. 題型二題型二單調(diào)性法求最值單調(diào)性法求最值 【例例2 2】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= ,x3,5,f(x)= ,x3,5, (1)(1)判斷函數(shù)判斷函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性并證明的單調(diào)性并證明; ; 1 2 x x (2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(x)f(

10、x)的最大值和最小值的最大值和最小值. . 變式探究變式探究: :本題中已知條件不變本題中已知條件不變, ,若改為若改為f(x)af(x)a恒成立恒成立, ,f(x)bf(x)b恒成恒成 立立, ,則則a,ba,b的取值范圍分別是什么的取值范圍分別是什么? ? (1) (1)由函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象找出最高由函數(shù)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象找出最高( (低低) )點(diǎn)的縱點(diǎn)的縱 坐標(biāo)即為函數(shù)的最大坐標(biāo)即為函數(shù)的最大( (小小) )值值. . (2)(2)分段函數(shù)的最大分段函數(shù)的最大( (小小) )值是函數(shù)整體上的最大值是函數(shù)整體上的最大( (小小) )值值. . 方法技巧方法技巧 (2)(2)求函數(shù)求函數(shù)

11、f(x)f(x)在在-3,0-3,0上的最大值與最小值上的最大值與最小值; ; (3)(3)求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域. . (2)(2)解解: :由由(1)(1)知函數(shù)知函數(shù)f(x)f(x)在在(-,1(-,1上是增函數(shù)上是增函數(shù), , 所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)f(x)在在-3,0-3,0上是增函數(shù)上是增函數(shù), , 因此函數(shù)因此函數(shù)f(x)=1- f(x)=1- 在在-3,0-3,0上有最小值上有最小值f(-3)=-1,f(-3)=-1,最大值最大值f(0)=0.f(0)=0. (3)(3)解解: :由由(1)(1)知函數(shù)的定義域?yàn)橹瘮?shù)的定義域?yàn)?-,1,(-,1,且函數(shù)且函數(shù)f(x)=1-

12、 f(x)=1- 在定義在定義 域上是增函數(shù)域上是增函數(shù), , 所以所以f(x)f(1)=1,f(x)f(1)=1, 即函數(shù)即函數(shù)f(x)f(x)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?-,1.(-,1. 1x 1x 二次函數(shù)的最值二次函數(shù)的最值題型三題型三 【例例3 3】 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2-2ax-1-2ax-1在區(qū)間在區(qū)間0,20,2上的最大值上的最大值g(a)g(a)和最小值和最小值h(a).h(a). 解解: :f(x)=(x-a)f(x)=(x-a)2 2-1-a-1-a2 2, ,對(duì)稱(chēng)軸為對(duì)稱(chēng)軸為x=a.x=a. (1)(1)當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,由圖由圖(1)(1)可知可知,

13、 , f(x)f(x)min min=f(0)=-1,f(x) =f(0)=-1,f(x)max max=f(2)=3-4a. =f(2)=3-4a. (2)(2)當(dāng)當(dāng)0a10a1時(shí)時(shí), ,由圖由圖(2)(2)可知可知, , f(x)f(x)min min=f(a)=-1-a =f(a)=-1-a2 2, , f(x)f(x)max max=f(2)=3-4a. =f(2)=3-4a. (3)(3)當(dāng)當(dāng)1a21a2時(shí)時(shí), ,由圖由圖(3)(3)可知可知, , f(x)f(x)min min=f(a)=-1-a =f(a)=-1-a2 2,f(x),f(x)max max=f(0)=-1. =f

14、(0)=-1. (1)(1)(2)(2)(3)(3) (4)(4) 方法技巧方法技巧 方法技巧方法技巧 即時(shí)訓(xùn)練即時(shí)訓(xùn)練3 3- -1:1:已知已知f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5,-12x+5,當(dāng)當(dāng)f(x)f(x)的定義域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí)的定義域?yàn)橄铝袇^(qū)間時(shí), ,求函求函 數(shù)的最大值和最小值數(shù)的最大值和最小值. . (1)0,3;(2)-1,1;(3)3,+).(1)0,3;(2)-1,1;(3)3,+). 解解: :作出作出f(x)=3xf(x)=3x2 2-12x+5-12x+5的圖象如圖所示的圖象如圖所示, , (1)(1)由圖可知由圖可知, ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在在0,20,2上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,在在2,32,3上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增. .且且 f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4.f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4. 故在區(qū)間故在區(qū)間0,30,3上上, ,當(dāng)當(dāng)x=2x=2時(shí)時(shí),f(x),f(x)min min=-7; =-7;當(dāng)當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí),f(x),f(x)max ma