有理數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納

1、第二章有理數(shù)及其運(yùn)算知識(shí)梳理正數(shù)和負(fù)數(shù)1正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念負(fù)數(shù)：比0小的數(shù)正數(shù)：比0大的數(shù) 0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)注意：字母a可以表示任意數(shù)，當(dāng) a表示正數(shù)時(shí)，-a是負(fù)數(shù)；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時(shí)，-a是正數(shù)；當(dāng)a表 示0時(shí)，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的， 例如+a,-a就不能做出簡(jiǎn)單判斷） 正數(shù)有時(shí)也可以在前面加“+”，有時(shí)“ +”省略不寫。所以省略“ +”的正數(shù)的符號(hào)是正號(hào)。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量，比如：零上8C表示為：+8C ；零下8 C表示為：-8 C表示的意義0表示“沒有”，如教

2、室里有0個(gè)人，就是說(shuō)教室里沒有人；0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。如：有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)） 正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù) 正整數(shù)，0，負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解：只有能化成分?jǐn)?shù)的數(shù)才是有理數(shù)。n是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫成分?jǐn)?shù)形式，不是有理數(shù)。 有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都可化成分?jǐn)?shù)，都是有理數(shù)。2.有理數(shù)的分類按有理數(shù)的意義分類|正整數(shù)廠整數(shù)v 0I負(fù)整數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù).分?jǐn)?shù)I負(fù)分?jǐn)?shù)注意：引入負(fù)數(shù)以后，奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴(kuò)大了，像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù)，-1,-3,-5 也是奇數(shù)

3、。按正、負(fù)來(lái)分正整數(shù) f正有理數(shù)J正分?jǐn)?shù)（0不能忽視）有理數(shù)斗0負(fù)整數(shù).負(fù)有理數(shù)W負(fù)分?jǐn)?shù)總結(jié)：正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)（也叫自然數(shù)） 負(fù)整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負(fù)有理數(shù) 負(fù)有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非正有理數(shù)數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。注意：數(shù)軸是一條向兩端無(wú)限延伸的直線；原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，三者缺一不 可；同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一；數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的。2. 數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示，正有理數(shù)可用原點(diǎn)右邊的點(diǎn)表示，負(fù)有理數(shù)可用原點(diǎn)左邊的點(diǎn)表示，0用原點(diǎn)表示。所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上

4、的點(diǎn)表示出來(lái)，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，也就是說(shuō)，有理數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)不是對(duì)應(yīng)關(guān)系。（如，數(shù)軸上的點(diǎn)n不是有理數(shù)）3. 利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較，距離原點(diǎn)遠(yuǎn)的數(shù)比距離原點(diǎn)近的數(shù)小。4. 數(shù)軸上特殊的最大（?。?shù)最小的自然數(shù)是 0,無(wú)最大的自然數(shù)；最小的正整數(shù)是 1,無(wú)最大的正整數(shù)；最大的負(fù)整數(shù)是-1，無(wú)最小的負(fù)整數(shù)可以表示什么數(shù)a0表示a是正數(shù)；反之，a是正數(shù)，則a0;a0表示a是負(fù)數(shù)；反之，a是負(fù)數(shù)，貝U a0時(shí)，-a0 （正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù)）當(dāng) a0 （負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)）當(dāng) a=0 時(shí)， -a

5、=0 ，（ 0 的相反數(shù)是 0 ）6. 多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多重符號(hào)的化簡(jiǎn)規(guī)律 :“+”號(hào)的個(gè)數(shù)不影響化簡(jiǎn)的結(jié)果，可以直接省略； “- ”號(hào)的個(gè)數(shù)決定最后化簡(jiǎn)結(jié) 果；即：“- ”的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，結(jié)果為負(fù)， “-”的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，結(jié)果為正。絕對(duì)值1. 絕對(duì)值的幾何定義一般地，數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做 a 的絕對(duì)值，記作 |a| 。2. 絕對(duì)值的代數(shù)定義一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身； 一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；0 的絕對(duì)值是 0.可用字母表示為： 如果a0,那么|a|=a ; 如果a0, |a|=a（非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于本身；絕對(duì)值等于本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)。） a 0, |a|=-a（非正數(shù)的絕

6、對(duì)值等于其相反數(shù)；絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。）3. 絕對(duì)值的性質(zhì)任何一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù),也就是說(shuō)絕對(duì)值具有非負(fù)性。所以,a 取任何有理數(shù),都有 |a| 0。即0的絕對(duì)值是0;絕對(duì)值是0的數(shù)是0.即：a=0 |a|=0 ;一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，絕對(duì)值最小的數(shù)是0.即：|a| 0;任何數(shù)的絕對(duì)值都不小于原數(shù)。即：|a| a;絕對(duì)值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)。即：若|x|=a （a0）,則x= a;互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對(duì)值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b| ;絕對(duì)值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即：|a|=|b| ，貝U a=b或a=-b ;若幾個(gè)數(shù)

7、的絕對(duì)值的和等于0，則這幾個(gè)數(shù)就同時(shí)為 0。即|a|+|b|=0 ，則a=0且b=0。（非負(fù)數(shù)的常用性質(zhì)：若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則有且只有這幾個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為0）4. 有理數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個(gè)數(shù)的大小：數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)相比較，左邊的總比右邊的小； 利用絕對(duì)值比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大?。?兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小, 絕對(duì)值大的反而?。划愄?hào)兩數(shù)比較大小,正數(shù) 大于負(fù)數(shù)。5. 絕對(duì)值的化簡(jiǎn)當(dāng)a0時(shí)，|a|=a;當(dāng)aw 0時(shí)，|a|=-a6. 已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,求這個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù) a 的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示數(shù) a 的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離, 一般地, 絕對(duì)值為同一個(gè)正數(shù)的有理數(shù)有兩 個(gè),它們互為相反數(shù),絕對(duì)值為 0 的數(shù)是

8、 0,沒有絕對(duì)值為負(fù)數(shù)的數(shù)。有理數(shù)的加減法1. 有理數(shù)的加法法則同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值；互為相反數(shù)的兩數(shù)相加，和為零；一個(gè)數(shù)與零相加，仍得這個(gè)數(shù)。2. 有理數(shù)加法的運(yùn)算律加法交換律： a+b=b+a加法結(jié)合律： （a+b）+c=a+（b+c）在運(yùn)用運(yùn)算律時(shí),一定要根據(jù)需要靈活運(yùn)用,以達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,通常有下列規(guī)律： 互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)先相加“相反數(shù)結(jié)合法” ； 符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)先相加一一“同號(hào)結(jié)合法”； 分母相同的數(shù)先相加一一“同分母結(jié)合法”； 幾個(gè)數(shù)相加得到整數(shù)，先相加“湊整法” ；

9、整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形結(jié)合法”。3. 加法性質(zhì)0后的和等于原數(shù)。即：當(dāng)b=0時(shí)，a+b=aa-b=a+(-b)。一個(gè)數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大；加負(fù)數(shù)后的和比原數(shù)??；加 當(dāng)b0時(shí)，a+ba當(dāng)b0時(shí)，a+ba4. 有理數(shù)減法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為：5. 有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義 有理數(shù)加減法混合運(yùn)算中， 根據(jù)有理數(shù)減法法則， 可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后， 再按照加法法則進(jìn)行計(jì)算。 在和式里，通常把各個(gè)加數(shù)的括號(hào)和它前面的加號(hào)省略不寫，寫成省略加號(hào)的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個(gè)式子表示的意義讀作“負(fù)&

10、負(fù)7、負(fù)6、正5的和”按運(yùn)算意義讀作“負(fù)8減7減6加5”有理數(shù)的乘除法1. 有理數(shù)的乘法法則法則一：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘；(“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”專指“兩數(shù)相乘”的情況，如果因數(shù)超過(guò)兩個(gè)，就必須運(yùn)用法則三)法則二：任何數(shù)同 0相乘，都得0；法則三：幾個(gè)不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積是正數(shù)；負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)時(shí)， 積是負(fù)數(shù)；法則四：幾個(gè)數(shù)相乘，如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2. 倒數(shù)1乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，其中一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用式子表示為a-=1 (a工0),就是a111說(shuō)a和 互為倒數(shù)，即a是 的倒數(shù)，一是a的倒數(shù)。aaa注意：0沒有倒數(shù)； 求

11、假分?jǐn)?shù)或真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要把這個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母點(diǎn)顛倒位置即可；求帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)時(shí)，先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再把分子、分母顛倒位置； 正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)。(求一個(gè)數(shù)的倒數(shù)，不改變這個(gè)數(shù)的性質(zhì))； 倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。3. 有理數(shù)的乘法運(yùn)算律乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即ab=ba乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，在把積相加。即a(b+c)=ab+ac4. 有理數(shù)的除法法則(1) 除以一個(gè)不等0的數(shù)，等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。(2) 兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不等于 0的數(shù)，都得05. 有理數(shù)的乘除混合運(yùn)算(1 )乘除混合運(yùn)算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號(hào)，最后求出結(jié)果。(2)有理數(shù)的加減乘除混合運(yùn)算，如無(wú)括號(hào)指出先做什么運(yùn)算，則按照先乘除后加減的順序進(jìn)行。有理數(shù)的乘方1. 乘方的概念a n 中， a 叫做底數(shù)， n 叫做指數(shù)。求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做幕。在2. 乘方的性質(zhì) （1）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪的正數(shù)。（ 2）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)， 0 的任何正整數(shù)次冪都是 0。（