高中數(shù)學(xué)平面向量專題復(fù)習(xí)(含例題練習(xí))

1、平面向量專題復(fù)習(xí)一向量有關(guān)概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如：2零向量：長(zhǎng)度為0 的向量叫零向量，記作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量( 與 AB 共線的單位向量是AB) ；uuur| AB|4相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、 b 叫做平行向量，記作：a b ，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量

2、不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；r平行向量無(wú)傳遞性！ （因?yàn)橛?0 ) ；uuur uuur三點(diǎn) A、 B、 C 共線AB、AC 共線；6相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。如rrrr（ 3）若例 1：（ 1）若 ab，則 ab 。（ 2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。uuuruuuruuuruuurrr rrABrDC ，則 ABCD 是平行四邊形。 （4）若 ABCD 是平行四邊形，則 ABDC 。（ 5）若 ab,bc ，則rr r rrrrac

3、。（ 6）若 a / b, b / c ，則 a / c 。其中正確的是 _二、向量的表示1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i ， j 為基底，rrrx, y，稱 x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， a x, y 叫做向量 a 的則平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為 a xiy j坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。三 平面向量的基本定理：如果e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量

4、，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1 、2，使 a=12rr1 e 2 e 。如(1,r( 1,2)r_例 2（ 1）若 a(1,1),b1),c，則 c（ 2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是uruururuurA. e1(0,0), e2(1, 2)B.e1( 1,2), e2(5,7)uruur(6,10)uruur(1, 3)C. e1(3,5), e2D.e1(2, 3),e2uuur uuur24uuurr uuurruuurr r（ 3）已知 AD , BE 分別是ABC 的邊 BC, AC 上的中線 ,且 ADa, BEb ,則 BC 可用向量 a, b

5、表示為_（ 4）已知 ABC 中，點(diǎn) D 在 BC 邊上，且 CD2DB，CDr ABs AC ，則 rs 的值是 _四實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作a ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：1rra 的方向與 a 的方向相同， 當(dāng)0 時(shí)，0 時(shí)，rra 0。當(dāng)a0，注意：1五平面向量的數(shù)量積：uuurr uuurrAOB1兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量a ， b ，作 OA a, OBb ，0稱為向量 a ， b 的夾角，當(dāng) 0 時(shí)， a ， b 同向，當(dāng)時(shí)， a ， b 反向，當(dāng)時(shí)，2a ， b 垂直。r r2平面向量的數(shù)量積： 如果兩個(gè)非零向量 a ， b ，它們的夾角為叫做 a

6、，我們把數(shù)量 | a | b | cosrr與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積） ，記作： a ? b ，即 a ? b a b cos。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。r3 b 在 a 上的投影為 |b | cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。4 a ? b 的幾何意義：數(shù)量積ra ? b 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量a ， b ，其夾角為，則：rrr r aba ?b 0 ；r rr 2r rr 2 rr 2當(dāng) a ， b 同向時(shí)， a ? b a b ，特別地， aa ? aa, aa

7、 ；當(dāng) a 與 b 反向時(shí)， a ? b r r為銳角時(shí)， a ? b 0，且r rr r0 是 a b ；當(dāng)a、b 不同向，a b為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍r rr r0 是角時(shí)， a ? b 0，且 a、b 不反向， a b非零向量 a ， b 夾角的計(jì)算公式： cos為鈍角的必要非充分條件；r rr r r ra ?br r； | a ?b | | a | b |。a b例 3 如（1）ABC 中， | AB |3，|AC |4，| BC |5，則 AB BC_r1 r1 rrr urrrrur，則 k 等于 _（ 2）已知 a(1, ),b (0,), ca kb,dab ， c

8、與 d 的夾角為r2rr r2rr等于 _4（ 3）已知 a2, b5, agb3 ，則 abrrrrrrrrr（ 4）已知 a,b 是兩個(gè)非零向量，且abab ，則 a與 ab 的夾角為 _例 4 已知 | a | 3， | b |5 ，且 a b12 ，則向量 a 在向量 b 上的投影為 _例 5（ 1）已知 a( ,2) ， b(3 ,2) ，如果 a 與 b 的夾角為銳角，則的取值范圍是 _（ 2）已知OFQ的面積為S，且OF FQ，若1S3，則OF,FQ夾角的取值范圍是。122六向量的運(yùn)算：1幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如

9、此之uuurruuurruuurrr外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè) ABa, BCb ，那么向量AC 叫做 a 與 b 的和，即rruuuruuuruuurabABBCAC ；uuurr uuurrrruuuruuuruuur向量的減法：用“三角形法則”：設(shè) ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。rr(x2 , y2 ) ，則：2坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a(x1, y1 ), brr向量的加減法運(yùn)算：ab( x1x2 ， y1y2 ) 。r實(shí)數(shù)與向量的積：ax1 , y1x1 ,y1。2uuur若 A( x1 , y

10、1), B( x2 , y2 ) ，則 ABx2x1 , y2y1 ，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。rrx xy y平面向量數(shù)量積：a? b。如1212已知向量 a （ sinx，cosx ）,b （ sinx ， sinx ） ,c （ 1，0）。（1）若 x，求向量 a 、 c的夾角；（ 2）若 x 31 ，求3, ，函數(shù) f (x)ab 的最大值為的值84r 2r2rx2x2y2 。向量的模： | a |y2 , a| a |2Ax1, y1, B x2 , y2，則|AB|x2x12y22兩點(diǎn)間的距離：若y1 。uuuruuuruuuruuuruuu

11、ruuuruuuruuuruuuruuur例 6： ABBCCD_； ABADDC_； ( ABCD )( ACBD ) _例 7（ 1）已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4)， C(7,10)uuuruuuruuurR) ，則當(dāng) _時(shí)，點(diǎn) P 在第一、，若 APABAC (三象限的角平分線上且 1 uuur（ ）已知A(2,3), B(1,4),(sin x,cos y)，,y(,)，則 x y2ABx222例 8 設(shè) A(2,3), B(uuur1 uuuruuuruuur1,5) ，且 AC3AB，AD3AB ，則 C、 D 的坐標(biāo)分別是 _rruurr例 9 已知 a, b均為單位向量，

12、它們的夾角為60 o ，那么 | a3b | _七向量的運(yùn)算律：rrrrrrrrrr1交換律： abba ，aa ， a ?bb ? a ；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2結(jié)合律： abcabc, abcabc，a ? ba ?ba ?b ；rrrrrrrrrrr rr r3分配律：aaa,abab ，ab?ca ?cb ? c 。例 10 下列命題中：a (bc )aba c ；a (bc)( a b)c ；( ab)2| a |2r rrr rr rrrr 2r 22 | a | b |2； 若 a b0 ，則 a0 或 ba b b| b |0 ；若 a bc b, 則 ac ；

13、 aa ；r 2r ；r rr 2 r 2rrr 2r rr 2aa。其中正確的是 _ (a b)2ab ； (ab)2a2abb提醒：（ 1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約 )；（ 2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b ? c) (a ? b)c ，為什么？rrrrrrr r八向量平行 ( 共線 ) 的充要條件： a / bab( a b)2(| a | b |)2x1 y2 y1 x2 0。rrrr例 11(1)

14、若向量 a( x,1), b(4, x) ，當(dāng) x _時(shí) a 與 b 共線且方向相同rrrrrrrrr r（ 2）已知 a(1,1),b (4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，則 x_uuuruuuruuur(10,k) ，則 k_時(shí)， A,B,C 共線（ 3）設(shè) PA(k,12), PB(4,5), PC3rrrrr rr r九 向 量 垂 直 的 充 要 條 件 ： a ba b 0| a b | | a b |x1 x2 y1 y2 0 . 特 別 地uuuruuuruuuruuurABACABAC) 。( uuuruuur )( uuuruuurABACABAC

15、uuuruuuruuuruuur例 11(1)已知 OA( 1,2),OB (3,m) ，若 OAOB ，則 m（ 2）以原點(diǎn)O 和 A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB ，B 90，則點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 _rrurrurur（ 3）已知 n(a,b), 向量 nm ，且 nm，則 m 的坐標(biāo)是 _十向量中一些常用的結(jié)論：（ 1）一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；rrrrrrrrrrrr r（ 2） | a |b | ab | | a |b |，特別地，當(dāng) a、b 同向或有 0| ab | a | b |r rrrrrr rrr rrrrrr r| a | | b |

16、 | a b | ； 當(dāng) a、b 反 向 或 有 0| a b | | a | | b | a | | b | | a b | ； 當(dāng) a、b 不 共 線rrrrrr).|a | | b | | ab | a | b | ( 這些和實(shí)數(shù)比較類似（3 ） 在ABC中 ， 若 A x1 , y1, Bx2 , y2,Cx3 , y3，則其重心的坐標(biāo)為Gx1x2x3 , y1y2y3 。33uuur1uuuruuuruuurG為ABC的重心，特別地uuuruuuruuurr為ABC 的重PG3( PAPBPC)PAPBPC0P心；uuuruuuruuuruuuruuuruuurP 為ABC 的垂心；

17、PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量(ABAC)(0)所在直線過ABC 的內(nèi)心 ( 是BAC 的角平分線所在直線) ；uuuruuur|AB |AC|uuuruuuruuuruuur uuuruuur（4）向量 PA、PB、PC 中三終點(diǎn) A、B、C 共線存在實(shí)數(shù) 、 使得 PAPBPC 且1 .例 12 若 ABC 的三邊的中點(diǎn)分別為（ 2， 1）、（ -3， 4）、（ -1， -1），則 ABC 的重心的坐標(biāo)為 _例 13平面直角坐標(biāo)系中，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1) , B( 1,3) ,若點(diǎn) C 滿足 OC1 OA 2 OB,其中1 ,2R且121則點(diǎn)C的軌跡是_

18、,4高考真題選講一、選擇題設(shè) xR ,rr(1,2), 且rrrr1向量 a(x,1),bab ,則 | ab |（）A 5B 10C2 5D10在 ABC中 ,A90 ,uuuruuur uuur(1uuurR.3,設(shè)點(diǎn) P,Q 滿足 APAB, AQ)AC,AB 1uuuruuur2,則若BQ CP（）A 1B 2C 4D 2333rrrrab4設(shè) a 、 b 都是非零向量 , 下列四個(gè)條件中, 使成立的充分條件是（）rr| a | b |rrrrrrrrrrA | a | | b | 且 a / bB abC a / bD a 2b5已知向量 a = (1, 1),b = (2,x).若

19、 ab = 1,則 x =（）A1B 1C 1D 1226對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和, 定義, 若平面向量 a 、 b 滿足 ab0 , a 與 b 的夾角0, 且 a ob 和 b oa 都在集合nZ中 ,則 a ob（）n42A 1B 1C 3D 52uuuruuuruuur2271,23,4若向量 AB, BC,則AC（）A 4,6B 4,6C2,2D 2,2 ABC 中,uuurruuurrrr0 ,rruuur9AB 邊的高為 CD , 若 CBa ,CA b ,a b|a |1, | b |2,則AD（）A 1 r 1 rB 2 r2 rC3 r3 rD4 r4 r3abab5ab

20、ab333555二、填空題uuuruuur10在 ABC中 ,M 是 BC的中點(diǎn) ,AM=3,BC=10, 則 AB AC =_.12已知向量 a , b 夾角為 450, 且 |a |=1,| 2ab |=10,則|b |=_.14如圖 , 在平行四邊形 ABCD中 ,AP BD,垂足為 P, APuuuv uuuv3且 AP AC=.ADgPB5Crr15已知向量a(1,0), b(1,1), 則rr_;( ) 與 2ab 同向的單位向量的坐標(biāo)表示為rrr( ) 向量 b3a 與向量 a 夾角的余弦值為 _.uuuruuur16已知正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為 1, 點(diǎn) E 是 AB 邊上的動(dòng)點(diǎn) , 則 DECB 的值為 _.rrrrrrr17設(shè)向量 a(1,2m),b(m 1,1),c (2, m) , 若 (ac) b , 則 a _.鞏固練習(xí)例 1 設(shè) A、B、C、 D、O 是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur ABBCCD ， DBACBD OAOCOBCOrrr r rr rrrr例 2 設(shè)非零向量 a