機械優(yōu)化設(shè)計ppt課件第三章 一維優(yōu)化方法

1、機械優(yōu)化設(shè)計機械優(yōu)化設(shè)計 太原科技大學(xué) 張學(xué)良 第三章 一維優(yōu)化方法 3.1 進退法確定初始搜索區(qū)間進退法確定初始搜索區(qū)間 欲求一元函數(shù)欲求一元函數(shù)f (x) 的極小點，首先必須確定極小點所在的區(qū)間，然后再不的極小點，首先必須確定極小點所在的區(qū)間，然后再不 斷縮小此區(qū)間，從而求得其極小點的數(shù)值近似解。所以，一維搜索包括兩個內(nèi)斷縮小此區(qū)間，從而求得其極小點的數(shù)值近似解。所以，一維搜索包括兩個內(nèi) 容：其一是確定包含有極小點的搜索區(qū)間，其二是縮短區(qū)間獲得極小點。容：其一是確定包含有極小點的搜索區(qū)間，其二是縮短區(qū)間獲得極小點。 一維搜索時，假設(shè)一元函數(shù)一維搜索時，假設(shè)一元函數(shù) f (x) 具有凸性（單

2、谷性），即在所考慮區(qū)間具有凸性（單谷性），即在所考慮區(qū)間 具有唯一的極小點具有唯一的極小點 x*。 進退法的基本思想：按照一定規(guī)則試算若干個點，比較其函數(shù)值的大進退法的基本思想：按照一定規(guī)則試算若干個點，比較其函數(shù)值的大 小，直到找到按小，直到找到按“大大小小大大”變化的單谷區(qū)間為止。變化的單谷區(qū)間為止。 x f (x) abx* 大大 小小 大大 f (x) xx1x2 h02h0 x3 1. 選擇一個適當(dāng)?shù)某跏疾介L選擇一個適當(dāng)?shù)某跏疾介L h=h0 。 2.從任意點從任意點 x1 出發(fā)，以出發(fā)，以 x1 和和 x2 = x1 + h 為兩個試算點，為兩個試算點， 計算兩點處的函數(shù)值。計算兩點

3、處的函數(shù)值。 f1 = f (x1 ) f2 = f (x2 ) 3. 比較比較f1 和和 f2 的大小的大小 若若 f1 f2 ， h 2h ，繼續(xù)做前進計算，繼續(xù)做前進計算 x3 = x2 + h = x2 + 2 h0 ，并計算，并計算f3 = f (x3 ) f (x) xx1x2 h02h0 x3 若若 f1 f2 ，則滿足，則滿足f1 f2 f3 ，對于，對于前進計算前進計算，函數(shù)極小點必在區(qū)間，函數(shù)極小點必在區(qū)間x1 , x3 內(nèi)，令內(nèi)，令 a = x1 , b = x3，初始搜索區(qū)間，初始搜索區(qū)間a, b確定。確定。 對于后退計算對于后退計算，函數(shù)極小點必在區(qū)間，函數(shù)極小點必在

4、區(qū)間x3 , x1內(nèi)，令內(nèi)，令 a = x3 , b = x1，初始搜，初始搜 索區(qū)間索區(qū)間a, b確定。確定。 若若 f3 f2 ，對于，對于前進計算前進計算，函數(shù)極小點還在，函數(shù)極小點還在 x3 右右側(cè)，放棄側(cè)，放棄x1 , 作置換：作置換： x1 x2 ， x2 x3 ，f1 f2 ， f2 f3 h 2 h ， 再 取 新 點， 再 取 新 點 x 3 = x 2 + h ， 并 求， 并 求 f3 = f (x3 ) ，返回，返回 4。 對于后退計算對于后退計算，函數(shù)極小點還在，函數(shù)極小點還在 x3 左左側(cè)，放棄側(cè)，放棄x1 , 作置換：作置換： x1 x2 ， x2 x3 ，f1

5、f2 ， f2 f3 h 2 h ， 再 取 新 點， 再 取 新 點 x 3 = x 2 + h ， 并 求， 并 求 f3 = f (x3 ) ，返回，返回 4。 3.2 黃金分割法黃金分割法 黃金分割法的基本原理黃金分割法的基本原理 在目標(biāo)函數(shù)的初始搜索區(qū)間在目標(biāo)函數(shù)的初始搜索區(qū)間a, b內(nèi)任取兩點內(nèi)任取兩點x1 、 x2 ，且，且 x1 x2 ，計算，計算 f1 = f (x1 ) ， f2 = f (x2 )。 比較比較f1 和和 f2 的大?。旱拇笮。?當(dāng)當(dāng) f1 f2 時，時， 去掉去掉a ， x1 )，保留，保留x1 ，b 區(qū)間縮短為區(qū)間縮短為x1 ，b 。作置換作置換 a x

6、1 ，新區(qū)間形成。，新區(qū)間形成。 該方法的缺陷是：每次需要計算兩個新點。該方法的缺陷是：每次需要計算兩個新點。 要提高計算效率，就得減少每次計算的點數(shù)，因此只能每次增加一個計算點，要提高計算效率，就得減少每次計算的點數(shù)，因此只能每次增加一個計算點， 這就要求新區(qū)間與原區(qū)間滿足一定的比例關(guān)系，所選的兩個計算點在區(qū)間這就要求新區(qū)間與原區(qū)間滿足一定的比例關(guān)系，所選的兩個計算點在區(qū)間 a, b 內(nèi)的位置應(yīng)是對稱的。內(nèi)的位置應(yīng)是對稱的。 a b 1 設(shè)區(qū)間設(shè)區(qū)間 a, b的長度為的長度為1，即單位長度區(qū)間，在其上初取兩對稱點，即單位長度區(qū)間，在其上初取兩對稱點 x1 、 x2 ， 且滿足且滿足 a x2

7、 = X， a x1 = 1 - X 計算計算 f1 = f (x1 ) ， f2 = f (x2 )，并比較，并比較 f1 和和 f2 的大小。的大小。 當(dāng)當(dāng) f1 f2 ，可以求得同樣的值。，可以求得同樣的值。 可見，新區(qū)間是原區(qū)間的可見，新區(qū)間是原區(qū)間的0.618。所以稱為。所以稱為0.618法或黃金分割法。法或黃金分割法。 黃金分割法的計算步驟及算法框圖黃金分割法的計算步驟及算法框圖 （略）（略） 舉例：舉例： 用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù)用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù) f (x) = x2 - 5 x + 2 的最優(yōu)解。的最優(yōu)解。 3.3 二次插值法（拋物線法）二次插值法（拋物線法） 基本思想：在

8、目標(biāo)函數(shù)極小點所在區(qū)間內(nèi)，利用三個點的函數(shù)值構(gòu)造一個二基本思想：在目標(biāo)函數(shù)極小點所在區(qū)間內(nèi)，利用三個點的函數(shù)值構(gòu)造一個二 次插值多項式次插值多項式 (x) = ax2 + b x + c 是來近似表達原目標(biāo)函數(shù)是來近似表達原目標(biāo)函數(shù)f (x)，并用，并用 (x)的極的極 小點小點x *近似代替近似代替f (x) 的最優(yōu)點的最優(yōu)點x* 。當(dāng)這種近似代替不滿足精度。當(dāng)這種近似代替不滿足精度 f (x) f (x) x a b x1 x2 x3 x* (x) x * 要求時，按照一定規(guī)律縮短區(qū)間，并在新區(qū)間內(nèi)重新構(gòu)造三點二次插值多項式，要求時，按照一定規(guī)律縮短區(qū)間，并在新區(qū)間內(nèi)重新構(gòu)造三點二次插值多

9、項式， 再求其極小點。如此反復(fù)，直到滿足精度要求為止。再求其極小點。如此反復(fù)，直到滿足精度要求為止。 在目標(biāo)函數(shù)極小點所在區(qū)間內(nèi)取三點在目標(biāo)函數(shù)極小點所在區(qū)間內(nèi)取三點 x1 =a， x2 =(a+b)/2， x3 = b ，計算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，計算相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值f 1 、 f 2 、 f 3 ，則應(yīng)有，則應(yīng)有 (x1 ) = a x1 2 + b x1 + c = f 1 (x2 ) = a x2 2 + b x2 + c = f 2 (x3 ) = a x3 2 + b x3 + c = f 3 解該線性方程組，可以得到解該線性方程組，可以得到a 、b 、 c，并由此可以求得，并由此可以

10、求得 x * = （ x1 + x3 - d1 / d2 ）/ 2 d1 = ( f3 f1 ) / ( x3 - x1 ） d2 = ( f2 f1 ) / ( x2 - x1 ）- d1 /(x2 x3 ) f = f (x * ) 檢驗收斂準(zhǔn)則檢驗收斂準(zhǔn)則 | x * - x2 | 1 ？ 若滿足若滿足，以，以x *代替代替f (x) 的最優(yōu)點的最優(yōu)點x*，并輸出，并輸出x* = x * ， f * = f (x* )。 若不滿足若不滿足，縮短區(qū)間后重復(fù)上述迭代計算過程，直至滿足要求為止。，縮短區(qū)間后重復(fù)上述迭代計算過程，直至滿足要求為止。 縮短區(qū)間分兩種情況，即縮短區(qū)間分兩種情況，即

11、1) x * x2 2) x * f 2 ; ii ) f f 2 ; ii ) f 3），通稱等值面。在二維平面中），通稱等值面。在二維平面中 為等值線。若給定一系列目標(biāo)函數(shù)的值，將在為等值線。若給定一系列目標(biāo)函數(shù)的值，將在 設(shè)計空間得到一組等值面（線）族。設(shè)計空間得到一組等值面（線）族。 目標(biāo)函數(shù)的等值線（面）目標(biāo)函數(shù)的等值線（面） f(X)=ax12+2bx1x2+cx22 a0 c0 ac-b20 一、最速下降方向一、最速下降方向負(fù)梯度方向負(fù)梯度方向 0 1 2 101202 1012010201 0 1 0 101202101202 0 2 0 (,) lim (,)(,) lim

12、(,)(,) lim s X s x s x f xx xxdf dss f xx xf xxx xs f xx xxf xx xx xs 2.2 最速下降方向和共軛方向最速下降方向和共軛方向 函數(shù)的方向?qū)?shù)函數(shù)的方向?qū)?shù) X0 X0+X x1 x2 S 0000 1212 cos cossin sin XXXX ffff xxxx 0 0000 1212 0 cos cossin sin () X XXXX T dfffff dsxxxx f XS n元函數(shù)的方向?qū)?shù)元函數(shù)的方向?qū)?shù): () ()() ()() 1 1 1 () cos cos cos ()1 k kk kk Xn XX n

13、 XX n Tk dfff dsxx ff xx fXSS () ( )( )( ) ( )( ) ( ) ()()cos(),) () cos(),) cos(),)1 k TkTkTk X TkTk Tk df f XSf XSf XS ds f Xf XS f XS () () ( ) min ( ) max () () k k Tk X Tk X df f X ds df f X ds 與負(fù)梯度方向成銳角的方向為目標(biāo)函數(shù)與負(fù)梯度方向成銳角的方向為目標(biāo)函數(shù) 值的下降方向，成鈍角的方向為目標(biāo)函值的下降方向，成鈍角的方向為目標(biāo)函 數(shù)值的增加方向。數(shù)值的增加方向。 目標(biāo)函數(shù)的梯度方向是目標(biāo)函數(shù)

14、等值線（面）在同一點的法向矢量方向。目標(biāo)函數(shù)的梯度方向是目標(biāo)函數(shù)等值線（面）在同一點的法向矢量方向。 f(X(k) - f(X(k) X(k) t 所以，目標(biāo)函數(shù)在某一點的最速下降方向為負(fù)梯度方向所以，目標(biāo)函數(shù)在某一點的最速下降方向為負(fù)梯度方向 兩個向量的共軛兩個向量的共軛 設(shè)兩個非零向量設(shè)兩個非零向量S(0)、S(1)及對稱正定矩陣及對稱正定矩陣 H，若滿足，若滿足 二、共軛方向二、共軛方向 (0)(1) 0 T SHS 則稱則稱S(0)、S(1)關(guān)于關(guān)于H共軛，或稱共軛，或稱S(0)與與S(1)為共軛方向。為共軛方向。 若若H為單位陣，即為單位陣，即H=I，則，則S(0)與與S(1)正交。

15、正交。 一組向量的共軛一組向量的共軛 設(shè)有一組非零向量設(shè)有一組非零向量S(0)、S(1) S(n-1)及對稱正及對稱正 定矩陣定矩陣H，若滿足，若滿足 ( )( ) 0( ,0,1,2,1;) iTj SHSi jnij 則稱它們關(guān)于則稱它們關(guān)于H共軛，或稱它們?yōu)橐唤M共軛方向。共軛，或稱它們?yōu)橐唤M共軛方向。 若若H為單位陣，則稱它們相互正交。為單位陣，則稱它們相互正交。 凸集凸集 一個點集（或區(qū)域），如果連接其中一個點集（或區(qū)域），如果連接其中 任意兩點的線段都全部包含在該點集內(nèi)，任意兩點的線段都全部包含在該點集內(nèi)， 則稱該點集為凸集。否則，稱為非凸集。則稱該點集為凸集。否則，稱為非凸集。 2

16、.3 凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃凸集、凸函數(shù)與凸規(guī)劃 凸函數(shù)凸函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (X)定義域為凸集定義域為凸集G，X(1)、X(2)為凸集為凸集G上的任意兩點，若函數(shù)上的任意兩點，若函數(shù)f (X)在線段在線段X(1)X(2)上的函數(shù)值總小于或等于用上的函數(shù)值總小于或等于用f (X(1)及及f (X(2)作線性內(nèi)插所得的作線性內(nèi)插所得的 值，則稱函數(shù)值，則稱函數(shù)f (X)為凸集為凸集G上的凸函數(shù)，即滿足上的凸函數(shù)，即滿足 (1)(2)(1)(2) (1)(2) (1)()(1) () ,01 fXXf Xf X XG XG 的函數(shù)的函數(shù)f (X)為凸函數(shù)。若同時去掉式中的等號，則稱函數(shù)為凸函數(shù)。若

17、同時去掉式中的等號，則稱函數(shù)f (X)為嚴(yán)格凸函數(shù)。為嚴(yán)格凸函數(shù)。 凸規(guī)劃凸規(guī)劃 對于約束優(yōu)化問題對于約束優(yōu)化問題 min() . .()0(1,2, ) n j f XXR s tgXjl 若函數(shù)若函數(shù)f (X)、gj(X)均為凸函數(shù)，則稱此約束優(yōu)化問題為凸規(guī)劃。均為凸函數(shù)，則稱此約束優(yōu)化問題為凸規(guī)劃。 凸規(guī)劃的性質(zhì)凸規(guī)劃的性質(zhì) 1）凸規(guī)劃的可行域為凸集）凸規(guī)劃的可行域為凸集 2）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解 2.4 優(yōu)化問題的幾何解釋優(yōu)化問題的幾何解釋 X* X* X* X* X* X* h1=0 h2=0 2.5 優(yōu)化方法的簡單分類優(yōu)化方法的

18、簡單分類 按有無約束分類按有無約束分類 無約束優(yōu)化方法、約束優(yōu)化方法無約束優(yōu)化方法、約束優(yōu)化方法 按目標(biāo)函數(shù)的維數(shù)分類按目標(biāo)函數(shù)的維數(shù)分類 一維優(yōu)化方法、多維優(yōu)化方法一維優(yōu)化方法、多維優(yōu)化方法 按目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目分類按目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目分類 單目標(biāo)優(yōu)化方法、多目標(biāo)優(yōu)化方法單目標(biāo)優(yōu)化方法、多目標(biāo)優(yōu)化方法 按求優(yōu)途徑的不同分類按求優(yōu)途徑的不同分類 直接法、解析法（間接法）、實驗法、圖解法直接法、解析法（間接法）、實驗法、圖解法 2.6 迭代方法及其收斂準(zhǔn)則迭代方法及其收斂準(zhǔn)則 無論是直接法還是解析法，求優(yōu)的過程都是采用數(shù)值迭代法，且無論是直接法還是解析法，求優(yōu)的過程都是采用數(shù)值迭代法，且 迭代公式的形式

19、一致。迭代公式的形式一致。 迭代方法迭代方法 X (k+1)=X (k) + (k) S(k) (k =0 , 1 , 2 , ) 兩個特性兩個特性 1）下降性）下降性: f (X (k+1) f (X (1) f (X (k) f (X (k+1) f (X *) 確定步長確定步長 (k) 的方法的方法 1）定步長法）定步長法 取取 (k) = p (p為常數(shù)為常數(shù)) ，檢驗下列不等式，檢驗下列不等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？ 若成立，則繼續(xù)下一步迭代計算；若成立，則繼續(xù)下一步迭代計算； 否則，取否則，取 (k) = p （0 1），再檢驗不），再檢驗

20、不 等式等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？ 直至滿足為止。直至滿足為止。 2）最優(yōu)步長法）最優(yōu)步長法 用一維尋優(yōu)方法確定用一維尋優(yōu)方法確定 (k)： 若成立，則繼續(xù)下一步迭代計算；若成立，則繼續(xù)下一步迭代計算； 否則，取否則，取 (k) = p （0 1），再檢驗不），再檢驗不 等式等式 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) ？ 直至滿足為止。直至滿足為止。 搜索方向搜索方向S(k) 的討論的討論 1）三種常用搜索方向）三種常用搜索方向 負(fù)梯度方向：負(fù)梯度方向：S(k) = - f (X (k) 共軛方向：將共軛方向：將n維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)

21、化為每一個循環(huán)維優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為每一個循環(huán)n次一維搜索，依次取次一維搜索，依次取n個相互個相互 共軛的方向為搜索方向。共軛的方向為搜索方向。 隨機搜索方向：隨機搜索方向： S(k) 隨機產(chǎn)生，只要求沿隨機產(chǎn)生，只要求沿S(k) 方向所得方向所得X (k+1)點處函數(shù)值下點處函數(shù)值下 降。降。 2）S(k) 與與 - f (X (k)和和 f (X (k+1)的關(guān)系的關(guān)系 目標(biāo)函數(shù)下降：目標(biāo)函數(shù)下降： f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) 0 f (X (k) + (k) S(k) ) f (X (k) (k) T f (X (k) S(k) 故故 (k) T f (X (

22、k) S(k) 0 T f (X (k) S(k) 0 用一維優(yōu)化方法確定用一維優(yōu)化方法確定 (k) 時，必須滿足時，必須滿足： f (X (k) + S(k) ) =0 所以所以 T f (X (k) + S(k) ) S(k) =0 即即 T f (X (k+1) ) S(k) =0 第第k次迭代的搜索方向次迭代的搜索方向S(k) 與目標(biāo)函數(shù)在本次迭代所得點與目標(biāo)函數(shù)在本次迭代所得點X (k+1)處的梯度方向處的梯度方向 f (X (k+1) )正交。正交。 X (k) X (k+1) S(k) - f (X (k+1) ) 3）共軛搜索方向的一個重要性質(zhì)）共軛搜索方向的一個重要性質(zhì) n維

23、正定二次函數(shù)的維正定二次函數(shù)的n次收斂性次收斂性 即即 對于對于n維正定二次函數(shù)，若相繼以一組相互共軛的向量維正定二次函數(shù)，若相繼以一組相互共軛的向量S(0) 、 S(1) 、 S(n-1) 為搜索方向，則不論從任何初始點出發(fā)，經(jīng)過為搜索方向，則不論從任何初始點出發(fā)，經(jīng)過n次一維搜索，就可以得到該正次一維搜索，就可以得到該正 定二次函數(shù)的極小點。定二次函數(shù)的極小點。 收斂性與收斂準(zhǔn)則收斂性與收斂準(zhǔn)則 迭代算法應(yīng)具有收斂性，即產(chǎn)生的極小點序列或者其中某一點就是極小點，迭代算法應(yīng)具有收斂性，即產(chǎn)生的極小點序列或者其中某一點就是極小點， 或者序列有一個極限，它是目標(biāo)函數(shù)的極小點?；蛘咝蛄杏幸粋€極限，

24、它是目標(biāo)函數(shù)的極小點。 點距準(zhǔn)則：點距準(zhǔn)則： | X (k+1) X (k) | 1 （ 1 0） 函數(shù)下降量準(zhǔn)則：函數(shù)下降量準(zhǔn)則： | f (X (k+1) ) f (X (k) ) | 2 （ 2 0） 梯度準(zhǔn)則：梯度準(zhǔn)則： | f (X (k) | 3 （ 3 0） 管支柱質(zhì)量管支柱質(zhì)量 ： 0.022(1)mh DD 正常工作條件正常工作條件: F D 強度條件強度條件 穩(wěn)定條件穩(wěn)定條件 2 2 2 8 c FE D Dh 51.60(2)D 3 5370000(3)D 邊界條件邊界條件089(4)D 1(5)D 8 0 10 0 1 3 5 (2) (3) m=1.78 8 m=2.

25、72 2 m 6 0 4 0 2 0 D*=81.28m m *=1mm D(m m) (mm) 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 用一組設(shè)計變量描述優(yōu)化設(shè)計對象的用一組設(shè)計變量描述優(yōu)化設(shè)計對象的 設(shè)計內(nèi)容設(shè)計內(nèi)容,即描述優(yōu)化意圖即描述優(yōu)化意圖(目標(biāo)、指標(biāo)目標(biāo)、指標(biāo)) 和有關(guān)限制條件的數(shù)學(xué)表達式，稱為優(yōu)和有關(guān)限制條件的數(shù)學(xué)表達式，稱為優(yōu) 化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型?；O(shè)計的數(shù)學(xué)模型。 數(shù)學(xué)模型的三要素數(shù)學(xué)模型的三要素 設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)設(shè)計變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù) 1.2 優(yōu)化設(shè)計的基本概念優(yōu)化設(shè)計的基本概念 設(shè)計變量設(shè)計變量 設(shè)計變量設(shè)計變量 設(shè)計常量設(shè)計常量 基本設(shè)計參數(shù)基本設(shè)計參數(shù) 優(yōu)化問題的維數(shù)：設(shè)計變量的個數(shù)優(yōu)化問題的維數(shù)：設(shè)計變量的個數(shù) 一維優(yōu)化問題，一維優(yōu)化問題，n維優(yōu)化問題維優(yōu)化問題 設(shè)計變量向量：設(shè)計變量向量： 12 T n Xxxx n XR 或或 連續(xù)設(shè)計變量、離散設(shè)計變量連續(xù)設(shè)計變量、離散設(shè)計變量 1. 設(shè)計空間設(shè)計空間 它是所有設(shè)計方案的集合。它是所有設(shè)計方案的集合。 2. 可行設(shè)計與不可行設(shè)計可行