橢圓、雙曲線、拋物線典型例題整理

1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 1：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0 ， 1) 、F2(0,1) ，P 是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF2 2F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1( 1,0) ， F2(1,0) ，且 2a 10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例： 1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A 2，0 ，其長軸長是短軸長的2 倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。x2y2例求過點(diǎn) ( 3,2) 且與橢圓 1 有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程94四、與直線相結(jié)合的問題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)

2、在x 軸上的橢圓與直線xy10 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， M 為 AB 中點(diǎn)， OM 的斜率為 0.25 ，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程五、求橢圓的離心率問題。例 1 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率x 2y21 的離心率 e1例 2 已知橢圓9，求 k 的值k 82六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題例： 1. 若 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A( 4,0) ， B(4,0) ， ABC的周長為 18，求頂點(diǎn) C的軌跡方程。2已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2y2a5) ， 它的兩焦點(diǎn)分別是121 2122 1(F，F(xiàn)，且 FF8， 弦 AB過點(diǎn) F，求 ABFa25的周長x2y23

3、設(shè) F1、F2 是橢圓 9 4 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P是橢圓上的點(diǎn)，且 PF1 PF2 21，求 PF1F2 的面積七、直線與橢圓的位置問題.例 已知橢圓x2y21，求過點(diǎn) P11且被 P 平分的弦所在的直線方程22，2解法一： 設(shè)所求直線的斜率為k ，則直線方程為1k x1y代入橢圓方程，并整理得221 2k2 x22k22k x1 k 2k322由韋達(dá)定理得 x1 x22k 22k12k2 P 是弦中點(diǎn)， x1x21故得 k所以所求直線方程為2x4y30 11的直線與橢圓交于解法二： 設(shè)過 P，22x12y121，2x22y221，20 12A x1， y1 、 B x2， y2 ，則由題意

4、得x1x21，y1y21.得 x12x22y12y220 2y1y21 ，即直線的斜率為1將、代入得x1x222所求直線方程為 2x 4y 3 0 八、橢圓中的最值問題例 橢圓 x2y21 的右焦點(diǎn)為 F ，過點(diǎn) A 1， 3，點(diǎn) M 在橢圓上，當(dāng) AM2 MF 為最小值1612時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)雙曲線典型例題二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 1）過點(diǎn)15，Q16 ， 且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上P 3，543.（ 2） c6 ，經(jīng)過點(diǎn)（5， 2），焦點(diǎn)在 x 軸上（ 3）與雙曲線 x2y 21 有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)3 2，2164三、求與雙曲線有關(guān)的角度問

5、題。例 3 已 知 雙 曲 線 x2y21的右焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，點(diǎn) P在雙曲線上的左支上且916PF1 PF2 32，求 F1PF2 的大?。?2）題目的“點(diǎn) P 在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn) P 在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請讀者試探索四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問題。例 4已知 F1 、 F2 是雙曲線 x2y21 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線上且滿足F1 PF2 90 ，求4F1PF2 的面積分析： 利用雙曲線的定義及F1PF2 中的勾股定理可求F1PF2 的面積五、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例 5已知兩點(diǎn) F15，0 、 F2

6、5，0 ，求與它們的距離差的絕對值是6 的點(diǎn)的軌跡例P 是雙曲線 x2y21上一點(diǎn)， F1 、 F2 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 PF17 ，求 PF的值643612六、求與圓有關(guān)的雙曲線方程。例 6求下列動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程：（ 1）與 C ：x2 2y 22 內(nèi)切，且過點(diǎn)A 2，0（ 2）與 C1： x2y1 21 和 C2： x2y1 24都外切（ 3）與 C1：x3 2y29 外切，且與 C2：x32y21內(nèi)切w.w.w.k.s.5.u.c.o.m拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） x24y （ 2） x ay 2 (a 0)二、求直線與

7、拋物線相結(jié)合的問題例 2 若直線 ykx 2與拋物線 y28x 交于 A、B 兩點(diǎn)，且 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程三、求直線中的參數(shù)問題例 3（ 1）設(shè)拋物線 y24x 被直線 y2x k 截得的弦長為 3 5 ，求 k 值（ 2）以（ 1）中的弦為底邊，以 x 軸上的點(diǎn) P 為頂點(diǎn)作三角形，當(dāng)三角形的面積為9 時(shí)，求 P點(diǎn)坐標(biāo)四、與拋物線有關(guān)的最值問題例4 定長為3 的線段 AB 的端點(diǎn) A 、 B 在拋物線 y2x 上移動(dòng)，求 AB 的中點(diǎn)到 y 軸的距離的最小值，并求出此時(shí)AB 中點(diǎn)的坐標(biāo).橢圓典型例題一、已知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 1：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0 ，

8、 1) 、F2(0,1) ，P 是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF2 2F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例： 1.橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A 2，0 ，其長軸長是短軸長的2 倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。x2y2例求過點(diǎn) ( 3,2) 且與橢圓 9 4 1 有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程四、與直線相結(jié)合的問題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上的橢圓與直線xy10 交于 A 、 B 兩點(diǎn)， M 為 AB 中點(diǎn)， OM 的斜率為 0.25 ，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程五、求橢圓的離心率問題。例 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)

9、將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率.六、由橢圓內(nèi)的三角形周長、面積有關(guān)的問題例： 1. 若 ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A( 4,0) ， B(4,0) ， ABC的周長為 18，求頂點(diǎn) C的軌跡方程。222已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2 y 1(a5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F F且 F F8，弦 AB過點(diǎn) F，求ABF1， 2，1 212a25的周長x2y23設(shè) F1、F2 是橢圓 9 4 1 的兩個(gè)焦點(diǎn)， P是橢圓上的點(diǎn)， 且 PF1 PF2 21，求 PF1F2 的面積七、直線與橢圓的位置問題例 已知橢圓x2y21，求過點(diǎn) P11且被 P 平分的弦所在的直線方程22，2八、橢圓中的最值問題例 橢圓 x

10、2y21 的右焦點(diǎn)為F ，過點(diǎn) A1，3，點(diǎn) M 在橢圓上，當(dāng) AM2 MF 為最小值1612時(shí)，求點(diǎn) M 的坐標(biāo)雙曲線典型例題一、根據(jù)方程的特點(diǎn)判斷圓錐曲線的類型。例 1討論x2y225 k91表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征k.二、根據(jù)已知條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 2 根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（ 1）過點(diǎn)15，Q16 ， 且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上P 3，543（ 2） c6 ，經(jīng)過點(diǎn)（5， 2），焦點(diǎn)在 x 軸上（ 3）與雙曲線 x2y 21 有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn) 32，2164三、求與雙曲線有關(guān)的角度問題。例 3 已 知 雙 曲 線 x2y21的右焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，點(diǎn) P在

11、雙曲線上的左支上且916PF1 PF232 ，求F1PF2 的大小題目的 “點(diǎn) P 在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為“點(diǎn)P 在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？四、求與雙曲線有關(guān)的三角形的面積問題。例 4已知F1、 F2是雙曲線 x2y21 的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P 在雙曲線上且滿足F1 PF2 90 ，求4F1PF2 的面積五、根據(jù)雙曲線的定義求其標(biāo)準(zhǔn)方程。例 5已知兩點(diǎn)F15，0 、 F2 5，0 ，求與它們的距離差的絕對值是6 的點(diǎn)的軌跡.例P 是雙曲線 x2y21上一點(diǎn)， F1 、 F2 是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且 PF117 ，求 PF2 的值6436六、用定義法求

12、與圓有關(guān)的雙曲線方程。例 6 求下列動(dòng)圓圓心M 的軌跡方程：（ 1）與 C ：x22y 22 內(nèi)切，且過點(diǎn)A 2，0（ 2）與 C ： x2y1 21 和C ： x2y1 24 都外切12（ 3）與 C1：x32y29 外切，且與 C2：x3 2y21內(nèi)切拋物線典型例題一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。例 1 指出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程（1） x24y （ 2） x ay 2 (a 0)分析：（ 1）先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程（2）先把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，再對a 進(jìn)行討論，確定是哪一種后，求p 及焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程二、求直線與拋物線相結(jié)合的問題例 2 若直線 ykx2 與拋物線y28x 交于 A、B 兩點(diǎn)，且 AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求此直線方程三、求直線中的參數(shù)問題例 3（ 1）設(shè)拋物線 y24x 被直線 y 2xk 截得的弦長為 3 5 ，求 k 值（ 2）以（ 1）中的弦為底邊