一元一次不等式的解法

1、一元一次不等式的解法（基礎(chǔ)）知識(shí)講解 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1理解并掌握一元一次不等式的概念及性質(zhì)； 2. 能夠熟練解一元一次不等式； 3. 掌握不等式解集的概念并會(huì)在數(shù)軸上表示解集 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、一元一次不等式的概念 只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， -x 50是一個(gè)一元一次不等式. 3 要點(diǎn)詮釋： （1）一元一次不等式滿足的條件：左右兩邊都是整式（單項(xiàng)式或多項(xiàng)式）； 只含有一個(gè)未知數(shù)； 未知數(shù)的最高次數(shù)為 1. （2）元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系： 相同點(diǎn)：二者都是只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1, “左邊”和“右邊”都是整式. 不

2、同點(diǎn)：一元一次不等式表示不等關(guān)系，由不等號(hào)“V” 、“w”、或“”連接，不等 號(hào)有方向；一元一次方程表示相等關(guān)系，由等號(hào)“=”連接，等號(hào)沒有方向. 要點(diǎn)二、一元一次不等式的解法 1. 解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式. 2. 一元一次不等式的解法： 與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，將不等式逐步化為：x a （或x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：（1）去分母；（2）去括號(hào)；（3）移項(xiàng)； 化為ax b （或ax b ）的形式（其中a 0） ； （5）兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不 等式的解集. 要點(diǎn)詮釋： （1 ）在解一元一次不等式時(shí)，每個(gè)步驟并不一定都要用

3、到，可根據(jù)具體問題靈活運(yùn)用. （2）解不等式應(yīng)注意： 去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)； 移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)； 去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)； 在不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變. 要點(diǎn)三、不等式的解及解集 1. 不等式的解： 能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解 2. 不等式的解集： 對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解組成這個(gè)不等式的解集. 要點(diǎn)詮釋： 不等式的解 是具體的未知數(shù)的值，不是一個(gè)范圍 不等式的解集 是一個(gè)集合，是一個(gè)范圍.其含義： 解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立； 能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集

4、中 3. 不等式的解集的表示方法 (1) 用最簡(jiǎn)的不等式表示：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個(gè)解，其解集是一個(gè)范 圍，這個(gè)范圍可用最簡(jiǎn)單的不等式來表示如：不等式 x-2 a或x a向右畫；對(duì)邊界點(diǎn) a而言，xv a或x 2(5)2x+y w 8 x (1)是等式；(4)不等式的左邊不是整式; F列式子中，是一元一次不等式的有哪些 (1) 3x+5= 0(2)2x+3 5(3)3 x 4 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷， 含有兩個(gè)未知數(shù). 【答案與解析】 解：(2)、(3)是一元一次不等式. 【總結(jié)升華】一元一次不等式的定義主要由三部分組成：不等式的左右兩邊分母不含未知 數(shù)；不等

5、式中只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是1，三個(gè)條件缺一不可. 類型二、解一元一次不等式 2.解不等式: 2(x1)3(x1)2，并把解集在數(shù)軸上表示出來. 【思路點(diǎn)撥】解不等式時(shí)去括號(hào)法則與解一元一次方程的去括號(hào)法則是一樣的. 【答案與解析】 解：去括號(hào)，得：2x 2 3x 3 2 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：x 3 系數(shù)化1得：x 3 這個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖： 1 I 1Il1 -4 I J J 0 1 2 A 【總結(jié)升華】在不等式的兩邊同乘以(或除以)負(fù)數(shù)時(shí)，必須改變不等號(hào)的方向. 舉一反三: -1 Q ! 2-10 1210 12-j 0 1 2 ABCD C. 【變式】不等式 2（

6、x+1） v 3x+1的解集在數(shù)軸上表示出來應(yīng)為（）. 【答案】 （2016?連云港）解不等式 3. 并將解集在數(shù)軸上表示出來. EIIIII -2-10123 【思路點(diǎn)撥】先去分母，再去括號(hào)，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，把 x的系數(shù)化為1即可. 【答案與解析】 解：去分母，得：1+xv 3x - 3, 移項(xiàng)，得：x - 3x v- 3 - 1, 合并同類項(xiàng)，得：-2xv- 4, 系數(shù)化為1,得：x 2, 將解集表示在數(shù)軸上如圖： J01- I 345 【總結(jié)升華】本題考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步驟是解答此 題的關(guān)鍵去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng). 舉一反三： 【變式】若y1

7、x 13, y2 2x 51,問x取何值時(shí)，y y 5 4 【答案】 如x 1門 2x 5 解： y1 3, y2 1, 54 右 y1y2, 則有3 世壬 1 54 當(dāng) x 101 6 101時(shí) 時(shí)，y1 y2 6 仇關(guān)于x的不等式2x-a -1的解集為x I，則a的取值范圍是 【答案】a 1. 【變式2】求不等式1+旦丄 2-上一的非正整數(shù)解. 2 3 【答案】 解: 1+ 2-匚 23 6+3 (x+1) 12- 2 ( x+7) 6+3X+312 - 2x - 14 3x+2x 12 - 14 - 6 - 3 5x- 11 x- 2 5 所以非正整數(shù)解為 0,- 1 , - 2. 類型

8、三、不等式的解及解集 5. 對(duì)于不等式4x+7(x-2) 8不是它的解的是(). A. 5 B . 4 C . 3 D . 2 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式解的定義作答. 【答案】D 【解析】 4x+7(x-2) 4x+7(x-2) 4x+7(x-2) 4x+7(x-2) =41 8, =30 8, =19 8, =8. 解：當(dāng)x = 5時(shí)， 當(dāng)x = 4時(shí)， 當(dāng)x = 3時(shí)， 當(dāng)x = 2時(shí)， 故知x= 2不是原不等式的解. 【總結(jié)升華】不等式的解的定義與方程的解的定義是類似的，其判定方法是相同的. .不等式x 1在數(shù)軸上表示正確的是(). -10 12 B 10 12 C !b*i -10 12

9、 D 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法畫數(shù)軸即可. 【答案】C 【解析】 解：不等式x 1 在數(shù)軸上表示為： 故選C. 【總結(jié)升華】用數(shù)軸表示解集時(shí)，應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是“邊界點(diǎn)”，如果邊界點(diǎn)包含于解集, 則用實(shí)心圓點(diǎn)；二是“方向”，相對(duì)于邊界而言，大于向右，小于向左，同時(shí)還應(yīng)善于逆向 思維，通過讀數(shù)軸寫出對(duì)應(yīng)不等式的解集. 舉一反三： 【變式】如圖，在數(shù)軸上表示的解集對(duì)應(yīng)的是(). i 1 J 丄 -2 0 4 A. 2 V XV 4 B. 2 V x 4 C. 2 x V 4 D. 2 x 8 B.2x 1 C.2x b，則下列不等式正確的是 ( ). 1 D. 3x 0 x

10、 ). A . -3a -3b B C . 3-a 3-b D ab 33 a-3 b-3 3. 下列說法中，正確的是(). A . x = 3是不等式2x 1的解 B x = 3是不等式2x 1的唯一解 C. x = 3不是不等式2x 1的解 D x = 3是不等式2x 1的解集 4. 在下列解不等式/V二丄的過程中，錯(cuò)誤的一步是() 3 5 A.去分母得 5 (2+x) 3 (2x - 1) B .去括號(hào)得 10+5x 6x - 3 C.移項(xiàng)得5x - 6x - 3 - 10 D.系數(shù)化為1得x 3 5. 不等式4 3x 2x 6的非負(fù)整數(shù)解有() A .1個(gè) B . 2個(gè)C . 3個(gè) D

11、 . 4個(gè) 6. ( 2016?六盤水)不等式 3x+2 V 2x+3的解集在數(shù)軸上表示正確的是( -1 0 B .-. C .- 二、填空題 7. 用“”或“V”填空，并說明是根據(jù)不等式的哪條基本性質(zhì)： (1) 如果x+2 5,那么x3 ;根據(jù)是. 3 4 (2) 如果一a1，那么a;根據(jù)是. 4 3 2 9 (3) 如果一x3，那么 x ；根據(jù)是 3 2 (4) 如果x-3 V -1，那么x2;根據(jù)是 . 8. 若a 0,則關(guān)于x的不等式ax b的解集是; 若a V 0,則關(guān)于x的不等式以ax b的解集是 9. 不等式x- 4W 的解集是 |3 10. 不等式4x 6 7x 12的非負(fù)整數(shù)

12、解為 . 11. ( 2017?新城區(qū)校級(jí)模擬)不等式-丄x+2 0的最大正整數(shù)解是 3 12. 若m 5,試用m表示出不等式(5 m)x 1 m的解集. 三、解答題 13. 解不等式，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來. (1) 5x- 12 V 2 (4x - 3);( 2)1. 14. a取什么值時(shí)，代數(shù)式 3 2a的值: (1)大于1? 等于1?(3)小于1? 15. y取什么值時(shí)，代數(shù)式 2y 3的值: (1) 大于5y 3的值？ (2) 不大于5y 3的值？ 16. 求不等式64 11x 4的正整數(shù)解. 【答案與解析】 -、選擇題 1. 答案】C; 解析】考查一兀一次不等式的概念; 2.

13、 答案】D; 解析】考查一兀一次不等式的性質(zhì); 3. 答案】A ; 4. 答案】D; 【解析】解：去分母得，5 (2+x) 3 (2x - 1) 去括號(hào)得，10+5x 6x- 3, 移項(xiàng)得，5x- 6x - 3- 10, 合并同類項(xiàng)得，-x- 13, 系數(shù)化為1得，xv 13,故D錯(cuò)誤. 故選D. 5. 【答案】C; 【解析】先求得解集為 x 2，所以非負(fù)整數(shù)解為：0,1,2 ; 6. 答案】D; 【解析】解：3x+2 v 2x+3移項(xiàng)及合并同類項(xiàng)，得 x V 1，故選D. 二、填空題 7. 【答案】(1) ，不等式基本性質(zhì) 1; (2) ，不等式基本性質(zhì) 3; (3) V,不等式基本性 質(zhì)2

14、; (4) V,不等式基本性質(zhì) 1; 8【答案】x b , x b ; a a 【解析】不等式兩邊同除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)不變；不等式兩邊同除以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào) 改變方向 9. 【答案】x- 2; d. V 1 fl 【解析】解：x - 4W- 3 3 (x - 4) 4x- 10 3x - 12W 4x- 10 3x - 4x- 10+12 -x- 2. 故答案為：x- 2. 10. 【答案】0, 1 , 2; 【解析】解不等式得 x 2 11. 【答案】5. 【解析】解：-x+2 0,移項(xiàng)，得：-x- 2,系數(shù)化為1，得：x V 6, 3|3 故不等式-丄x+2 0的最大正整數(shù)解是 5. 3

15、 12【答案】x 【解析】 m 5，二5 m 0,所以(5 m)x 1- m可得: 三、解答題 13. 【解析】 解：(1)去括號(hào)得：5x - 12v 8x - 6, 5x - 8x v- 6+12, -3x v 6, x- 2, 在數(shù)軸上表示不等式的解集為： 11一I L IJ -4-3-2-10 1 2 3 4 5 (2)去分母得：3 (3x - 2) 5 ( 2x+1)- 15, 9x - 6 10 x+5- 15, 9x - 10 x- 15+5+6, -x- 4, x 1,得a v 1; (2) 由 3-2a = 1,得 a =1 ; (3) 由 3-2a v 1,得 a 1. 15

16、. 【解析】 解：(1)由 2y-3 5y-3，得 y v 0； (2)由 2y-3 w 5y-3，得 y 0. 16.【解析】 解：先解不等式的解集為 60 Xv , 11 所以正整數(shù)解為1, 2, 3, 4, 5. 拓展: 【典型例題】 類型一、 元一次不等式的概念 F列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？為什么? 1 2 (1) x 0(2)1(3) X 2(4) X y 3(5) X 1 X 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)一元一次不等式的定義判斷. 【答案與解析】 解：(1)是一元一次不等式.(2) ( 3) (4)(5)不是一元一次不等式，因?yàn)椋?(2)中分母中含 有字母，(3 )未

17、知數(shù)的最高次數(shù)不是 1次，(4 )不等式左邊含有兩個(gè)未知數(shù)， (5 )不是不等 式，是一元一次方程. 【總結(jié)升華】一元一次不等式的定義主要由三部分組成：不等式的左右兩邊分母不含未知 數(shù)；不等式中只含一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是1，三個(gè)條件缺一不可. 類型二、解一元一次不等式 2.求不等式心一】0加的非負(fù)整數(shù)解，并把它的解在數(shù)軸上表 0.520.03 示出來. 【思路點(diǎn)撥】首先應(yīng)對(duì)不等式的左右代數(shù)式化簡(jiǎn)，使得分子、分母上的小數(shù)化成整數(shù)，然后 根據(jù)不等式的性質(zhì) 2去掉分母等進(jìn)行求解不等式，再在解集中求出符合條件的非負(fù)整數(shù). 【答案與解析】 山 k十仆亠亠10 5 - x 3-2m亠八廠 解：原不

18、等式可化為：_-；w去分母， O*0 得 6 (4X - 10) 15 (5 - x)w 10 ( 3- 2x) 去括號(hào)，得 24X - 60 - 75+15XW 30 - 20 x 移項(xiàng)，得 24x+15x+20 xW 30+60+75 合并同類項(xiàng)，得 59xw 165 把系數(shù)化為1,得xw , 59 解集XW二士的非負(fù)整數(shù)解是：0, 1, 2, 59 數(shù)軸表示是： 59 解不等式應(yīng)根據(jù) 【總結(jié)升華】 本題主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本題的關(guān)鍵, 不等式的基本性質(zhì). 舉一反三： 【變式門解不等式：|靛 1) 2 【答案】 解：去括號(hào)，得x 1 4 移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得: 系數(shù)化1，得

19、x 8 故原不等式的解集是 x 8. 3才一 I變式2】代數(shù)式 的值不大于 的值, 求x的范圍. 【答案】 解：根據(jù)題意得: “ 3x-l 1-2 1 2 3 解不等式 1-2x), 6 - 3 (3x- 1)w 2 ( 6 - 9x+3 2 - 4x, 去分母得： 去括號(hào)得： 移項(xiàng)得：4x-9x2- 6- 3, 合并同類項(xiàng)得：-5x 2 m的范圍. 【總結(jié)升華】此題亦可用x表示m,然后根據(jù)x的范圍運(yùn)用不等式基本性質(zhì)推導(dǎo)出 舉一反三: 2x m 2 x 【變式】已知關(guān)于x方程x的解是非負(fù)數(shù)，m是正整數(shù)，則m. 33 【答案】1或2. 4. (2016?杭州模擬)若關(guān)于x, y的二元一次方程組3

20、+尸列2的解滿足x y -3.5,求出滿足條件的 m的所有正整數(shù)解. 【思路點(diǎn)撥】先解出方程組再解不等式. 【答案與解析】 _ _ 1 解：由方程組旳加的兩個(gè)方程相減得：x - y= - 0.5m - 2 x+2y二4 .- 0.5m - 2 - 3.5, / m v 3, x, y的 滿足條件的m的所有正整數(shù)解為 m=1 , m=2 . 【總結(jié)升華】本題考查了巧解二元一次方程組，有時(shí)根據(jù)具體問題，可以不必解出 具體值.能得出關(guān)于 m的不等式是解此題的關(guān)鍵. 類型二、不等式的解及解集 a的取值范圍 a的范圍. 做此題的關(guān)鍵是確定好三個(gè)正整數(shù) 5. 若關(guān)于x的不等式x a只有三個(gè)正整數(shù)解，求 【

21、思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)題意確定三個(gè)正整數(shù)解，然后再確定 【答案】3 a 4. 【解析】 解：不等式x a只有三個(gè)正整數(shù)解， 三個(gè)正整數(shù)解為：1, 2, 3, 3 a 4, 【總結(jié)升華】此題主要考查了一元一次不等式的整數(shù)解， 解. 舉一反三: 【變式】已知x a的解集中的最大整數(shù)為 3，則a的取值范圍是 【答案】3 a 4. 類型四、逆用不等式的解集 3 6. 若關(guān)于x的不等式 mx n的解集為x -，則關(guān)于x的不等式 5 (2m n)x m 5n 0 的解集. 【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)第一 個(gè)不等式確定 m,n的關(guān)系或符 號(hào), 再代入第二個(gè)不等式進(jìn)行求解 【答案】x 10 7 【解析】 解：由mx n

22、的解集為 x -可知得: cn m 0, 一 3 3 即n m 5 m 5， 5 將上式代入 (2m n)x m 5n 0, 化簡(jiǎn)整理得： 7 mx 2m , 又m 0 5 所以x 10 7 【總結(jié)升華】解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等號(hào)的方向改變確定 【鞏固練習(xí)】 -、選擇題 1 已知關(guān)于x的不等式（m 1）x|m| 0是一元一次不等式，那么m的值是（） A. m= 1 B m= 1 C . m= -1 D .不能確定 2由m n得到ma2 na2,則a應(yīng)該滿足的條件是（）. A. a 0 B . a v 0 C .0 D . a 為任意實(shí)數(shù) 3. 已知y 2x 5 , y 2x 3，如果y y，則

23、x的取值范圍是（）. A. x 2 B . x v 2 C . x -2 D . x v -2 4. 設(shè)a, b是常數(shù)，不等式 厶二0的解集為xv丄，則關(guān)于x的不等式bx-a v 0的解集是 a b|5 （ ） A . x2B . xv-丄 C . x-丄 D . xv 5 555 5. （ 2016?南充）不等式蘭!丄笑2- 1的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（） 23 A . 1個(gè)B . 2個(gè)C . 3個(gè)D . 4個(gè) a的值是（ 6. 關(guān)于x的不等式 2x a 2的解集如圖所示，則 A. 0 B . 2 C . -2 D . -4 二、填空題 7. （ 2016?召興）不等式 匹LL3仝+2的解是. 4 3 a 2 【解析】因?yàn)椴坏仁?x a 2的解集為x，再觀察數(shù)軸上表示的解集