普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)

1、年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷卷共頁，題，其中第、題為選考題。全卷滿分分?？荚囉脮r分鐘。注意事項：答卷前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用鉛筆將答題卡上試卷類型后的方框涂黑。選擇題的作答：每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用鉛筆涂黑，再在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)答題。寫在

2、試卷卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷卷和答題卡一并上交。一、選擇題：本大題共小題，每小題分，共分 . 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . i 為虛數(shù)單位， i607 的共軛 復(fù)數(shù)為 i i 1我國古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章有“M 谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來M石，驗得 M 內(nèi)夾谷，抽樣取 M 一把，數(shù)得粒內(nèi)夾谷粒，則這批M 內(nèi)夾谷約為石石石石已知 (1x)n 的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為 212 211 210 29設(shè) X N ( 1,221 ) ，Y N ( 2 ,2 ) ，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列

3、結(jié)論中正確的是 P(Y2 )P(Y1 ) P( X2 )P( X1)對任意正數(shù) t ， P( Xt )P(Yt)對任意正數(shù) t ， P( Xt )P(Yt)1 / 13設(shè) a1, a2 , anR ， n 3 . 若： a1 , a2 , an 成等比數(shù)列；： (a12a22an21 )(a22a32an2 )(a1 a2 a2 a3an 1 an )2 ，則是的充分條件，但不是的必要條件是的必要條件，但不是的充分條件是的充分必要條件既不是的充分條件，也不是的必要條件1,x0,已知符號函數(shù) sgn x 0,x0, f (x) 是 R 上的增函數(shù)， g( x)f (x) f (ax) (a 1)

4、 ，則1,x0. sgn g (x)sgn x sgn g (x)sgn x sgn g ( x)sgn f ( x) sgn g ( x)sgn f ( x)在區(qū)間 0, 1 上隨機(jī)取兩個數(shù)x, y ，記 p1 為事件“ xy1 ”的概率， p2 為事件“ | xy |1 ”22的概率， p3 為事件“ xy1 ”的概率，則2 p1p2p3 p2p3p1 p3p1p2 p3p2p1將離心率為 e1 的雙曲線 C1 的實半軸長 a 和虛半軸長 b (a b) 同時增加 m (m0) 個單位長度， 得到離心率為 e2 的雙曲線 C2 ，則對任意的 a, b ， e1e2當(dāng) ab 時， e1e2

5、；當(dāng) ab 時， e1e2對任意的 a, b ， e1e2當(dāng) ab 時， e1e2 ；當(dāng) ab 時， e1e2 已 知 集 合 A ( x, y) x2y21, x, y Z ， B ( x, y) | x | 2 , | y | 2, x, yZ ， 定 義 集 合AB( x1x2 , y1y2 ) (x1, y1 )A, ( x2 , y2 ) B ，則 AB 中元素的個數(shù)為C設(shè)xR， x 表示不超過 x 的最大整數(shù) . 若存在實數(shù) t ，使得 t 1， t 2 2， t n n 同時成立 ，則正整數(shù) n 的最大值是C二、填空題：本大題共小題，考生需作答小題，每小題分，共分請將答案填在答題

6、卡對應(yīng)題號的位置上答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分（一）必考題（ 題）2 / 13已知向量 OAAB ， | OA |3，則 OA OB2 xx)2sin x | ln( x 1) |的零點個數(shù)為函數(shù) f (x) 4coscos(22如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A 處時測得公路北側(cè)一山頂在西偏北30 的方向上，行駛600m 后到達(dá) B 處，測得此山頂在西偏北 75的方向上，仰角為30 ，則此山的高度 CD.如圖，圓 C 與 x 軸相切于點 T (1,0) ，與 y 軸正半軸交于兩點A, B （在的上方），且 AB 2 （）圓 C 的標(biāo)準(zhǔn) 方程為；（）過點 A 任作一條直線

7、與圓O : x2y21相交于 M , N 兩點，下列三個結(jié)論： NAMA； NBMA2；NBMA2 2 NBMBNAMBNAMB其中正確結(jié)論的序號是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）（二）選考題（請考生在第、兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用鉛筆涂黑如果全選，則按第題作答結(jié)果計分）（選修：幾何證明選講）如圖，是圓的切線，為切點，是圓的割線，且BC3PB ，則AB.AC（選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. 已知直線的極坐標(biāo)方程為3 / 13xt1,(sin3cos ) 0 ，曲線的參數(shù)方程為t( 為參數(shù) ) ，與相交于 ,

8、 兩點，則yt1t| AB |.三、解答題：本大題共小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟（本小題滿分分）某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f ( x) A sin( x) (0, |在某一個周期內(nèi)的圖象| )2時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：x3222x536A sin( x)5（）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f (x) 的解析式；（）將 y f ( x) 圖象上所有點向左平行移動(0) 個單位長度，得到 yg( x) 的圖象 . 若 y g( x) 圖象的一個對稱中心為5 ，求的最小值 .( , 0)12（本小題滿分分）設(shè)等差數(shù)列 an 的公差為，前項和為

9、 Sn ，等比數(shù)列 bn 的公比為已知 b1a1 ， b2 2 ， qd ，S10 100 （）求數(shù)列 an ， bn 的通項公式；（）當(dāng) d 1時，記 cnan ，求數(shù)列 cn 的前項和 Tn bn（本小題滿分分）九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑 如圖，在陽馬 P ABCD 中，側(cè)棱 PD 底面 ABCD ，且 PD CD ，過棱 PC 的中點 E ，作 EF PB 交 PB 于點 F ，連接 DE , DF , BD, BE.（）證明： PB平面 DEF 試判斷四面體DBEF 是否為鱉臑，4 / 13若是，寫出其每

10、個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，說明理由；（）若面DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為，求 DC 的值3BC（本小題滿分分）某廠用鮮牛奶在某臺設(shè)備上生產(chǎn)A, B 兩種奶制品生產(chǎn)噸A 產(chǎn)品需鮮牛奶噸，使用設(shè)備小時，獲利元；生產(chǎn)噸B 產(chǎn)品需鮮牛奶噸，使用設(shè)備小時，獲利元要求每天B 產(chǎn)品的產(chǎn)量不超過 A 產(chǎn)品產(chǎn)量的倍，設(shè)備每天生產(chǎn)A, B 兩種產(chǎn)品時間之和不超過小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量（單位：噸）是一個隨機(jī)變量，其分布列為該廠每天根據(jù)獲取的鮮牛奶數(shù)量安排生產(chǎn)，使其獲利最大， 因此每天的最大獲利Z （單位：元）是一個隨機(jī)變量（）求 Z 的分布列和均值；（）若每天可獲取的鮮牛奶數(shù)量相

11、互獨立，求天中至少有天的最大獲利超過元的概率（本小題滿分分）一種作圖工具如圖所示O 是滑槽 AB 的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，且DNON1， MN3 當(dāng)栓子在滑槽內(nèi)作往復(fù)運動時，帶動繞 O轉(zhuǎn)動一周（不動時，也不動），處的筆尖畫出的曲線記為以O(shè) 為原點， AB 所在的直線為x 軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（）求曲線的方程；（）設(shè)動直線 l 與兩定直線 l1 : x2y0 和 l 2 : x2 y0 分別交于 P, Q 兩點若直線 l 總與曲線C 有且只有一個公共點，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由（本小題滿分分）5 /

12、 13已知數(shù)列 a 的各項均為正數(shù)，1n，為自然對數(shù)的底數(shù)bnn (1) an (nN )nn（）求函數(shù)f ( x)1x ex 的單調(diào)區(qū)間，并比較(11)n 與的大小；n（）計算b1，b1 b2，b1b2b3，由此推測計算b1 b2bn的公式，并給出證明；a1a1 a2a1a2 a3a1a2an1（）令 cn(a1a2an ) n ，數(shù)列 an ， cn 的前 n 項和分別記為 Sn , Tn , 證明： Tn eSn .6 / 13絕密啟用前年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學(xué)（理工類）試卷參考答案一、選擇題（本大題共小題，每小題分，共分）二、填空題（本大題共小題，考生需作答小題，每

13、小題分，共分） 100 6（） (x 1)2( y2) 22 ；（） 1 2 52三、解答題（本大題共小題，共分）（分）（）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得A5,2,. 數(shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：6x322x75123126A sin( x)5且函數(shù)表達(dá)式為 f (x)5sin(2 x)6（）由（）知f (x) 5sin(2 x，得 g (x) 5sin(2 x 2) .66因為 ysin x 的對稱中心為 ( k,0) ， kZ . 令 2x2k，解得 xk， k Z .62125 由于函數(shù) yg (x) 的圖象關(guān)于點成中心對稱，令k( , 0)21212解得k ， k Z . 由0 可知，當(dāng) k 1時，取得最

14、小值23（分）213 125，1267 / 13（）由題意有，10a145d100,2a19d20,a1d2,即a1d2,a11,a19,an2n1,an1 (2n 79),解得或2 .故或9d 2,bn2n 1.2 n 1dbn99( ) .9（）由 d1，知 an2n1 ， bn2n 12n1，于是，故 cn2n135792 n1Tn 12234n1 ，22221135792n1.Tn22345n222222可得121112n132n3Tn222n 2n2n，222故 Tn62n3n 1 .2（分）（解法）（）因為 PD底面 ABCD ，所以 PDBC ，由底面 ABCD 為長方形，有BC

15、CD ，而 PDCDD ，所以 BC平面 PCD . 而 DE 平面 PCD ，所以 BCDE .又因為 PDCD ，點 E 是 PC 的中點，所以DEPC .而 PCBCC ，所以 DE平面 PBC . 而 PB平面 PBC ，所以 PBDE .又 PBEF ， DEEFE ，所以 PB平面 DEF .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知四面體BDEF 的四個面都是直角三角形，即四面體 BDEF 是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB， DEF， EFB， DFB .（）如圖，在面 PBC 內(nèi)，延長 BC 與 FE 交于點 G ，則 DG 是平面 DEF 與平面 ABCD的交線

16、 . 由（）知， PB平面 DEF ，所以 PBDG .又因為 PD底面 ABCD ，所以 PDDG . 而 PDPB P ，所以 DG平面 PBD .故 BDF 是面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的平面角，設(shè) PDDC1， BC，有 BD12 ，8 / 13在中 ,由 DFPB , 得DPFFDB,3BD12,解得2 .則 tantanDPF33PD所以 DC12 .BC2故當(dāng)面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為時， DC2 .3BC2（解法）（）如圖，以D 為原點，射線DA, DC , DP 分別為 x, y, z 軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)PDDC1， BC，則

17、 D (0,0,0),(0,01),P (,1,0),B(0,1,0)C， PB ( ,1, 1) ，點 E 是 PC的中點，所以E(0,1,1) ， DE(0,1,1) ，2222于是 PB DE0 ，即 PBDE .又已知 EFPB ，而 DEEFE ，所以 PB平面 DEF .因 PC(0,1,1) ,DEPC0 ,則 DEPC , 所以 DE平面 PBC .由 DE平面 PBC ， PB平面 DEF ，可知四面體BDEF 的四個面都是直角三角形，即四面體 BDEF 是一個鱉臑，其四個面的直角分別為DEB， DEF， EFB， DFB .（）由 PD平面 ABCD ，所以 DP(0, 0

18、, 1) 是平面 ABCD 的一個法向量；由（）知，PB平面 DEF ，所以 BP(, 1, 1) 是平面 DEF 的一個法向量 .若面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為，39 / 13則 cos BP DP121 ，3| BP | | DP |22解得2 . 所以 DC 12.BC2故當(dāng)面 DEF 與面 ABCD 所成二面角的大小為時， DC2 .3BC2（分）（）設(shè)每天A, B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量分別為2x1.5y W ,x1.5 y12,2xy0,x0, y0.x, y ，相應(yīng)的獲利為z ，則有（）目標(biāo)函數(shù)為z1 0 0 0x1 2 0y 0當(dāng) W12 時，（）表示的平面區(qū)域如

19、圖，三個頂點分別為A(0, 0), B(2.4, 4.8), C(6, 0) 將 z1000 x1200 y 變形為 y5xz，61200當(dāng) x2.4, y4.8 時，直線 l ： y5xz在 y 軸上的截距最大，61200最大獲利 Zzmax 2.4 10004.812008160 當(dāng) W15 時，（）表示的平面區(qū)域如圖，三個頂點分別為A(0, 0), B(3, 6), C(7.5, 0) 將 z1000 x1200 y 變形為 y5xz，61200當(dāng) x3, y6 時，直線 l ： y5 xz在 y 軸上的截距最大，61200最大獲利 Zzmax 3 1000 6120010200 當(dāng) W

20、18 時，（）表示的平面區(qū)域如圖，四個頂點分別為 A(0, 0), B(3, 6), C(6, 4),D (9, 0) .將 z1000 x1200 y 變形為 y5xz，6120010 / 13當(dāng) x 6, y4 時，直線 l ： y5xz 在 y 軸上的截距最大，61200最大獲利 Zzmax6 1000 4120010800故最大獲利 Z 的分布列為ZP因此， E (Z ) 8160 0.3102000.5108000.29708.（）由（）知，一天最大獲利超過元的概率p1P( Z10000) 0.5 0.2 0.7 ，由二項分布，天中至少有天最大獲利超過元的概率為p 1 (1 p1 )

21、31 0.330.973.（分）（）設(shè)點 D (t , 0) (| t |2) ， N( x0 , y0 ), M (x, y) ，依題意，MD 2DN ，且| DN | | ON |1，所以 (tx,y)2( x0t,y0 ) ，且(x0 t )2y021,221.x0y0tx2x02t,2 x0 )0.即2 y0 .且 t (ty由于當(dāng)點D 不動時，點 N 也不動，所以 t不恒等于，于是 t2x0 ，故 x0x , y0y ，代入 x02y021 ，可得 x2y21 ，4216422即所求的曲線C 的方程為 xy1.164（）（）當(dāng)直線 l 的斜率不存在時，直線l 為 x4或 x4 ，都有

22、 S OPQ14 4 8 .2（）當(dāng)直線 l的斜率存在時，設(shè)直線l : ykxm(k1 ) ，2ykxm,4k 2 ) x28kmx 4 m2160 .由24 y2消去 y ，可得 (1x16,因為直線 l 總與橢圓 C 有且只有一個公共點，11 / 13所以64k2 m24(14k 2 )(4 m216)0 ，即 m216k 24 .又由ykxm,可得2mm) ；同理可得 Q(2m,m) .x2 y0,P(,2k2k2k12k 111由原點 O 到直線 PQ 的距離為 d| m |和 | PQ |1k 2 | xPxQ |，可得1k2S OPQ1 | PQ | d1 | m | xPxQ |

23、1 | m |2m12m2m22 .22212k2k14k2m221將代入得，S OPQ84k.124k214k當(dāng) k21時， S OPQ4k218(12)8 ；48()14k214k 21 時， S OPQ221)當(dāng) 0k28( 4k8(1122 ) .414k4 k因 0k21 ，則 014k 21 ，222 ，所以 S OPQ8(1122 )8 ，414k4k當(dāng)且僅當(dāng) k0 時取等號 .所以當(dāng) k0時， S OPQ 的最小值為 .綜合（）（）可知，當(dāng)直線l 與橢圓 C 在四個頂點處相切時，的面積取得最小值.（分）（） f ( x) 的定義域為 (,) ， f( x)1 ex .當(dāng) f(x)0 ，即 x0 時， f (x) 單調(diào)遞增；當(dāng)