第8章 相量法

1、第8章 相量法本章主要內(nèi)容：1.復(fù)數(shù)2.正弦量3.相量法的基礎(chǔ)4.電路定律的相量形式本章學(xué)習(xí)要求：本章是學(xué)習(xí)第9-12 章的基礎(chǔ)，必須熟練掌握相量法的解析運算。1.了解正弦量的三要素，深刻理解相量概念，熟練掌握正弦量的相量表示方法；2.熟練掌握元件與電路基本定律的相量形式并能靈活運用。本章重點：1. 正弦量和相量之間的關(guān)系；2. 正弦量的相量差和有效值的概念；3. R、L、C各元件的電壓、電流關(guān)系的相量形式；4. 電路定律的相量形式及元件的電壓電流關(guān)系的相量形式。本章難點：1. 正弦量與相量之間的聯(lián)系和區(qū)別；2. 元件電壓相量和電流相量的關(guān)系。計劃課時：8.1-8.3 正弦量及其相量表示一、正

2、弦量及其三要素正弦量：隨時間按正弦規(guī)律變化的物理量統(tǒng)稱正弦量。對正弦電路的分析研究具有重要的理論價值和實際意義：正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術(shù)領(lǐng)域占有十分重要的地位。這是因為：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，其加、減、求導(dǎo)、積分運算后仍是同頻率的正弦函數(shù)；正弦信號容易產(chǎn)生、傳送和使用。正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量，即。下面以正弦電流來討論正弦量的瞬時表達式、波形、三要素概念及其相位。1.正弦量的瞬時表達式：2.正弦量的波形：3.正弦量的三要素：振幅/幅值，是正弦量變化的最大值。分別為角頻率(單位)，周期(單位)和頻率(單位)。它們反映了正弦量的變化快慢。三者之

3、間的關(guān)系為：，正弦量的初始相位(單位：度或)，規(guī)定了正弦量的計時起點。對一個正弦量，其計時起點不同，其初始相位也就不同。正弦量的三要素與其瞬時表達式之間具有對應(yīng)關(guān)系：給定一個正弦量瞬時表達式，可得到其三個要素，反之給定一個正弦量的三要素，也就可以寫出其瞬時表達式。另外，正弦量的三要素也是正弦量之間進行比較、區(qū)分的依據(jù)。4.正弦量的相位及相位差：正弦量的相位：為正弦量的相位，相位又稱相位角，它確定了正弦量的瞬時狀態(tài)。不同正弦量之間的相位差：只有頻率相同的兩個正弦量之間才有相位差。設(shè)兩正弦量為：，則與之間的相位差為：可見，與之間的相位差等于初相之差，它是一個常數(shù)，與時間無關(guān)。一般規(guī)定其主值范圍為。

4、若，則稱超前于，即比先達到最大值；若，則稱滯后于；若，則稱與同相；若，則稱與正交；若，則稱與反相。注意：兩個正弦量進行相位比較時應(yīng)滿足同頻率、同函數(shù)、同符號，且在主值范圍比較。 5.正弦量的有效值/方均根值：周期量的有效值根據(jù)熱效應(yīng)來定義，是一個在效應(yīng)上與周期量在一個周期內(nèi)的平均效應(yīng)相等的直流量。其數(shù)學(xué)定義為：R直流IR交流 i對于正弦量，其有效值與最大值之間有固定的倍關(guān)系，即：或結(jié)論：正弦量的有效值可以代替其幅值，成為正弦的一個要素。工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如設(shè)備銘牌額定值、電網(wǎng)的電壓等級等。但絕緣水平、耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設(shè)備的耐壓水平時應(yīng)按最大值考慮。測量中

5、，交流測量儀表指示的電壓、電流讀數(shù)一般為有效值。區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的符號：及。二、正弦量的相量表示1.復(fù)數(shù)背景知識：復(fù)數(shù)的表示方法：代數(shù)形式表示： 三角形式表示： (上述兩種形式間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：或)指數(shù)形式表示： (利用歐拉公式即可)極坐標(biāo)形式表示： (是三角形式與指數(shù)形式的簡寫形式)復(fù)平面內(nèi)的向量表示：復(fù)數(shù)間的運算1) 加減運算：一般采用代數(shù)式進行加減法運算。若，則-F2F1ReImoF1-F2F1+F2F2加減法運算亦可在復(fù)平面內(nèi)采用圖解法進行，如下圖的平行四邊形法則和三角形法則。F1F2ReImoF1+F22) 乘除法運算：一般采用指數(shù)或極坐標(biāo)形式相乘。法運算：可采用代

6、數(shù)/指數(shù)/極坐標(biāo)形式相除，除法的幾何意義若，則：(模相乘角相加)(模相除角相減)。乘除法的幾何意義：例：FReIm0F ejqq旋轉(zhuǎn)因子復(fù)數(shù)稱旋轉(zhuǎn)因子。幾個特殊旋轉(zhuǎn)因子：1) ；2) ；3) 。結(jié)論：+j, j, -1 都可以看成旋轉(zhuǎn)因子。2.相量的概念：可見，一個正弦量總有一個復(fù)數(shù)與之對應(yīng)，并且這個復(fù)數(shù)的復(fù)常數(shù)部分表示了正弦量的有效值和初相，復(fù)數(shù)的另一部分表示了正弦量的角頻率。相量概念：把與正弦量對應(yīng)復(fù)數(shù)的復(fù)常數(shù)部分稱為該正弦量的相量，并將相量記為：注意：相量與正弦量之間只是對應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系；相量表示了正弦量的兩個要素(有效值和初相)，對于角頻率，因在同一正弦交流電路中一般各電路變

7、量具有相同的角頻率，因此往往不予表示。相量圖：同復(fù)數(shù)一樣，相量可以在復(fù)平面上用向量來表示，復(fù)平面上表示相量以及相量間關(guān)系的圖稱為相量圖。例：1) 已知，試用相量表示i, u；2) 已知，試寫出電流的瞬時值表達式。解：1) 2) 。3.正弦量運算與相量運算之間的對應(yīng)關(guān)系：正弦量的運算可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的相量運算來實現(xiàn)。同頻率正弦量的代數(shù)和仍為同頻率正弦量，并且和的相量等于各相量代數(shù)和。例：已知電流和分別為，。試求。正弦量的微分仍為同頻正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量乘以。顯然的相量為：正弦量的積分仍為同頻正弦量，并且其相量等于原正弦量的相量除以。即：的相量為；運用相量及相量的運算法則可以求取正弦

8、電路微分方程的特解(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))。如：圖示電路的電路方程為該微分方程對應(yīng)的相量形式為這一代數(shù)方程反映了正弦激勵與其同頻正弦響應(yīng)之間的相量關(guān)系，并且容易求得所以。結(jié)論：正弦穩(wěn)態(tài)電路常用相量法來分析，其主要的優(yōu)點有：1) 把時域問題變?yōu)閺?fù)數(shù)問題；2) 把微積分方程的運算變?yōu)閺?fù)數(shù)方程運算；3) 可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路。但要注意的是：相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路。8.4 電路元件伏安特性及電路定律的相量形式一、元件伏安特性的相量形式1. 電阻元件的相量形式及其相量模型關(guān)聯(lián)參考方向下： (元件的相量形式)非關(guān)聯(lián)參考方向下：結(jié)論：正弦電路中，電阻上電壓與電流是同頻正弦量并

9、總是同相。在相量圖上，電壓向量總與電流向量共線或平行。在正弦交流電路中，如電路采用相量形式來表示，則該電路稱正弦交流電路的相量模型。電阻元件的相量模型及其關(guān)系相量圖如下。若電阻電流，則電阻端電壓，電阻的瞬時功率。可見，電阻瞬時功率以2w交變，但始終大于零，表明電阻始終吸收功率。2.電容元件的相量形式關(guān)聯(lián)參考方向下：非關(guān)聯(lián)參考方向下：結(jié)論：正弦電路中，電容上電壓與電流是同頻正弦量，電流總超前電壓90，其幅值為電壓幅值的倍。記，稱為電容的容抗，單位歐姆，它反映了電容元件對正弦電流的阻礙作用：一定時，越高，越小，電流越易通過。記，稱為電容的容納，單位西門子。電容元件的相量模型及其關(guān)系相量圖如下。若電

10、容電壓，則電容電流，電容瞬時功率?？梢姡娙菟矔r功率以2w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。3.電感元件的相量形式關(guān)聯(lián)參考方向下：非關(guān)聯(lián)參考方向下：結(jié)論：正弦電路中，電感上電壓與電流是同頻正弦量，電壓總超前電流90，其幅值為電流幅值的倍。記，稱為電感的感抗，單位為歐姆，它反映了電感元件對正弦電流的阻礙作用：一定時，越高，越小，電流越難通過。記，稱為電感的感納，單位為西門子。電感元件的相量模型及其關(guān)系相量圖如下。若電感電流，則電感電壓，電感瞬時功率?？梢?，電感瞬時功率以2w交變，有正有負(fù)，一周期內(nèi)剛好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。二、電路定律的相量形式正弦電路中的電壓、電流全都是同頻正弦量，根據(jù)若干正弦量的代數(shù)和相量等于各正弦量相量之和，容易得到電路定律的相量形式。1. 的相量形式：2. 的相量形式：結(jié)論：流入某一結(jié)點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足；而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足。例：圖(a)所示RL串聯(lián)電路。已知R=50, L=25H,