完整版)實驗三傅里葉變換及其性質(zhì)

1、信息工程學(xué)院實驗報告實驗時間： 2013-11-29學(xué)號：成 績： 指導(dǎo)教師(簽名)課程名稱：信號與系統(tǒng)實驗項目名稱：實驗 3 傅里葉變換及其性質(zhì) 班級： 姓名：一、實驗?zāi)康?:1 、學(xué)會運用 MATLAB求連續(xù)時間信號的傅里葉( Fourier )變換；2 、學(xué)會運用 MATLAB求連續(xù)時間信號的頻譜圖；3 、學(xué)會運用 MATLAB分析連續(xù)時間信號的傅里葉變換的性質(zhì)。二、實驗環(huán)境 :1 、硬件：在 windows 7 操作環(huán)境下；2 、軟件： Matlab 版本 7.1三、實驗原理：3.1 傅里葉變換的實現(xiàn)信號 f (t)的傅里葉變換定義為：F( ) F f(t)f (t)e j tdt，1

2、傅里葉反變換定義為： f (t) F 1F( ) f( )ej td 。信號的傅里葉變換主要包括 MATLAB符號運算和 MATLAB數(shù)值分析兩種方法， 下面分別加以探討。 同時， 學(xué)習(xí)連續(xù)時間信號的頻譜圖。3.1.1 MATLAB 符號運算求解法MATLAB符號數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換與傅里葉反變換的函數(shù)fourier( ) 和 ifourier( ) 。Fourier 變換的語句格式分為三種。(1) F=fourier(f) ：它是符號函數(shù) f 的 Fourier 變換，默認(rèn)返回是關(guān)于 的函數(shù)。( 2 ) F=fourier(f,v)： 它 返 回 函 數(shù) F 是 關(guān) 于 符 號

3、 對 象 v 的 函 數(shù) ， 而 不 是 默 認(rèn) 的 ， 即F(v)f(t)e jvtdt 。( 3 ) F=fourier(f,u,v)： 是 對 關(guān) 于 u 的 函 數(shù) f 進(jìn) 行 變 換 ， 返 回 函 數(shù) F 是 關(guān) 于 v 的 函 數(shù) ， 即F(v)f(t)e jvudu 。傅里葉反變換的語句格式也分為三種。( 1) f=ifourier(F) ：它是符號函數(shù) F 的 Fourier 反變換，獨立變量默認(rèn)為 ，默認(rèn)返回是關(guān)于 x 的 函數(shù)。2) f=ifourier(F,u)：它返回函數(shù)f 是 u 的函數(shù)，而不是默認(rèn)的x。3) f=ifourier(F,u,v)：是對關(guān)于v 的函數(shù)

4、F 進(jìn)行反變換，返回關(guān)于 u的函數(shù) f 。值得注意的是，函數(shù) fourier( )和 ifourier( )都是接受由 sym 函數(shù)所定義的符號變量或者符號表達(dá)式。3.1.2 連續(xù)時間信號的頻譜圖信號 f(t) 的傅里葉變換 F() 表達(dá)了信號在處的頻譜密度分布情況，這就是信號的傅里葉變換的物理含義。 F( )一般是復(fù)函數(shù)，可以表示成F( ) F( ) ej ( )。 F( ) 與 ( ) 曲線分別稱為非周期信號的幅度頻譜與相位頻譜，它們都是頻率 的連續(xù)函數(shù)， 在形狀上與相應(yīng)的周期信號頻譜包絡(luò)線相同。非周期信號的頻譜有兩個特點，密度譜和連續(xù)譜。要注意到，采用fourier()和 ifourie

5、r() 得到的返回函數(shù)，仍然是符號表達(dá)式。若需對返回函數(shù)作圖，則需應(yīng)用ezplot() 繪圖命令。3.1.3 MATLAB 數(shù)值計算求解法fourier( ) 和 ifourier( ) 函數(shù)的一個局限性是，如果返回函數(shù)中有諸如單位沖激函數(shù)(t) 等項，則用 ezplot() 函數(shù)無法作圖。對某些信號求變換時，其返回函數(shù)可能包含一些不能直接用符號表達(dá)的式子，因此不能對返回函數(shù)作圖。此外，在很多實際情況中，盡管信號f (t) 是連續(xù)的，但經(jīng)過抽樣所獲得的信號則是多組離散的數(shù)值量 f (n) ，因此無法表示成符號表達(dá)式，此時不能應(yīng)用fourier() 函數(shù)對 f(n) 進(jìn)行處理，而只能用數(shù)值計算方

6、法來近似求解。從傅里葉變換定義出發(fā)有 F( )f(t)e j tdt lim f (n)e j n ，當(dāng) 足夠小時，上式的近似情況可以滿足實際需要。對于時限信號f(t) ，或者在所研究的時間范圍內(nèi)讓f (t) 衰減到足夠小，從而近似地看成時限信號，則對于上式可以考慮有限n 的取值。假設(shè)是因果信號，則F( )M1f (n )e j n0nM1n0傅里葉變換后在域用 MATLAB進(jìn)行求解，對上式的角頻率進(jìn)行離散化。假設(shè)離散化后得到N個樣20 k N1，值，即 k 2 k,NM 1 j n因此有 F(k)f (n )e j kn ,0 k N 1 。采用行向量，用矩陣表示為 n0e j kn 。當(dāng)

7、足夠小時，上式的內(nèi)積運算(即相乘求和運算)結(jié)果即為所求的連續(xù)時間信號傅里葉變換 的數(shù)值解。3.2 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)包含了豐富的物理意義， 并且揭示了信號的時域和頻域的關(guān)系。 熟悉這些性質(zhì)成 為信號分析研究工作中最重要的內(nèi)容之一。3.2.1 尺度變換特性1 傅里葉變換的尺度變換特性為：若 f (t) F( )，則有 f (at)F( )，其中，a 為非零實常數(shù)。aa3.2.2 頻移特性 傅里葉變換的頻移特性為：若 f(t) F( )，則有 f (t)ej 0t F(0) 。頻移技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用，諸如調(diào)幅變頻等過程都是在頻譜搬移的基礎(chǔ)上完成的。頻移的實現(xiàn)原理是將信號f

8、(t )乘以載波信號 cos 0t或 sin 0t ，從而完成頻譜的搬移，即1f (t)cos 0t F(0) F(0 )2f (t)sin 0tj F(0) F(0)2四、實驗內(nèi)容及結(jié)果分析 :4.1 試用 MATLAB命令求下列信號的傅里葉變換，并繪出其幅度譜和相位譜。(1) f1(t) sin2(t (t1) 1) (2) f2(t) (t 1)第一題的實驗程序代碼：clc;clear;Ftsym( sin(2*pi*(t-1)/(pi*(t-1)Fw = fourier(ft);subplot(211)ezplot(abs(Fw);grid ontitle( 幅度譜 );phase =

9、 atan(imag(Fw)/real(Fw);subplot(212)ezplot(phase);grid ontitle( 相位譜 );sin( t)t第二題的實驗程序代碼： clc;clear;= ft = sym( (sin(pi*t)/(pi*t)2); Fw = fourier(ft);subplot(211) ezplot(abs(Fw);grid on title( 幅度譜 );phase = atan(imag(Fw)/real(Fw); subplot(212) ezplot(phase);grid on title( 相位譜 ););第一題實驗結(jié)果如圖 1所示，第二題實驗

10、結(jié)果如圖 2所示。門信號即 g (t) 10, tt/22，其中 1。圖1圖24.2 試用 MATLAB 命令求下列信號的傅里葉反變換，并繪出其時域信號圖。1) F1( )103j45j2) F2( )e42第一題的實驗程序代碼：clc;clear;t=sym( t );Fw = sym( 10/(3+i*w)-4/(5+i*w);ft = ifourier(Fw);clc;clear; t=sym( t );Fw = sym( exp(-4*(w2) ft = ifourier(Fw); ezplot(ft),grid on);ezplot(ft),grid on第二題的實驗程序代碼：第一題

11、實驗結(jié)果如圖 3所示，第二題實驗結(jié)果如圖 4 所示。圖3圖44.3 試用 MATLAB 數(shù)值計算方法求門信號的傅里葉變換，并畫出其頻譜圖。subplot(122);ezplot(abs(Fw1),-10*pi onaxis(-10*pi 10*pi -0.2 1.2);10*pi), grid實驗程序代碼：clc;clear;ft1sym( Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2) ); subplot(121);ezplot(ft1,-1.5 1.5),grid on Fw1 = simplify(fourier(ft1);實驗結(jié)果如圖 5 所示：圖5MATLAB命

12、令驗證傅里葉變換的時域卷積定理。4.4 已知兩個門信號的卷積為三角波信號，試用 兩個門信號卷積成為三角波信號的實驗程序代碼： clc;clear;dt = 0.01; t = -1:dt:2.5;f1 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2);f2 = uCT(t+1/2)- uCT(t-1/2);f = conv(f1,f2)*dt;n =length(f);tt = (0:n-1)*dt-2;subplot(211), plot(t,f1),gridon;axis(-1, 1, -0.2,1.2);title( f1(t) ); xlabel( t);subplot(212), p

13、lot(tt,f),gridon;axis(-2, 2, -0.2,1.2);title( f(t)=f1(t)*f2(t) );xlabel( t );兩個門信號卷積成為三角波信號的實驗結(jié)果如圖6 所示：三角波信號傅里葉變換的實驗程序代碼： clc;clear;dt = 0.01; t = -4:dt:4;ft(t+1).*uCT(t+1)-2*t.*uCT(t)+(t-1).*uCT(t-1);N = 2000; k = -N:N;W = 2*pi*k/(2*N+1)*dt);F = dt * ft*exp(-j*t*W); plot(W,F), gridonaxis(-10*pi 10*pi -0.2 1.2);xlabel( W ), ylabel( F(W) )圖6title( f1(t)*f2(t) 的頻譜圖 );ft1 和ft2 分別傅里葉變換然后再相乘的代碼：clc;clear;ft1sym( Heaviside(t+1/2)-Heaviside(t-1/2) );Fw1 = fourier(ft1);ft2sym( Heaviside