華師大版八年級(jí)下19.3正方形與特殊的四邊形綜合題專(zhuān)訓(xùn)(二)

1、華師大版八年級(jí)下冊(cè)19.3正方形與特殊的四邊形綜合題專(zhuān)訓(xùn)一、 正方形與平行四邊形綜合試題、如圖，p是正方形abcd內(nèi)一點(diǎn)，以正方形abcd的一條邊做為對(duì)角線(xiàn)，點(diǎn)p與這條邊的兩個(gè)端點(diǎn)作平行四邊形，依次得點(diǎn)e、f、g、h，求證：四邊形efgh是正方形【分析】如圖，連接bd、ac則ac=bd通過(guò)證明ahepdb（sas），推知he=bd，ahe=pdb，則hedb易證四邊形efgh是平行四邊形同理，efhgac，ef=ac=hg，所以eh=ef，ehef，故四邊形efgh是正方形【解答】證明：如圖，連接bd、ac則ac=bd四邊形ahdp和四邊形aebp為平行四邊形，ah=dp，ae=bp又hap+

2、apd=180，eap+bpa=180hae=bpd，在ahe與pdb中，ahepdb（sas），he=bd，ahe=pdb，又ahpd，hedb同理，gf=bd，gfbd，he=gf，hegfbd，四邊形efgh是平行四邊形同理，efhgac，ef=ac=hg，又acbd，eh=ef，ehef，四邊形efgh是正方形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)證得efeh是解題的難點(diǎn)試題、（2015春江陰市期中）如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e在邊ad上，點(diǎn)f在邊bc的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接ef與邊cd相交于點(diǎn)g，連接be與對(duì)角線(xiàn)ac相交于點(diǎn)h，ae=cf，be=eg（1）求證：efa

3、c；（2）求bef大??；（3）若eb=4，則bae的面積為2【分析】（1）利用平行四邊形的判定及其性質(zhì)定理即可解決問(wèn)題；（2）作輔助線(xiàn)構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，利用等邊三角形的判定及其性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（3）借助旋轉(zhuǎn)變換將bcg與bae拼接到一起，通過(guò)作輔助線(xiàn)求出bhe的高，問(wèn)題即可解決【解答】解：（1）四邊形abcd是正方形，aecf，又ae=cf，四邊形aefc是平行四邊形，故efac（2）連接bg四邊形abcd是正方形，且efac，deg=dac=45，dge=dca=45； 故cfg=deg=45，cgf=dge=45，cgf=cfg，cg=cf；ae=cf，ae=cg；在abe與cbg中

4、，abecbg（sas），be=bg；又be=eg，be=bg=eg，beg是等邊三角形，故bef=60（3）延長(zhǎng)ea到m，使ah=cg；過(guò)點(diǎn)m作mkbe于點(diǎn)k；beg是等邊三角形，ebg=60，abe+cbg=9060=30；在abm與bcg中，abmbcg（sas），bm=bc=4，abm=cbg；故abm+abe=abe+cbg=30，mk=，bme的面積=，bae的面積【點(diǎn)評(píng)】考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形，結(jié)合等邊三角形的判定及其性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題；對(duì)綜合運(yùn)用能力及探究思維能力提出了較高的要求試題、（2013惠東縣校級(jí)模擬）如圖

5、，四邊形abcd是正方形，點(diǎn)e，k分別在bc，ab上，點(diǎn)g在ba的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ce=bk=ag（1）求證：de=dg； dedg；（2）尺規(guī)作圖：以線(xiàn)段de，dg為邊作出正方形defg（要求：只保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明）；（3）連接（2）中的kf，猜想并寫(xiě)出四邊形cefk是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)求出ad=dc，gad=dce=90，根據(jù)全等三角形判定推出即可；根據(jù)全等得出gda=cde，求出gde=gda+ade=adc=90即可；（2）分別以g、e為圓心，以dg為半徑畫(huà)弧，兩弧交于f，連接gf、ef即可；（3）推出ef=ck，efck，根據(jù)平行四邊形

6、的判定推出即可【解答】（1）證明：四邊形abcd是正方形，ad=dc，gad=dce=90，在gad和ecd中g(shù)adecd（sas），de=dg；四邊形abcd是正方形，adc=90，gadecd，gda=cde，gde=gda+ade=cde+ade=adc=90，dedg（2）解：如圖所示：；（3）四邊形cefk是平行四邊形，證明：四邊形abcd是正方形，b=ecd=90，bc=cd，在kbc和ecd中kbcecd（sas），de=ck，dec=bkc，b=90，kcb+bkc=90，kcb+dec=90，eoc=18090=90，四邊形dgfe是正方形，de=ef=ck，fed=90=e

7、oc，ckef，四邊形cefk是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)和判定，正方形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力試題、（2015春天水期末）如圖所示：在abc中，分別以ab、ac、bc為邊，在bc的同側(cè)作等邊abd、等邊ace、等邊bcf（1）求證：四邊形daef是平行四邊形；（2）探究下列問(wèn)題：（只填條件，不需證明）當(dāng)bac滿(mǎn)足bac=150條件時(shí)，四邊形daef是矩形；當(dāng)bac滿(mǎn)足bac=60條件時(shí)，以d、a、e、f為頂點(diǎn)的四邊形不存在；當(dāng)abc滿(mǎn)足bac=150且ab=ac條件時(shí)，四邊形daef是正方形【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出ac=ce=ae，

8、ab=ad=bd，bc=cf=bf，bcf=ace=60，求出bca=fce，證bcafce，得出ef=ba=ad，同理df=ac=ae，即可得出結(jié)論；（2）求出dae的度數(shù)，根據(jù)矩形的判定得出即可；證出d、a、e三點(diǎn)共線(xiàn)，即可得出結(jié)論；由得出四邊形daef是矩形；再由ab=acbc得出四邊形daef是菱形，即可得出結(jié)論【解答】（1）證明：abd、bce、ace是等邊三角形，ac=ce=ae，ab=ad=bd，bc=cf=bf，bcf=ace=60，bca=fce=60acf，在bca和fce中，bcafce（sas），ef=ba=ad，同理：df=ac=ae，四邊形daef是平行四邊形；（2

9、）解：當(dāng)a=150時(shí)，四邊形daef是矩形，理由如下：abd、ace是等邊三角形，dab=eac=60，dae=3606060150=90，四邊形daef是平行四邊形，四邊形daef是矩形，故答案為：=150；當(dāng)bac=60時(shí)，以d、a、e、f為頂點(diǎn)的四邊形不存在；理由如下：bac=60，bad=cae=60，點(diǎn)d、a、e共線(xiàn)，以d、a、e、f為頂點(diǎn)的四邊形不存在；故答案為：bac=60；當(dāng)abc滿(mǎn)足bac=150，且ab=acbc時(shí)，四邊形daef是正方形，理由如下：由得：當(dāng)bac=150時(shí)，四邊形daef是矩形；當(dāng)ab=ac時(shí)，由（1）得：ef=ab=ad，df=ac=ae，ab=ac，a

10、d=ae，四邊形daef是平行四邊形，四邊形daef是菱形，四邊形daef是正方形故答案為：bac=150，ab=ac【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定以及正方形的判定；解此題的關(guān)鍵是求出ef=ba=ad，df=ac=ae，主要考查了學(xué)生的推理能力試題、（2011嘉興）以四邊形abcd的邊ab、bc、cd、da為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為e、f、g、h，順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形efgh（1）如圖1，當(dāng)四邊形abcd為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形efgh是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形abcd為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形e

11、fgh的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形abcd為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)adc=（090），試用含的代數(shù)式表示hae；求證：he=hg；四邊形efgh是什么四邊形？并說(shuō)明理由【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到e=f=g=h=90，求出四邊形是矩形，根據(jù)勾股定理求出ah=hd=ad，dg=gc=cd，cf=bf=bc，ae=be=ab，推出ef=fg=gh=eh，根據(jù)正方形的判定推出四邊形efgh是正方形即可；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，bad=180，根據(jù)had和eab是等腰直角三角形，得到had=eab=45，求出hae即可；根據(jù)aeb和dgc是等腰直角三角形，得出ae=

12、ab，dg=cd，平行四邊形的性質(zhì)得出ab=cd，求出hdg=90+a=hae，根據(jù)sas證haehdg，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出he=hg；與證明過(guò)程類(lèi)似求出gh=gf，fg=fe，推出gh=gf=ef=he，得出菱形efgh，證haehdg，求出ahd=90，ehg=90，即可推出結(jié)論【解答】（1）解：四邊形efgh的形狀是正方形（2）解：hae=90+，在平行四邊形abcd中abcd，bad=180adc=180，had和eab是等腰直角三角形，had=eab=45，hae=360hadeabbad=3604545（180a）=90+，答：用含的代數(shù)式表示hae是90+證明：aeb和

13、dgc是等腰直角三角形，ae=ab，dg=cd，在平行四邊形abcd中，ab=cd，ae=dg，ahd和dgc是等腰直角三角形，hda=cdg=45，hdg=hda+adc+cdg=90+=hae，ahd是等腰直角三角形，ha=hd，haehdg，he=hg答：四邊形efgh是正方形，理由是：由同理可得：gh=gf，fg=fe，he=hg，gh=gf=ef=he，四邊形efgh是菱形，haehdg，dhg=ahe，ahd=ahg+dhg=90，ehg=ahg+ahe=90，四邊形efgh是正方形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)正方形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，

14、平行線(xiàn)的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵二、 正方形與矩形綜合試題、（2013海安縣校級(jí)模擬）正方形abcd，矩形efgh均位于第一象限內(nèi)，它們的邊平行于x軸或y軸，其中，點(diǎn)a，e在直線(xiàn)om上，點(diǎn)c，g在直線(xiàn)on上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（3，3），正方形abcd的邊長(zhǎng)為1若矩形efgh的周長(zhǎng)為10，面積為6，則點(diǎn)f的坐標(biāo)為（7，5），（8，5）【分析】由a的坐標(biāo)為（3，3），正方形abcd的邊長(zhǎng)為1得出直線(xiàn)om的解析式，再求出c點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)on的解析式；設(shè)矩形efgh的寬為a，則長(zhǎng)為5a，再根據(jù)面積為6即可得出a的值，由點(diǎn)e在直線(xiàn)om上設(shè)點(diǎn)e

15、的坐標(biāo)為（e，e），由矩形的邊長(zhǎng)可用e表示出f、g點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)g點(diǎn)在直線(xiàn)on上得出e的值，即可得出結(jié)論【解答】解：a的坐標(biāo)為（3，3），直線(xiàn)om的解析式為y=x，正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，c（4，2），設(shè)直線(xiàn)on的解析式為y=kx（k0），2=4k，解得k=，直線(xiàn)on的解析式為：y=x；設(shè)矩形efgh的寬為a，則長(zhǎng)為5a，矩形efgh的面積為6，a（5a）=6，解得：a=2或a=3，當(dāng)a=2即ef=2時(shí)，eh=52=3，點(diǎn)e在直線(xiàn)om上，設(shè)點(diǎn)e的坐標(biāo)為（e，e），f（e，e2），g（e+3，e2），點(diǎn)g在直線(xiàn)on上，e2=（e+3），解得：e=7，f（7，5）；當(dāng)a=3即ef=3時(shí)，eh=

16、53=2，點(diǎn)e在直線(xiàn)om上，設(shè)點(diǎn)e的坐標(biāo)為（e，e），f（e，e3），g（e+2，e3），點(diǎn)g在直線(xiàn)on上，e3=（e+2），解得：e=8，f（8，5）故答案為：（7，5），（8，5）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)解析式的求法；根據(jù)題意得出直線(xiàn)on的解析式是解答此題的關(guān)鍵，在解答時(shí)要注意進(jìn)行分類(lèi)討論試題、（2016春江陰市月考）如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)p在ad上，且不與a、d重合，bp的垂直平分線(xiàn)分別交cd、ab于e、f兩點(diǎn)，垂足為q，過(guò)e作ehab于h（1）求證：hf=ap；（2）若正方形abcd的邊長(zhǎng)為12，ap=4，求線(xiàn)段af的長(zhǎng)【分析】（1）由正方形的性質(zhì)和已

17、知條件可分別證明feh=pba，ab=he，進(jìn)而可證明abphef，由全等三角形的性質(zhì)即可得到hf=ap；（2）連接，設(shè)af=x，則pf=bf=12x，在apf中利用勾股定理可得：42+x2=（12x）2，解方程求出x的值即可【解答】解：（1）efbp，ehab，feh+emq=90=pba+bmh，又qme=bmh，feh=pba，四邊形abcd是正方形，a=d=90，ab=ad，ehab，eha=90=a=d，四邊形adeh是矩形，ad=eh，又ab=ad，ab=eh，在abp與hef中，abphef（asa），ap=fh；（2）連結(jié)pf，ef垂直平分bp，pf=bf，設(shè)af=x，則pf=

18、bf=12x，在apf中，42+x2=（12x）2，x=，af=【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，熟知正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵試題、（2015春霸州市期末）如圖，abc中，點(diǎn)o為ac邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)o作直線(xiàn)mnbc，設(shè)mn交bca的外角平分線(xiàn)cf于點(diǎn)f，交acb內(nèi)角平分線(xiàn)ce于e（1）試說(shuō)明eo=fo；（2）當(dāng)點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形aecf是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若ac邊上存在點(diǎn)o，使四邊形aecf是正方形，猜想abc的形狀并證明你的結(jié)論【分析】（1）根據(jù)ce平分acb，mnbc，找到相等的角

19、，即oec=ecb，再根據(jù)等邊對(duì)等角得oe=oc，同理oc=of，可得eo=fo（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答【解答】解：（1）ce平分acb，ace=bce，mnbc，oec=ecb，oec=oce，oe=oc，同理，oc=of，oe=of（2）當(dāng)點(diǎn)o運(yùn)動(dòng)到ac中點(diǎn)處時(shí)，四邊形aecf是矩形如圖ao=co，eo=fo，四邊形aecf為平行四邊形，ce平分acb，ace=acb，同理，acf=acg，ecf=ace+acf=（acb+acg）=180=90，四邊形aecf是矩形（3）abc是直角三角形四邊形aecf是正方形，a

20、cen，故aom=90，mnbc，bca=aom，bca=90，abc是直角三角形【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用平行線(xiàn)的性質(zhì)“等角對(duì)等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對(duì)（3）進(jìn)行判斷解答時(shí)不僅要注意用到前一問(wèn)題的結(jié)論，更要注意前一問(wèn)題為下一問(wèn)題提供思路，有相似的思考方法是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用試題、（2015春萬(wàn)州區(qū)期末）如圖，在正方形abcd中，點(diǎn)e、f、g、h分別在四邊上，ehbc，gfab，eh與fg交于點(diǎn)o，且ae=ag，若ae比ch長(zhǎng)2，bof的面積為（1）求正方形abcd的面積；（2）設(shè)ae=a，be=b，求代數(shù)式a4+b4的值【分析】（

21、1）根據(jù)四邊形abcd是正方形，得到adbc，ad=bc，abcd，ab=cd，由于ehbc，gfab，得出四邊形aeog是正方形，四邊形aehd，ebfo，gohd是矩形，根據(jù)bof的面積為，得到矩形ebfo的面積=3，設(shè)ae=oe=dh=x，be=ch=y，列出，即可得到結(jié)果；（2）由（1）求得ae=3，be=1，代入即可得到結(jié)果【解答】解：（1）四邊形abcd是正方形，adbc，ad=bc，abcd，ab=cd，ehbc，gfab，四邊形aeog是正方形，四邊形aehd，ebfo，gohd是矩形，ae=dh，be=ch，bof的面積為，矩形ebfo的面積=3，設(shè)ae=oe=dh=x，be

22、=ch=y，aee=3，be=1，ab=ae+be=4，正方形abcd的面積=44=16；（2）由（1）求得ae=3，be=1，a=3，b=1，a4+b4=34+11=82【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，正方形的面積，三角形的面積，充分利用已知條件列方程組求出各線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵試題、（2015春冷水江市校級(jí)期末）如圖，矩形abcd和正方形ecgf其中e、h分別為ad、bc中點(diǎn)連結(jié)af、hg、ah（1）求證：af=hg；（2）求證：fad=ghc；（3）試探究fah與afe的關(guān)系【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和已知得出ae=hc，aehc，求出四邊形ahce為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)

23、得出ah=ec，ahec，求出四邊形ahgf是平行四邊形，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線(xiàn)得出fah+ahg=180，求出dah=ahb，根據(jù)ahb+ahg+ghc=180即可得出答案；（3）過(guò)a點(diǎn)作amef，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出maf=afe，求出maah，根據(jù)垂直得出maf+fah=90，即可得出答案【解答】（1）證明：四邊形abcd是矩形，且e、h分別為ad、bc的中點(diǎn)，ae=hc，aehc，四邊形ahce為平行四邊形，ah=ec，ahec，又四邊形ecgf為正方形，ec=fg，ecfg，ah=fg，ahfg，四邊形ahgf是平行四邊形，ah=fg；（2）證明：四邊形ahgf是平行四邊形，

24、fah+ahg=180，四邊形abcd是矩形，adbc，dah=ahb，又ahb+ahg+ghc=180，fad=ghc；（3）fah+afe=90，證明：過(guò)a點(diǎn)作amef，則maf=afe，amef，ahec，feec，maah，maf+fah=90，fah+maf=90【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵三、 正方形與菱形綜合試題、（2012深圳模擬）如圖，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，以對(duì)角線(xiàn)bd為邊作菱形befd，點(diǎn)c、e、f在同一直線(xiàn)上（1）求ebc的度數(shù)；（2）求ce的長(zhǎng)【分析】（1）首先連接ac交bd于點(diǎn)o，

25、過(guò)點(diǎn)e作ehbd于點(diǎn)h，由正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，四邊形befd是菱形，易求得be=bd=2，由bdef，可求得eh=oc=，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得ebc的度數(shù)；（2）首先過(guò)點(diǎn)e作egbc，交bc的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)g，即可得ecg是等腰直角三角形，然后設(shè)eg=cg=x，在rtbeg中，由be2=bg2+eg2，可得方程：（2）2=（2+x）2+x2，解此方程即可求得eg的長(zhǎng)，繼而求得ce的長(zhǎng)【解答】解：（1）連接ac交bd于點(diǎn)o，過(guò)點(diǎn)e作ehbd于點(diǎn)h，正方形abcd的邊長(zhǎng)為2，bd=ac=2，acbd，oc=ac=，四邊形befd是菱形，be=bd=2，bdef，點(diǎn)c、e、f在同一直線(xiàn)上，e

26、h=oc=，在rtbeh中，sinebh=，ebh=30，ebc=dbcebh=4530=15；（2）過(guò)點(diǎn)e作egbc，交bc的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)g，bdef，ecg=dbc=45，ecg是等腰直角三角形，eg=cg，設(shè)eg=x，則bg=bc+cg=2+x，在rtbeg中，be2=bg2+eg2，即（2）2=（2+x）2+x2，即2x2+4x4=0，解得：x=1或x=1（舍去），eg=1，ce=eg=（1）=【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及勾股定理的知識(shí)此題難度較大，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用試題、（2013春莒南縣期末）如圖，正方形abcd的

27、邊長(zhǎng)為2，以對(duì)角線(xiàn)ac為一邊作菱形aefc，af于bc交于g點(diǎn)，則bce的度數(shù)與be的長(zhǎng)分別為（）a30、b30、c22.5、d22.5、【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角可得bac=acb=45，根據(jù)菱形的四條邊都相等可得ac=ae，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出ace，然后根據(jù)bce=aceacb計(jì)算即可得解；再根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)等于邊長(zhǎng)的倍求出ae=ac，然后根據(jù)be=aeab計(jì)算即可得解【解答】解：在正方形abcd中，bac=acb=45，四邊形aefc是菱形，ac=ae，ace=（180bac）=（18045）=67.5，bce=aceacb=67.545=22.5，正方形ab

28、cd的邊長(zhǎng)為2，ae=ac=2，be=aeab=22故選c【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記兩圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵試題、（2015春遂寧期末）如圖，正方形abcd的對(duì)角線(xiàn)ac是菱形aefc的一邊，則fab的度數(shù)為22.5【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出bac=45，再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角解答即可【解答】解：四邊形abcd是正方形，bac=45，四邊形aefc是菱形，fab=bac=45=22.5故答案為：22.5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角，菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵試題、（2014重慶校級(jí)二模）如圖，已

29、知正方形abcd的邊長(zhǎng)為3，菱形efgh的三個(gè)頂點(diǎn)e、g、h分別落在正方形的邊ab、cd、da上，ah=1，則gc長(zhǎng)度的取值范圍是3gc3【分析】由菱形邊長(zhǎng)來(lái)確定gc長(zhǎng)度的取值范圍【解答】解：ah=1，he的最大值為=，此時(shí)dg=，此時(shí)gc=3，當(dāng)g與點(diǎn)d重合時(shí)，菱形的邊最小，3gc3故答案為：3gc3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由菱形邊長(zhǎng)來(lái)確定gc長(zhǎng)度的取值范圍試題、（2014春椒江區(qū)校級(jí)期中）如圖，abcd是正方形，e是cf上一點(diǎn)，若dbef是菱形，則ebc=15【分析】過(guò)d作dg垂直于cf，垂足為g，由正方形的性質(zhì)可得出正方形的四條邊相等，且四個(gè)角為直角，

30、三角形bcd為等腰直角三角形，可得出bdc與dbc都為45，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理求出bd的長(zhǎng)為，即菱形的四條邊為，由dg與fc垂直，且bd與ef平行，可得bd垂直于dg，進(jìn)而得到cdg為45，即三角形dcg為等腰直角三角形，由dc的長(zhǎng)為1，可求出dg為，在直角三角形dfg中，由dg為df的一半，得到f為30，再根據(jù)菱形的對(duì)角相等，可得dbe為30，由ebc=dbcdbe求出度數(shù)即可【解答】解：過(guò)d作dgcf，垂足為g，如圖所示：四邊形abcd為正方形，cbd=cdb=45，bcd=90，設(shè)正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，即ab=bc=cd=ad=1，根據(jù)勾股定理得：bd=，四邊形befd

31、為菱形，be=ef=df=bd=，又bdef，dgfc，bddg，即bdg=90，cdg=bdgbdc=9045=45，又dgc=90，dcg為等腰直角三角形，又dc=1，dg=dcsin45=，又df=，在rtdfg中，由dg=df，f=30，dbe=30，則ebc=dbcdbe=4530=15故答案是：15【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)dg是本題的突破點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)D形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵試題、（2015荊州）如圖1，在正方形abcd中，p是對(duì)角線(xiàn)bd上的一點(diǎn)，點(diǎn)e在ad的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且pa=pe，pe交cd于f（1）證

32、明：pc=pe；（2）求cpe的度數(shù)；（3）如圖2，把正方形abcd改為菱形abcd，其他條件不變，當(dāng)abc=120時(shí)，連接ce，試探究線(xiàn)段ap與線(xiàn)段ce的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由【分析】（1）先證出abpcbp，得pa=pc，由于pa=pe，得pc=pe；（2）由abpcbp，得bap=bcp，進(jìn)而得dap=dcp，由pa=pc，得到dap=e，dcp=e，最后cpf=edf=90得到結(jié)論；（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結(jié)論【解答】（1）證明：在正方形abcd中，ab=bc，abp=cbp=45，在abp和cbp中，abpcbp（sas），pa=pc，pa=pe，pc=pe；（2）由

33、（1）知，abpcbp，bap=bcp，dap=dcp，pa=pe，dap=e，dcp=e，cfp=efd（對(duì)頂角相等），180pfcpcf=180dfee，即cpf=edf=90；（3）在菱形abcd中，ab=bc，abp=cbp=60，在abp和cbp中，abpcbp（sas），pa=pc，bap=bcp，pa=pe，pc=pe，dap=dcp，pa=pc，dap=aep，dcp=aepcfp=efd（對(duì)頂角相等），180pfcpcf=180dfeaep，即cpf=edf=180adc=180120=60，epc是等邊三角形，pc=ce，ap=ce【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形

34、的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出abp=cbp是解題的關(guān)鍵四、 正方形與正方形綜合試題、（2016貴陽(yáng)模擬）將五個(gè)邊長(zhǎng)都為2cm的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)a、b、c、d分別是四個(gè)正方形的中心，則圖中四塊陰影面積的和為（）a2cm2b4cm2c6cm2d8cm2【分析】連接ap、an，點(diǎn)a是正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，則ap=an，apf=ane=45，易得pafnae，進(jìn)而可得四邊形aenf的面積等于nap的面積，同理可得答案【解答】解：如圖，連接ap，an，點(diǎn)a是正方形的對(duì)角線(xiàn)的交則ap=an，apf=ane=45，paf+fan=fan+nae=90，paf=n

35、ae，pafnae，四邊形aenf的面積等于nap的面積，而nap的面積是正方形的面積的，而正方形的面積為4，四邊形aenf的面積為1cm2，四塊陰影面積的和為4cm2故選b【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線(xiàn)所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等要注意旋轉(zhuǎn)的三要素：定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)中心；旋轉(zhuǎn)方向；旋轉(zhuǎn)角度試題、現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)等于a（a16）的正方形紙片，從距離正方形的四個(gè)頂點(diǎn)8cm處，沿45角畫(huà)線(xiàn)，將正方形紙片分成5部分，則陰影部分是正方形（填寫(xiě)圖形的形狀）（如圖），它的一邊長(zhǎng)是cm【分析】延長(zhǎng)小正方形的一邊交大正方形于一點(diǎn)，連接此點(diǎn)與距大正方形頂點(diǎn)8cm處的點(diǎn)

36、，構(gòu)造直角邊長(zhǎng)為8的等腰直角三角形，將小正方形的邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)來(lái)求解即可【解答】解：如圖，作ab平行于小正方形的一邊，延長(zhǎng)小正方形的另一邊與大正方形的一邊交于b點(diǎn)，abc為直角邊長(zhǎng)為8cm的等腰直角三角形，ab=ac=8，陰影正方形的邊長(zhǎng)=ab=8 cm故答案為：正方形， cm【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)與勾股定理的知識(shí)，題目同時(shí)也滲透了轉(zhuǎn)化思想試題、已知，正方形cefg的邊gc在正方形abcd的邊cd上，延長(zhǎng)cd到h，使dh=ce，k在bc邊上，且bk=ce，求證：四邊形akfh為正方形【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出ab=bc=cd=ad，bad=dcb=b=adc=90，

37、gce=e=gfe=cgf=90，求出adh=hgf=e=b=90，bk=gf=dh=ef，ke=gh=ab=ad，證abkkefhgfadh，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出ak=kf=hf=ah，bak=had，求出hak=bad=90，根據(jù)正方形的判定得出即可【解答】證明：四邊形abcd和四邊形cefg是正方形，ab=bc=cd=ad，bad=dcb=b=adc=90，gce=e=gfe=cgf=90，adh=hgf=e=b=90，dh=ce，bk=ce，bk=gf=dh=ef，ke=gh=ab=ad，在abk、kef、hgf、adh中abkkefhgfadh，ak=kf=hf=ah，bak=h

38、ad，bad=90，hak=had+dak=bak+dak=bad=90，四邊形akfh為正方形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出abkkefhgfadh，注意：有一個(gè)角是直角的菱形是正方形試題、（2013歷城區(qū)一模）如圖，四邊形abcd、defg都是正方形，連接ae、cg，ae與cg相交于點(diǎn)m下列結(jié)論：ae=cg，aecg，dmge，om=od，dme=45正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）a2個(gè)b3個(gè)c4個(gè)d5個(gè)【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得ad=cd，de=dg，adc=edg=90，然后求出ade=cdg，再利用“邊角邊”證明ade和cdf全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ae=cg，判定正確；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得1=2，再求出meg+mge=deg+dge=90，然后求出emg=90，判定正確；根據(jù)直