北師大版初中數(shù)學九年級下冊《圓的對稱性》教案設(shè)計

1、課 題：第三章 第2節(jié)圓的對稱性（1）課 型：新授課教學目標：1. 理解圓的對稱性（軸對稱）及有關(guān)性質(zhì).（重點） 2理解垂徑定理及推論，并會運用其解決有關(guān)問題(難點)教法與學法指導：這節(jié)課主要通過“找圓心”等問題情境激發(fā)學生探究的興趣和熱情，經(jīng)歷“操作實踐大膽猜測-綜合證明-靈活應用”的課堂模式，在探究垂徑定理過程中，讓學生領(lǐng)會數(shù)學的嚴謹性，并培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，勇于探索的精神.課前準備：制作課件，學生預習學案.教學過程：一、情景導入 明確目標組織教學：準備，給每一位同學發(fā)放圓形紙片（用化學濾紙）；并提出問題，(問題1) 通過上節(jié)課車輪為什么是圓形的學習，認識了圓的基本概念,這是一張圓形紙

2、片,你有什么辦法找出它的圓心呢？學生活動 ：學生憑借經(jīng)驗很容易想到用兩次折疊的方法，找到圓心.師：同學們上一節(jié)課,我們學習了圓的基本概念，知道，半徑定圓的大小，圓心定圓的位置.下面，請一位同學到前面演示自己找圓心的過程.學生演示：師：（問題2） 在折疊的過程中，你從中還知道圓具有什么性質(zhì)?生1：老師，圓是對稱圖形，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.師：很好，同學們觀察的很認真，這節(jié)課，我們重點研究圓的軸對稱性，那么，圓的對稱軸是怎樣的直線，有多少條對稱軸？生2：老師，圓的對稱軸是直徑，它有無數(shù)條對稱軸.師：同學們，這位同學回答的對嗎？生3：不正確，對稱軸應該是直線，而直徑是線段，應該說，對稱軸

3、是直徑所在的直線，或者是過圓心的直線.教師活動：進行鼓勵表揚并板書，3.2 圓的對稱性（1）圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線.設(shè)計意圖：問題可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，而興趣又是最好的老師.通過設(shè)計一連串的問題情境容易引發(fā)學生學習和探究的興趣，在動手操作中既復習圓的意義，又探索到圓的對稱性.二、自主學習 合作探究：探究活動一：圓的基本概念（讓學生注意觀察動畫課件）學案(問題3)：（1）什么是弦？什么是弧？如何區(qū)別？怎么表示？（2）弧與弦分別可以分成幾類？它們?nèi)绾螀^(qū)分？ 學情預設(shè)：可能出現(xiàn)的情形一：學生看書后能理解弦、弧、優(yōu)弧、劣弧及半圓的意義，但是難以區(qū)別異同，如：弦是

4、線段，弧是曲線段；直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧情形二：學生寫出的弧可能重復或遺漏，不能掌握“優(yōu)弧與劣弧成對出現(xiàn)”的規(guī)律.情形三：優(yōu)弧的表示方法.以上若學生不能討論總結(jié)得出，則需要老師引導得出結(jié)論.學生活動：學生在預習的前提下邊觀察圖形演示邊獨立思考，再在四人小組間交流討論.教師活動：參與學生的討論，注意收集信息，以便及時補充，然后提問.生1：(1)連接圓上任意兩點的線段叫做弦經(jīng)過圓心的弦叫直徑. 圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧;直徑的兩個端點把圓分成兩個部分，每一部分叫做半圓.大于半圓弧叫優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.生2：弦是線段，弧

5、是曲線段.弧的表示方法是在兩個端點上面添加“符號.生3：弦分為過圓心的和不過圓心的弦；弧分為劣弧、半圓、優(yōu)弧. 師 同學們總結(jié)的很好，下面，結(jié)合圖形加深認識，并思考，你還可以得出什么性質(zhì).教師活動：引導學生，能不能從它們之間的相互關(guān)系來比較說明. 生4：直徑是弦，但弦不一定是直徑；半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧. 生5：直徑是圓中最大的弦.學生活動:整理好筆記.設(shè)計意圖：讓學生帶著問題探究，加強自主探究的針對性，激發(fā)思考與交流，從而真正掌握它們的本質(zhì)與異同，學會辨證統(tǒng)一、分類討論地解決問題，提高課堂效率.探究活動二：垂徑定理 （問題4）（1）剛才折出的兩條直徑是怎樣的位

6、置關(guān)系？圖中能得出哪些等量關(guān)系？（2）若把ab向上平移到任意位置，成了不是直徑的弦，折疊后猜想：還有與剛才類似的結(jié)論嗎？有哪些方法證明你的猜想正確與否？（3）思考：上述探索過程利用了圓的什么性質(zhì)？還運用了哪些知識？若只證明am=bm，還有什么方法？ （4）把上述發(fā)現(xiàn)歸納成文字語言和幾何語言. 學生活動：拿出圓形紙片,將其對折，得到一條折痕cd,在cd上取一點m，作cd的垂線ab,然后再將圓沿cd對折，觀察，得出結(jié)論.生1：垂直關(guān)系；相等的量有，am=bm, 因為圓沿直線cd對折后，點a與b重合.生2： 若只證明am=bm，還可以用等腰三角形“三線合一”. 證明：連接oa,ob則oa=ob又 c

7、dabam=bm,cd是線段ab的垂直平分線點a和點b關(guān)于直線cd對稱教師活動:引導學生總結(jié)并板書文字語言和幾何語言：垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的（兩條）弧如圖，在o中，即 cd是直徑 am=bm， cdab于m 設(shè)計意圖：用運動變化的觀點體會從特殊到一般研究問題的方法，在折疊中領(lǐng)會定理的證明思路，突出重點、突破難點，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，提高學生的概括、總結(jié)的語言表達能力.探究活動三：垂徑定理的推論議一議：(問題5)同學們，如果把“垂徑定理”中的條件“垂直于弦”與結(jié)論“平分于弦”互換，即：，結(jié)論是否還成立？如果成立，請你說明理由；不成立，請舉反例.學情預設(shè)： 大多

8、數(shù)學生會模仿定理畫圖、折疊、推理后認為是成立的，可能有個別學生會持反對意見，引起一番有意義的討論，老師可以適時地引導.當ab與cd是o的直徑時，互相平分，但不一定垂直！只有當弦ab不是直徑時，結(jié)論才會成立.生1： 成立.oa=ob,am=bm, cdab(三線合一)生2：不一定成立，如圖，當ab是直徑時，cd平分ab，但不垂直ab.只有ab不是直徑時，才成立.師： 同學們討論的非常好，做數(shù)學就是要求我們思維要嚴謹，注意，條件與圖形的統(tǒng)一及多樣性，多畫圖，多分析，多總結(jié).那么這個推論我們應該怎么說？在學生的歸納中，板書.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.（

9、問題6）如果我們繼續(xù)交換條件是否能夠、？學生活動：采取折疊-重合-得出結(jié)論成立.師生共同歸納總結(jié)：由 “直徑、垂直于弦、平分弦、平分優(yōu)弧、平分劣弧”，其中兩個作條件推出另三個結(jié)論.設(shè)計意圖：對教材知識進行適當?shù)淖兪胶屯卣?，讓學生能舉一反三，發(fā)散學生的思維，讓不同層次的學生得到不同的發(fā)展，并體驗數(shù)學的嚴謹性和探究的樂趣，感受合作交流的重要性.（問題7）例題分析例1：如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧cd，點o是弧cd的圓心)，其中cd=600m，e為弧cd上一點，且oecd，垂足為f，ef=90 m求這段彎路的半徑學生活動：觀察示意圖，分析題目的已知和要求的結(jié)果，尋求相互關(guān)系，然后

10、嘗試獨立解答，在與小組其他同學交流，確定解題思路.教師活動:與個別學生交流解題思想方法，讓其上黑板板演過程，并說明為什么這樣解答.生：解：連接oc，設(shè)彎路的半徑是r，則of=(r-90)moecdcf=cd/2=300m（垂徑定理）由勾股定理得oc2=cf2+of2即r2=3002+(r-90)2解得r=545所以，彎路的半徑是545m.設(shè)計意圖:讓學生在實踐中理解垂徑定理應用，在四個量半徑r、弦cd的長、弦心距of長、弓形高ef的長中，任已知兩個量可以求出另兩個量.一題多變，多題歸一，探尋規(guī)律，構(gòu)造直角三角形后通過勾股定理求解，從題海中解脫出來，并培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系

11、.三、歸納總結(jié)，拓展提高師：同學們，我們本節(jié)課學習了垂徑定理及推論，理解了與圓有關(guān)的應用，你有收獲，或者是疑慮問題，交流一下.學生活動：有獨立思考，落筆組織語言的，也有相互討論，交流總結(jié)的觀點的，氣氛相當熱烈，各抒己見. 生：老師，如圖，ocab，可不可以使用垂徑定理.師：可以，這條線（或線段）過圓心，就可以作為直徑使用，同時，過圓心作弦的垂線是今后解答圓的問題的常用輔助線，在以后的學習中，注意體會和總結(jié).設(shè)計意圖: 用問題形式引導學生回顧總結(jié)學習過程，使知識系統(tǒng)化，學會提煉其中蘊含的數(shù)學思想方法，且能夠靈活應用；學會自我反思，養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣.課堂檢測:1.已知o的半徑為5，弦ab的長

12、為6 ，則這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為_.考察知識點：理解垂徑定理的意義，會構(gòu)造符合定理的基本圖形，來解決問題.答案提示：解：過o點作ab的垂線，垂足是d，且與弧ab交于點c,連接oa,ocabd是ab的中點，c是弧ab的中點，dc=5-4=1所以，這條弦的中點到弦所對劣弧中點的距離為12.兩個同心圓中，大圓的弦ab交小圓于c、d，若ab=4，cd=2，圓心到ab的距離為l，則大圓的與小圓的半徑之比為_.考察知識點：理解垂徑定理的使用，加深認識輔助線“弦心距和半徑”經(jīng)常是成對構(gòu)造的，以便構(gòu)造直角三角形，解決問題.答案提示：解：則大圓的與小圓的半徑之比為3. 儲油罐的截面如圖所示，裝入一

13、些油后，若油面寬ab=600mm，求油的最大深度考察知識點：主要是檢測垂徑定理在生活中的應用，解決此類問題的關(guān)鍵是畫出示意圖，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題解答.答案提示：由垂徑定理知，油最大深度=325-125=200（mm）4已知：如圖，o 中， ab為 弦，c 為 ab 的中點，oc交ab 于d ，ab = 6cm ，cd = 1cm. 求o 的半徑oa. 考察知識點：數(shù)學方法的綜合應用，主要是方程知識與圖形解答的結(jié)合.答案提示：解：設(shè)o的半徑為r在直角三角形aod中，所以，r=5cmoa=5cm學情預設(shè)：部分同學可以當堂完成，教師，當堂批改，及時知道學生的解答情況；部分同學需要老師的引導，才能完成解答

14、.教師活動：通過檢查，關(guān)鍵看學生的圖形構(gòu)造，是否能夠利用半徑和弦心距構(gòu)造出直角三角形，運用勾股定理解決問題.設(shè)計意圖：通過例題的分析學習，讓學生體會數(shù)學學習要善于構(gòu)造圖形，解決問題;進一步理解，為了應用條件和已有的性質(zhì)定理，需要添加輔助線來完善圖形，從而培養(yǎng)學生良好的學習習慣.板書設(shè)計：3.2圓的對稱性（1）一、圓的對稱性 二、垂徑定理 三、垂徑定理的推論及應用圓是軸對稱圖形， 垂直于弦的直徑平分這條弦 例題解答 對稱軸是任意一條過 并且平分弦所對的（兩條）弧圓心的直線， 教學反思：圓的對稱性是一節(jié)操作性較強的課，所以，我在教學中首先創(chuàng)設(shè)“找圓心”情境，讓學生感到新穎、有趣同時又注重了垂徑定理及推論的發(fā)生、發(fā)展和應用過程的教學；再以連貫的問題串形式步步深入，層層推進學生思考，有效激活學