因式分解知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載知識(shí)梳理1. 因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式，這種變形 叫因式分解。 即：多項(xiàng)式T幾個(gè)整式的積111 例：一 ax + - bx = - x(a + b) 333因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種恒等變形，是整式乘法的逆 過程。2. 因式分解的方法:(1) 提公因式法:定義：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式 提到括號外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式，這個(gè)變形就 是提公因式法分解因式。公因式：多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有的相同的因式。公因式可以是一個(gè)數(shù)字或字母，也可以是一個(gè)單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。系數(shù)一一取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母一一取各項(xiàng)都含有的字母 指數(shù)一一取相同字母的

2、最低次冪例：12a3b3c-8a3b2c3 +6a4b2c2 的公因式是 解析：從多項(xiàng)式的系數(shù)和字母兩部分來考慮，系數(shù)部分分別是12、-8、6,它們的最大公約數(shù)為2;字母部分a3b3c,a3b2c3, a4b2c2都含有因式a3b2c，故多項(xiàng)式的公因式是 2a3b2c.提公因式的步驟 第一步：找出公因式;第二步：提公因式并確定另一個(gè)因式，提公因式時(shí)，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的 另一個(gè)因式。注意：提取公因式后，對另一個(gè)因式要注意整理并化簡，務(wù)必使因式最簡。多項(xiàng)式中第一項(xiàng)有負(fù)號的，要先提 取符號。例 1：把 12a2b - 18ab2 - 24a3b3 分解因式.解析：本題

3、的各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是 6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式為6ab。解：12a2bT8ab2-24a3b3-6ab(2a- 3b- 4a2b2)例2：把多項(xiàng)式3(X- 4) + x(4 - x)分解因式解析：由于 4-x=-(x-4)，多項(xiàng)式 3(x- 4)+ x(4 - x)可以變形為3(x - 4) - x(x - 4),我們可以發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有公因式(X - 4),所以我們可以提取公因式(X-4)后，再將多項(xiàng)式寫成積的形式.解: 3(x-4) +x(4-x)= 3(x- 4)- x(x- 4)= (3_ x)(x_ 4)2例3:把多項(xiàng)式-X+ 2x分解因式2 2解：-X +2x

4、 = -(x -2x)=-x(x-2)(2) 運(yùn)用公式法定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法。a. 逆用平方差公式：a2 - b2 = (a + b)(a - b)b. 逆用完全平方公式：a2 2ab + b2 = (a b)2c逆用立方和公式：a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2)(拓展)d.逆用立方差公式：a3 -b3 = (a-b)(a2 +ab+ b2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一個(gè)數(shù)、一個(gè)單項(xiàng)式或一個(gè)多項(xiàng)式。 選擇使用公式的方法：主要從項(xiàng)數(shù)上看，若多項(xiàng)式是二項(xiàng)式可考慮平方差公式；若多項(xiàng)式是三項(xiàng)式, 可考

5、慮完全平方公式。2例1：因式分解a 14a+ 49解: a2T4a+49=(a- 7)22 2例 2：因式分解 a + 2a(b + c) + (b + c)2解：a2 + 2a(b + c)+(b+ c)2 = (a+b+c)(3) 分組分解法(拓展) 將多項(xiàng)式分組后能提公因式進(jìn)行因式分解;例：把多項(xiàng)式ab - a + b -1分解因式學(xué)習(xí)好資料歡迎下載2ab- a + b - 1(ab- a)+ (b- 1)a(b- 1)+ (b- 1)= (a+ 1)(b- 1)將多項(xiàng)式分組后能運(yùn)用公式進(jìn)行因式分解例：將多項(xiàng)式a2 - 2ab - 1 + b2因式分解解: a2 - 2ab- 1 + b

6、2= (a2 -2ab+ b2) -1 = (a - b)2 -1 = (a - b + 1)(a - b-1)2(4)十字相乘法(形如 x +(P + q)x+ pq = (x+ p)(x + q)形式的多項(xiàng)式，可以考慮運(yùn)用此種方法)方法：常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)因數(shù)P和q，這兩數(shù)的和p + q為一次項(xiàng)系數(shù)2X+ (p+ q)x+ pqx例：分解因式x2-x-30分解因式X2 + 52x+100補(bǔ)充點(diǎn)詳解補(bǔ)充點(diǎn)詳解我們可以將-30分解成px q的形式，我們可以將100分解成px q的形式,使 p+q=-1, P x q=-30,我們就有 p=-6,使 P+q=52, p x q=100,我們就有p=2

7、,q=5 或 q=-6 ,p=5。q=50或 q=2,p=50。所以將多項(xiàng)式x2+( p+ q)x +pq可以分所以將多項(xiàng)式解為(X + P)(x + q)x +(p +q)x + pq 可以分 解為(X + P)(x + q)= (x-6)(x + 5)x? -x -30X2 +52x +100 =(x +50)(x + 2)3. 因式分解的一般步驟:如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因 此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個(gè)因式

8、都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指 出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi) 因式分解，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的 積的形式。例題解析提公因式法 提取公因式：如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，一般要將公因式 提到括號外面.確定公因式的方法:取多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù);字母（或多項(xiàng)式因式）一一取各項(xiàng)都含有的字母（或多項(xiàng)式因式）的最低次幕.【例11分解因式:2n-H2n卜_亠， 15a(a-b)-10ab(b-a) ( n 為正整數(shù)) 4a2%m6anV（m、n為大于1的自然數(shù)）【鞏固】分解因式:(x-y)2n*_(x-z)(x-y)2n +2(y -x)2n(

9、y -z) , n為正整數(shù).【例21先化簡再求值,y(x + y )+(x + y Jxy) X2，其中 x = 2，【鞏固】求(3x-2)2(2x+1)-(3x-2)(2x +1)2 +x(2x +l)(2-3x)，其中 x=-3學(xué)習(xí)好資料歡迎下載【例3】已2221F-a(a b -c) +b( c -a + b) +- c(2b +2c 2a)的值.33333【鞏固】分x3(x +y -z)(y + z -a) + Xz(z -x -y) +x2y(z -x -y)(x -z -a).公式法平方差公式：a2 -b2 =(a +b)(a -b)公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號相反; 每一項(xiàng)都可以化成某個(gè)數(shù)或式的平方形式; 右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個(gè)一次 二項(xiàng)式的積.完全平方公式： a2 +2ab +b2 =(a +b)22c 丄2,.、2a -2ab+b =(a-b)左邊相當(dāng)于一個(gè)二次三項(xiàng)式;左邊首末兩項(xiàng)符號相同且均能寫成某個(gè)數(shù)或式的完全平方式; 左邊中間一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)或式的積的 2倍，符號可正可負(fù); 右邊是這兩個(gè)數(shù)或式的和（或差）