第24屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽

1、第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷（本題共七大題，滿分160 分）一、（ 20 分）如圖所示，一塊長(zhǎng)為L(zhǎng)1.00m 的光滑平板PQ 固定在輕質(zhì)彈簧上端，彈簧的下端與地面固定連接。平板被限制在兩條豎直光滑的平行導(dǎo)軌之間（圖中未畫(huà)出豎直導(dǎo)軌），從而只能地豎直方向運(yùn)動(dòng)。平板與彈簧構(gòu)成的振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)周期T2.00s 。一小球 B 放在光滑的水平臺(tái)面上，臺(tái)面的右側(cè)邊緣正好在平板P 端的正上方，到P 端的距離為h 9.80m 。平板靜止在其平衡位置。水球 B 與平板 PQ 的質(zhì)量相等。 現(xiàn)給小球一水平向右的速度 0 ，使它從水平臺(tái)面拋出。已知小球B 與平板發(fā)生彈性碰撞，碰撞時(shí)間極短，且碰撞過(guò)程中重力

2、可以忽略不計(jì)。要使小球與平板PQ 發(fā)生一次碰撞而且只發(fā)生一次碰撞，0 的值應(yīng)在什么范圍內(nèi)？取 g9.8m/ s2二、（ 25 分）圖中所示為用三角形剛性細(xì)桿AB 、BC 、CD 連成的平面連桿結(jié)構(gòu)圖。AB和 CD 桿可分別繞過(guò) A 、D 的垂直于紙面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，A 、D 兩點(diǎn)位于同一水平線上。BC桿的兩端分別與 AB 桿和 CD 桿相連，可繞連接處轉(zhuǎn)動(dòng)（類似鉸鏈）。當(dāng) AB 桿繞 A 軸以恒定的角速度轉(zhuǎn)到圖中所示的位置時(shí)， AB 桿處于豎直位置。 BC 桿與 CD 桿都與水平方向成 45角，已知 AB 桿的長(zhǎng)度為 l ，BC 桿和 CD 桿的長(zhǎng)度由圖給定。求此時(shí)C 點(diǎn)加速度 ac的大小和方向

3、（用與 CD 桿之間的夾角表示）- 1 -三、（ 20 分）如圖所示，一容器左側(cè)裝有活門K1 ，右側(cè)裝有活塞B，一厚度可以忽略的隔板 M 將容器隔成a、 b 兩室， M 上裝有活門K 2 。容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的。隔板和活塞可用銷釘固定，拔掉銷釘即可在容器內(nèi)左右平移，移動(dòng)時(shí)不受摩擦作用且不漏氣。整個(gè)容器置于壓強(qiáng)為P0、溫度為T 0 的大氣中。初始時(shí)將活塞B 用銷釘固定在圖示的位置，隔板 M 固定在容器PQ 處，使 a、 b 兩室體積都等于V0； K 1 、 K 2 關(guān)閉。此時(shí)，b 室真空，a 室裝有一定量的空氣（容器內(nèi)外氣體種類相同，且均可視為理想氣體），其壓強(qiáng)為4P0 /5，溫度為

4、 T0。已知 1mol 空氣溫度升高1K 時(shí)內(nèi)能的增量為CV ，普適氣體常量為R。1.現(xiàn)在打開(kāi) K 1 ，待容器內(nèi)外壓強(qiáng)相等時(shí)迅速關(guān)閉K 1（假定此過(guò)程中處在容器內(nèi)的氣體與處在容器外的氣體之間無(wú)熱量交換），求達(dá)到平衡時(shí)，a 室中氣體的溫度。2.接著打開(kāi) K 2 ，待 a、 b 兩室中氣體達(dá)到平衡后，關(guān)閉K 2 。拔掉所有銷釘，緩慢推動(dòng)活塞 B 直至到過(guò)容器的PQ 位置。求在推動(dòng)活塞過(guò)程中， 隔板對(duì) a 室氣體所作的功。已知在CV R推動(dòng)活塞過(guò)程中，氣體的壓強(qiáng)P 與體積 V 之間的關(guān)系為 PVCV恒量。四、（ 25 分）圖中 oxy 是位于水平光滑桌面上的直角坐標(biāo)系，在x0的一側(cè)，存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，

5、磁場(chǎng)方向垂直于oxy 平面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。在 x0的一側(cè)，一邊長(zhǎng)分別為 l1 和 l 2 的剛性矩形超導(dǎo)線框位于桌面上，框內(nèi)無(wú)電流， 框的一對(duì)邊與x 軸平行。 線框的質(zhì)量為 m，自感為 L 。現(xiàn)讓超導(dǎo)線框沿x 軸方向以初速度v0 進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，試定量地討論線框以后可能發(fā)生的運(yùn)動(dòng)情況及與初速度v0 大小的關(guān)系。（假定線框在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持超導(dǎo)狀態(tài)）- 2 -五、（ 25分）地球赤道表面附近處的重力加速度為g0 9.8m / s2 ，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小 B03.0 10 5 T ，方向沿經(jīng)線向北。赤道上空的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與r 3 成反比（ r為考察點(diǎn)到地心的距離），方向與赤道附

6、近的磁場(chǎng)方向平行。假設(shè)在赤道上空離地心的距離r 5Re （ Re 為地球半徑）處，存在厚度為 10km 的由等數(shù)量的質(zhì)子和電子的等離子層（層內(nèi)磁場(chǎng)可視為勻強(qiáng)磁場(chǎng)），每種粒子的數(shù)密度非常低，帶電粒子的相互作用可以忽略不計(jì)。已知電子的質(zhì)量me9.1 10 31 kg ，質(zhì)子的質(zhì)量mp1.7 10 27 kg ，電子電荷量為1.610 19 C ，地球的半徑Re6.4 10 6 m 。1.所考察的等離子層中的電子和質(zhì)子一方面作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，另一方面因受地球引力和磁場(chǎng)的共同作用會(huì)形成位于赤道平面內(nèi)的繞地心的環(huán)行電流，試求此環(huán)行電流的電流密度。2.現(xiàn)設(shè)想等離子層中所有電子和質(zhì)子，它們初速度的方向都指向地心

7、，電子初速度的大小 ue1.4104 m/ s ，質(zhì)子初速度的大小uP3.4 102 m / s 。試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明這些電子和質(zhì)子都不可能到到達(dá)地球表面。六、（ 25 分）圖 1 所示為楊氏雙縫干涉實(shí)驗(yàn)的示意圖，取紙面為yz 平面。 y、 z 軸的方向如圖所示。線光源S 通過(guò) z 軸，雙縫S1、 S2 對(duì)稱分布在z 軸兩側(cè)，它們以及屏P 都垂直于紙面。雙縫間的距離為d，光源S 到雙縫的距離為l ，雙縫到屏的距離為D， dD ，dl 。圖 11.從 z 軸上的線光源S 出發(fā)經(jīng) S1、 S2 不同路徑到P0 點(diǎn)的光程差為零，相干的結(jié)果產(chǎn)生一亮紋， 稱為零級(jí)亮紋。為了研究有一定寬度的擴(kuò)展光源對(duì)于干涉條

8、紋清晰度的影響，我們先研究位于軸外的線光源S形成的另一套干涉條紋，S位于垂直于z 軸的方向上且與S平行，兩者相距s ，則由線光源S出發(fā)分別經(jīng) S1、S2 產(chǎn)生的零級(jí)亮紋P0 ，P0與 P0的距離 y _2.當(dāng)光源寬度為的擴(kuò)展光源時(shí)， 可將擴(kuò)展光源看作由一系列連續(xù)的、彼此獨(dú)立的、非相干的線光源組成。 這樣， 各線光源對(duì)應(yīng)的干涉條紋將彼此錯(cuò)開(kāi)，在屏上看到的將是這些干涉條紋的光強(qiáng)相加的結(jié)果，干涉條紋圖像將趨于模糊，條紋的清晰度下降。 假設(shè)擴(kuò)展光源各處發(fā)出的光強(qiáng)相同、波長(zhǎng)皆為。當(dāng) 增大導(dǎo)致零級(jí)亮紋的亮暗將完全不可分辨，則此時(shí)光源的寬度_ _- 3 -3.在天文觀測(cè)中，可用上述干涉原理來(lái)測(cè)量星體的微小角

9、直徑。遙遠(yuǎn)星體上每一點(diǎn)發(fā)出的光到達(dá)地球處都可視為平行光，從星體相對(duì)的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來(lái)的兩組平行光之間的夾角就是星體的角直徑。遙遠(yuǎn)星體的角直徑很小，為測(cè)量如些微小的角直徑，邁克爾遜設(shè)計(jì)了測(cè)量干涉儀，其裝置簡(jiǎn)化為圖2 所示。 M1 、 M2 、 M3 、 M4 是四個(gè)平面反射鏡，它們兩兩平行，對(duì)稱放置，與入射光（a、 a）方向成45角。 S1 和 S2 是一對(duì)小孔，它們之間的距離是d。M1 和 M2 可以同步對(duì)稱調(diào)節(jié)來(lái)改變其中心間的距離h。雙孔屏到觀察屏之間的距離是D。a、 a和 b、 b分別是從星體上相對(duì)著的兩邊緣點(diǎn)發(fā)來(lái)的平行光束。設(shè)光線a、 a垂直雙孔屏和像屏，星光的波長(zhǎng)是，試導(dǎo)出星體上角直徑的計(jì)

10、算式。注：將星體作圓形擴(kuò)展光源處理時(shí)，研究擴(kuò)展光源的線度對(duì)于干涉條紋圖像清晰度的影響會(huì)遇到數(shù)學(xué)困難，為簡(jiǎn)化討論，本題擬將擴(kuò)展光源作寬度為的矩形光源處理。圖 2七、（ 20 分）今年是我國(guó)著名物理學(xué)家、曾任浙江大學(xué)物理系主任的王淦昌先生誕生一百周年。王先生早在1941年就發(fā)表論文，提出了一種探測(cè)中微子的方案：7 Be 原子核可以俘獲原子的 K 層電子而成為7 Li 的激發(fā)態(tài) (7 Li )*，并放出中微子（當(dāng)時(shí)寫(xiě)作 ）：7 Be e ( 7 Li )*，而 ( 7 Li )* 又可以放出光子而回到基態(tài) 7 Li ： ( 7 Li ) * 7Li由于中微子本身很難直接觀測(cè)， 能過(guò)對(duì)上述過(guò)程相關(guān)物理

11、量的測(cè)量， 就可以確定中微子的存在， 1942 年起，美國(guó)物理學(xué)家艾倫（ R.Davis ）等人根據(jù)王淦昌方案先后進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)，初步證實(shí)了中微子的存在。 1953 年美國(guó)人萊因斯（ F.Reines ）在實(shí)驗(yàn)中首次發(fā)現(xiàn)了中微子，萊因斯與發(fā)現(xiàn)輕子的美國(guó)物理學(xué)家佩爾（M.L.Perl）分享了 1995 年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?，F(xiàn)用王淦昌的方案來(lái)估算中微子的質(zhì)量和動(dòng)量。若實(shí)驗(yàn)中測(cè)得鋰核 （ 7 Li ）反沖能量（即7 Li 的動(dòng)能）的最大值ER56.6ev，光子的能量 h0.48 Mev 。已知有關(guān)原子核和電子靜止能量的數(shù)據(jù)為mLi c26533.84Mev； mBe c 26534.19Mev； mec

12、20.51Mev 。設(shè)在第一個(gè)過(guò)程中，7 Be 核是靜止的， K 層電子的動(dòng)能也可忽略不計(jì)。試由以上數(shù)據(jù)，算出的中微子的動(dòng)能P 和靜止質(zhì)量 m 各為多少？- 4 -第 24 屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題參考解答一、參考解答：Bu0如果小球的水平速度比較大，它與平板的第一次碰撞h正好發(fā)生在平板的邊緣Q 處，這時(shí) u0 的值便是滿足題中條件的最大值； 如果小球的水平速度u0 較小，在它與平板QP發(fā)生第一次碰撞后再次接近平板時(shí)，剛好從平板的邊緣Q處越過(guò)而不與平板接觸，這時(shí) u0 的值便是滿足題中條件的最小值設(shè)小球從臺(tái)面水平拋出到與平板發(fā)生第一次碰撞經(jīng)歷的時(shí)間為 t1 ，有h1gt12（ 1）2若碰撞

13、正好發(fā)生在 Q 處，則有Lu0 t1從（ 1）、（ 2）兩式解得的u0 值便是滿足題中條件的最大值，即gu0maxL2h代入有關(guān)數(shù)據(jù)得u0max0.71m/s如果 u0 u0max ，小球與平板的碰撞處將不在 Q 點(diǎn)設(shè)小球第一次剛要與平板碰撞時(shí)在豎直方向的速度為 v1 ，則有v12gh以 v1 、 V1 分別表示碰撞結(jié)束時(shí)刻小球和平板沿豎直方向的速度，由于碰撞時(shí)間極短，在碰撞過(guò)程中，小球和平板在豎直方向的動(dòng)量守恒設(shè)小球和平板的質(zhì)量都是m，則有mv1 = mv1mV1因?yàn)榕鲎彩菑椥缘?，且平板是光滑的，由能量守恒可? mv121 mu02 = 1 mv121 mV1 21 mu0222222解（

14、 6）、（ 7）兩式，得v1 0V1= v12gh碰撞后，平板從其平衡位置以V1 為初速度開(kāi)始作簡(jiǎn)諧振動(dòng)取固定坐標(biāo)，其原點(diǎn)O 與平板處于平衡位置時(shí)板的上表面中點(diǎn)重合，x 軸的方向豎直向下，若以小球和平板發(fā)生碰撞的時(shí)（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）- 5 -刻作為 t0 ，則平板在t 時(shí)刻離開(kāi)平衡位置的位移xPQA cost式中2TA 和是兩個(gè)待定的常量，利用參考圓方法，在t 時(shí)刻平板振動(dòng)的速度vPQAsint因 t0 時(shí)， xPQ0 vPQV ，由（ 9）、（11）、（ 12）式可求得A2gh T22把（ 13）、（14）式代入（ 10）式，得2 gh2xPQT

15、 cost22T碰撞后， 小球開(kāi)始作平拋運(yùn)動(dòng)如果第一次碰撞后，小球再經(jīng)過(guò)時(shí)間t2 與平板發(fā)生第二次碰撞且發(fā)生在 Q 處，則在發(fā)生第二次碰撞時(shí)，小球的x 座標(biāo)為xBt21gt 222平板的 x 座標(biāo)為2ghT cos 2t2xPQ t22T2在碰撞時(shí)，有xBt2xPQt2由（ 16）、（17）、（ 18）式，代入有關(guān)數(shù)據(jù)得4.90t224.41cost22這便是 t2 滿足的方程式，通過(guò)數(shù)值計(jì)算法求解方程可得（參見(jiàn)數(shù)值列表）t20.771s如果第二次碰撞正好發(fā)生在平板的邊緣Q 處，則有Lu0 t1t2由（ 1）、（ 20）和（ 21）式得（ 10）（ 11）（ 12）（ 13）（ 14）（ 15

16、）（ 16）（ 17）（ 18）（ 19）（ 20）（ 21）- 6 -u0L0.46m/st1t2而滿足題中要求的 u0 的最小值應(yīng)大于（22）式給出的值綜合以上討論，u0 的取值范圍是0.46m/su00.71m/s附：（ 19）式的數(shù)值求解用數(shù)值解法則要代入t2 不同數(shù)值，逐步逼近所求值，列表如下：t20.7300.7500.7600.7650.7700.7710.7720.7750.7800.7900.810xPQ 4.41cost23.123.022.962.912.912.902.862.812.702.483.312xB4.90t222.612.762.832.872.912.9

17、12.912.942.983.063.21xPQxB0.700.360.190.0900-0.01-0.08-0.17-0.36-0.73二、參考解答：解法一因?yàn)?B 點(diǎn)繞 A 軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小為v BlB 點(diǎn)的向心加速度的大小為aB2 l因?yàn)槭莿蚪撬俎D(zhuǎn)動(dòng)， B 點(diǎn)的切向加速度為 0，故 aB也是 B 點(diǎn)的加速度， 其方向沿 BA 方向因?yàn)?C 點(diǎn)繞 D 軸作圓周運(yùn)動(dòng)，其速度的大小用vC 表示，方向垂直于桿CD ，在考察的時(shí)刻，由圖可知，其方向沿桿BC 方向因 BC 是剛性桿，所以B 點(diǎn)和 C 點(diǎn)沿 BC 方向的速度必相等，故有v Cv B cos 2l42此時(shí)桿 CD 繞 D 軸按

18、順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)， C 點(diǎn)的法向加速度aCnvC2（ 4）CD由圖可知 CD 2 2l ，由（ 3）、（ 4）式得vCC vCBaC taCn2 2laCn（ 5）BaC8v B其方向沿 CD 方向下面來(lái)分析 C 點(diǎn)沿垂直于桿CD 方向的加速度，即切向加速度ADaCt 因?yàn)?BC 是剛性桿，所以C 點(diǎn)相對(duì) B 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)只能是繞B 的轉(zhuǎn)動(dòng)， C 點(diǎn)相對(duì) B 點(diǎn)的速度方向必垂直于桿BC令 vCB 表示其速度的大小，根據(jù)速度合成公式有（ 22）（ 23）（ 1）（ 2）（ 3）- 7 -vCBvC v B由幾何關(guān)系得vCBvB2v C22 v B2l22由于 C 點(diǎn)繞 B 作圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)B 的向心加

19、速度vCB2aCBCB因?yàn)?CB2l ，故有aCB2 2 l4其方向垂直桿 CD .由（ 2）式及圖可知，B 點(diǎn)的加速度沿BC 桿的分量為aB BCaB cos4所以 C 點(diǎn)相對(duì) A 點(diǎn)（或 D 點(diǎn)）的加速度沿垂直于桿CD 方向的分量aCtaCBaB BC3 22l4C 點(diǎn)的總加速度為 C 點(diǎn)繞 D 點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的法向加速度aCn 與切向加速度 aCt 的合加速度，即aCa2C na2 C t7 42 l8aC 的方向與桿CD 間的夾角（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）（ 10）（ 11）arctan aCtarctan 6 80.54（ 12）aCn解法二：通過(guò)微商求C 點(diǎn)加速度yC以固定點(diǎn)

20、A 為原點(diǎn)作一直角坐標(biāo)系 Axy，Ax 軸與 AD 重合， Ay 與 AD 垂直任意時(shí)刻 t，連桿的位形如圖所示，此時(shí)各桿的位置分別用，和表示，且已知BAB l ， BC2l ，CD2 2l ， AD3l ， d，DxdtAC 點(diǎn)坐標(biāo)表示為xCl cos2l cos（ 1）yCl sin2l sin（ 2）將（ 1）、（ 2）式對(duì)時(shí)間t 求一階微商，得- 8 -dxCld2 sinddtsindtdtdyClcos d2 cosddtdtdt把（ 3）、（ 4）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，得d2 xCd2d22d2l2 cosddt2cossin2dt2 sin2dtdtdtd 2 yCd2d2

21、2d2l2 sinddt 2sincos2dt2 cos2dtdtdt根據(jù)幾何關(guān)系，有CD sinAB sinBC sinCD cosAB cosBC cos3l即22sinsin2sin2 2 cos3cos2cos將（ 7）、（ 8）式平方后相加且化簡(jiǎn)，得2sin sin2 coscos3cos3 2 cos2 0對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求一階微商，代入， d，得24dtd1dt2對(duì)（ 9）式對(duì)時(shí)間 t 求二階微商，并代入上述數(shù)據(jù)，得d232dt28將（ 10）、（11）式以及， d 的數(shù)值代入（5）、（ 6）式，得dtd 2 xC5l2dt28d2 yC7l2dt28所以22aCd 2

22、xCd2 yC74 l 2dt 2dt28由圖知， aC 與 x 軸的夾角為（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）（ 10）（ 11）（ 12）- 9 -d2 yCd2 xC1.4（ 13）tan2dt 2dt所以求得arctan1.454.46這個(gè)夾角在第三象限，為234.46 ，故 aC 與 CD 的夾角=80.54（ 14）三、參考解答：1設(shè) a 室中原有氣體為mol ，打開(kāi) K 1 后，有一部分空氣進(jìn)入a 室，直到 K 1 關(guān)閉時(shí)，a 室中氣體增加到mol ，設(shè) a 室中增加的mol 氣體在進(jìn)入容器前的體積為V ，氣體進(jìn)入 a 室的過(guò)程中，大氣對(duì)這部分氣體所作的功為A

23、 p0V（ 1）用 T 表示 K 1 關(guān)閉后 a 室中氣體達(dá)到平衡時(shí)的溫度，則a 室中氣體內(nèi)能增加量為UCVT T0（2）由熱力學(xué)第一定律可知UA（ 3）由理想氣體狀態(tài)方程，有4p0V0RT0（ 4）5p0 VRT0（ 5）p0V0RT（6）由以上各式解出T5 CVRT0（ 7）5CV4R2 K 2 打開(kāi)后， a 室中的氣體向b 室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無(wú)外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不變（仍為T ），而體積增大為原來(lái)的2 倍由狀態(tài)方程知，氣體壓強(qiáng)變?yōu)?（ 8）pp02關(guān)閉 K 2，兩室中的氣體狀態(tài)相同，即papb p ， TaTb T ， VaVbV0 ，且1（ 9）ab2拔掉銷釘后，緩慢

24、推動(dòng)活塞B ，壓縮氣體的過(guò)程為絕熱過(guò)程，達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，設(shè)兩室氣體的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為pa 、 pb 、 Va 、 Vb 、 Ta、 Tb，則有-10-CVRCVRpaVa CVpa Va CVCVRCVRpbVb CVpbVb CV由于隔板與容器內(nèi)壁無(wú)摩擦，故有papb由理想氣體狀態(tài)方程，則有paVaa RTapbVbb RTb因VaVbV0由（ 8）（ 15）式可得VaVb1 V02RTaTb2CV T在推動(dòng)活塞壓縮氣體這一絕熱過(guò)程中，隔板對(duì)a 室氣體作的功W 等于 a 室中氣體內(nèi)能的增加，即（ 10）（ 11）（ 12）（ 13）（ 14）（ 15）（ 16）（ 17）W由（ 6）、

25、（ 17）和（ 18）式得12CV TaTR（ 18）CVW2R四、參考解答：設(shè)某一時(shí)刻線框在磁場(chǎng)區(qū)域的深度為x x l1 ，速度為 v ，因線框的一條邊切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為EvvBl2 ，它在線框中引起感應(yīng)電流， 感應(yīng)電流的變化又引起自感電動(dòng)勢(shì) 設(shè)線框的電動(dòng)勢(shì)和電流的正方向均為順時(shí)針?lè)较颍?則切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)Ev 與 設(shè) 定 的 正 方 向 相 反 ， 自 感 電 動(dòng) 勢(shì)2CV1 p0V0yl 1v 0l 2xxO（ 19）-11-ELL i 與設(shè)定的正方向相同. 因線框處于超導(dǎo)狀態(tài)，電阻R0 ，故有tLvLivBl 2iR0EEt即iBl 2x0Ltt或Bl 2xL i即

26、iBl 2xL可見(jiàn) i 與 x 成線性關(guān)系，有iBl 2xCLC 為一待定常數(shù)，注意到x 0 時(shí)， i0，可得 C0 ，故有iBl 2xLx 0 時(shí) i 0 ，電流為負(fù)值表示線框中電流的方向與設(shè)定的正方向相反，即在線框進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)右側(cè)邊的電流實(shí)際流向是向上的外磁場(chǎng)作用于線框的安培力f Bl 2iB 2l 22xL其大小與線框位移x 成正比，方向與位移x 相反，具有“彈性力”的性質(zhì)下面分兩種情形做進(jìn)一步分析：（ i）線框的初速度 v 0 較小，在安培力的作用下，當(dāng)它的速度減為0 時(shí)，整個(gè)線框未全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)， 這時(shí)在安培力的繼續(xù)作用下，線框?qū)⒎聪蜻\(yùn)動(dòng)，最后退出磁場(chǎng)區(qū)線框一進(jìn)一出的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)諧

27、振動(dòng)的半個(gè)周期內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)的圓頻率B2l22Lm周期T2 LmB2 l22振動(dòng)的振幅可由能量關(guān)系求得，令xm 表示線框速度減為 0時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的深度，這時(shí)線框的初始動(dòng)能全部轉(zhuǎn)換為“彈性力”的“彈性勢(shì)能”，由能量守恒可得1 mv 021 B2 l22xm222 L得（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（ 9）（ 10）-12-Lm 2xmv02l 22B故其運(yùn)動(dòng)方程為xv 0 Lm sinBl2 t ，t 從 0 到 LmBl2LmBl2半個(gè)周期后，線框退出磁場(chǎng)區(qū)，將以速度v 0 向左勻速運(yùn)動(dòng)因?yàn)樵谶@種情況下xm 的最大值是 l1 ，即1 mv021 B 2 l22

28、 l1222 L由此可知，發(fā)生第（i）種情況時(shí)，v 0 的值要滿足下式1v21B2l 2222m02Ll1即vBl1l20mL(ii) 若線框的初速度 v0 比較大，整個(gè)線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū) 當(dāng)線框剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)，其速度仍大于 0，這要求 v 0 滿足下式（ 11）（ 12）（ 13）（ 14）v0Bl 2 l1mL（ 15）當(dāng)線框的初速度滿足（ 15）式時(shí)，線框能全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域以前，線框的運(yùn)動(dòng)方程與（12）式相同，但位移區(qū)間是x0 到 xl1 ，所以時(shí)間間隔與（12）式不同，而是從0 到t1LmBl1l2arcsinBl2Lmv02因?yàn)榫€框的總電動(dòng)勢(shì)總是為0，所以一旦線框

29、全部進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域，線框的兩條邊都切割磁感應(yīng)線，所產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)之和為0，因而自感電動(dòng)勢(shì)也為0此后線框中維持有最大的電流 i mBl 2l1 ，磁場(chǎng)對(duì)線框兩條邊的安培力的合力等于零，線框?qū)⒃诖艌?chǎng)區(qū)域勻速前進(jìn)，L運(yùn)動(dòng)的速度可由下式?jīng)Q定1 mv021 mv 21 B2 l22 l12222 L即（ 16）-13-vv 02B2l12 l22（ 17）Lm五、參考解答：解法一：1. 由于等離子層的厚度遠(yuǎn)小于地球的半徑，故在所考察的等離子區(qū)域內(nèi)的引力場(chǎng)和磁場(chǎng)都可視為勻強(qiáng)場(chǎng) . 在該區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度R033.010 5BB0-7T（ 1）r125T2.4 10引力加速度R029.8gg0m/s20.3

30、9m/s2（ 2）r25考察等離子層中的某一質(zhì)量為m、電荷量為q、初速z度為 u 的粒子，取粒子所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，作一直角坐標(biāo)系 Oxyz， Ox 軸指向地球中心，Oz 沿磁場(chǎng)方向，如圖1所示 . 該粒子的初速度在坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別為ux、uzy 和 uz. 因作用于粒子的引力沿x 軸正方向，作用于粒子v00uyv0uOuyvy的洛倫茲力與 z 軸垂直，故粒子在z 軸方向不受力作用，沿 z 軸的分速度保持不變. 現(xiàn)設(shè)想在開(kāi)始時(shí)刻，附加給粒uxv子一沿 y 軸正方向大小為v0 的速度， 同時(shí)附加給粒子一沿x圖 1y 軸負(fù)方向大小為v0 的速度， 要求與其中一個(gè)v0 相聯(lián)系的洛倫茲力正好與粒

31、子所受的地球引力相平衡，即qv0 Bmg得mgv0qB（ 3）用 v 表示 ux 與沿 y 軸的速度 u yv0 的合速度（對(duì)質(zhì)子取正號(hào)，對(duì)電子取負(fù)號(hào)），有2vu2xuyv0（ 4）這樣，所考察的粒子的速度可分為三部分：沿 z 軸的分速度 uz 其大小和方向都保持不變，但對(duì)不同的粒子是不同的，屬于等離子層中粒子的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)的速度分量沿 y 軸的速度 v0 對(duì)帶正電的粒子，速度的方向沿y 軸的負(fù)方向，對(duì)帶負(fù)電的粒子，速度的方向沿 y 軸的正方向 與這速度聯(lián)系的洛倫茲力正好和引力抵消，故粒子將以速率 v0-14-沿 y 軸運(yùn)動(dòng)由（ 3）式可知， v0 的大小是恒定的，與粒子的初速度無(wú)關(guān)，且對(duì)同種的

32、粒子相同在 Oxy 平面內(nèi)的速度 v 與這速度聯(lián)系的洛倫茲力使粒子在Oxy 平面內(nèi)作速率為v 的勻速率圓周運(yùn)動(dòng)，若以R 表示圓周的半徑，則有qvBm v2R得mRvqB由（ 4）、（5）式可知， 軌道半徑不僅與粒子的質(zhì)量有關(guān)，而且與粒子的初速度的x 分量 ux 和y 分量 uy 有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的速度方向是隨時(shí)間變化的，在圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)周期內(nèi)的平均速度等于 0由此可見(jiàn)，等離子層內(nèi)電子和質(zhì)子的運(yùn)動(dòng)雖然相當(dāng)復(fù)雜，但每個(gè)粒子都具有由（3）式給出的速度 v0 ，其方向垂直于粒子所在處的地球引力方向，對(duì)電子，方向向西，對(duì)質(zhì)子，方向向東 電子、質(zhì)子這種運(yùn)動(dòng)稱為漂移運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的速度稱為漂移速度漂移運(yùn)動(dòng)是粒子的定向運(yùn)動(dòng)，電子、質(zhì)子的定向運(yùn)動(dòng)就形成了環(huán)繞地球中心的環(huán)形電流由（ 3）式和（ 1）、（ 2）兩式以及有關(guān)數(shù)據(jù)可得電子和質(zhì)子的漂移速度分別為v0e9.210 6 m/s