求不定積分的幾種基本方法

1、求不定積分的幾種基本方法,5.2 求不定積分的幾種基本方法,一、 第一類換元法（湊微分法）,.,先看下例：,例1 求,解,設(shè),則,求不定積分的幾種基本方法,一般地，如果,是,的一個(gè)原函數(shù)，則,而如果,又是另一個(gè)變量,的函數(shù),且,可微，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分法，有,由此得,求不定積分的幾種基本方法,是具有原函數(shù),于是有如下定理：,定理1 設(shè),可導(dǎo)，則,有換元公式,（5-2）,由此可見，一般地，如果積分,不能直接,利用利用基本積分公式計(jì)算，而其被積表達(dá)式,能表示為,的形式，且,較易計(jì)算，那么可令,求不定積分的幾種基本方法,代入后有,這樣就得到了,的原函數(shù).這種積分稱為第一類換元法.,由于在積分過程

2、中，先要從被積表達(dá)式中湊出一個(gè)積分,因子,因此第一類換元法也稱為湊微分法.,例2 求,解,求不定積分的幾種基本方法,再以,代入，即得,例3 求,解 被積函數(shù),可看成,與,構(gòu)成的復(fù)合,函數(shù)，雖沒有,這個(gè)因子，但我們可以湊出這個(gè)因子：,，,如果令,便有,求不定積分的幾種基本方法,，,一般地，對(duì)于積分,總可以作變量代換,，把它化為,求不定積分的幾種基本方法,，,例4 求,解 令,則,求不定積分的幾種基本方法,，,例5 求,解 令,則,有,湊微分與換元的目的是為了便于利用基本積分公式在,比較熟悉換元法后就可以略去設(shè)中間變量和換元的步驟,求不定積分的幾種基本方法,例7 求,例6 求,解,解,求不定積分的

3、幾種基本方法,解,例8 求,求不定積分的幾種基本方法,例9 求,解,類似地可得,求不定積分的幾種基本方法,例10 求,解,求不定積分的幾種基本方法,例11 求,解,類似地可得,求不定積分的幾種基本方法,類似地可得,例12 求,解,例13 求,解,求不定積分的幾種基本方法,第一類換元法有如下幾種常見的湊微分形式:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),求不定積分的幾種基本方法,二、 第二類換元法,第一類換元法是通過變量代換,，將積分,化為積分,第二類換元法是通,過變量代換,，將積分,化為積分,在求出后一個(gè)積分后,再以,反函數(shù),代回去,這樣換元積分公式可

4、表示為:,上述公式的成立是需要一定條件的，首先等式右邊,的不定積分要存在，即被積函數(shù),的,求不定積分的幾種基本方法,有原函數(shù)；其次,的反函數(shù),要存在.我們有下面的定理,定理2 設(shè)函數(shù),連續(xù),單調(diào)、可導(dǎo)，并且,，則有換元公式,(5-3),下面舉例說明公式(5-3)的應(yīng)用,求不定積分的幾種基本方法,例14 求,解 遇到根式中是一次多項(xiàng)式時(shí)，可先通過適當(dāng)?shù)膿Q,元將被積函數(shù)有理化，然后再積分,令,則,，故,求不定積分的幾種基本方法,例15 求,解 令,，則,則有,例16 求,解 為使被積函數(shù)有理化利用三角公式,令,則它是,的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，,具有反函數(shù),且,求不定積分的幾種基本方法,因而,例17 求,解

5、 令,則,于是,求不定積分的幾種基本方法,其中,例18 求,解 被積函數(shù)的定義域?yàn)?令,，這時(shí),故,求不定積分的幾種基本方法,其中,當(dāng),時(shí),可令,類似地可得到相同形式的結(jié)果,以上三例中所作的變換均利用了三角恒等式，稱之為,三角代換，可將將被積函數(shù)中的無理因式化為三角函數(shù),的有理因式一般地，若被積函數(shù)中含有,時(shí)，可,作代換,或,；含有,時(shí)，可作,代換,；含有,時(shí)，可作代換,求不定積分的幾種基本方法,利用第二類換元法求不定積分時(shí)，還經(jīng)常用到倒代換,即,等,例19 求,解 令,則,因此,當(dāng),時(shí)，,有,求不定積分的幾種基本方法,當(dāng),時(shí)，,有,綜合起來，得,在本節(jié)的例題中，有幾個(gè)積分結(jié)果是以后經(jīng)常會(huì)遇到

6、,的所以它們通常也被當(dāng)作公式使用這樣,常用的積分,公式，除了基本積分表中的以外，再添加下面幾個(gè)(其中,常數(shù)a0).,求不定積分的幾種基本方法,(14),(15),(16),(17),(18),(19),(20),求不定積分的幾種基本方法,(21),例20 求,解,利用公式(18)，可得,求不定積分的幾種基本方法,例21 求,解,利用公式(21)，可得,求不定積分的幾種基本方法,三 分部積分法,.,一、 分部積分公式的推導(dǎo),思考：,諸如此類的不定積分，用換元積分法都不能求解,特點(diǎn)： 被積函數(shù)是兩種不同類型的函數(shù)的乘積.,需要用到求不定積分的另一種基本方法分部積分法,設(shè)函數(shù),及,具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)那么，

7、,移項(xiàng)，得,求不定積分的幾種基本方法,對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分，得,（5-4）,公式（5-4）稱為分部積分公式.,如果積分,不易求,而積分,比較容易時(shí),分部積分公式就可用了.,為簡便起見,也可把公式（5-4）寫成下面的形式:,（5-5）,現(xiàn)在通過例子說明如何運(yùn)用這個(gè)重要公式.,求不定積分的幾種基本方法,例22 求,解 由于被積函數(shù),是兩個(gè)函數(shù)的乘積,選其中一,那么另一個(gè)即為,如果選擇,則,個(gè)為,得,如果選擇,則,得,求不定積分的幾種基本方法,上式右端的積分比原積分更不容易求出,由此可見，如果,和,選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果,所以應(yīng)用分部積分法時(shí)，恰當(dāng)選取,和,是關(guān)鍵，,一般以,比,易求出為原則,例

8、23 求,解,求不定積分的幾種基本方法,例24 求,解,由上面的三個(gè)例子知道，如果被積函數(shù)是指數(shù)為正整,數(shù)的冪函數(shù)和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮,用分部積分法，并選擇冪函數(shù)為,經(jīng)過一次積分，就,可以使冪函數(shù)的次數(shù)降低一次,例25 求,解,求不定積分的幾種基本方法,例26,求,解,求不定積分的幾種基本方法,例27 求,解,總結(jié)上面四個(gè)例子可以知道,如果被積函數(shù)是冪函數(shù),和反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的乘積,就可以考慮用分部積分,法,并選擇反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為,一般地,如果被積函數(shù)是兩類基本初等函數(shù)的乘積,在多數(shù)情況下,可按下列順序: 反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、,冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，將排在前面的那類函,數(shù)選作,，后面的那類函數(shù)選作,求不定積