華東師大初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)平行四邊形的判定定理(提高)知識(shí)講解

1、精品文檔用心整理平行四邊形的判定定理（提高）：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.平行四邊形的四個(gè)判定定理及應(yīng)用，會(huì)應(yīng)用判定定理判斷一個(gè)四邊形是不是平行四邊形2.會(huì)綜合應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理解決簡(jiǎn)單的幾何問題【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、平行四邊形的判定1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點(diǎn)詮釋：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊

2、形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).【典型例題】類型一、平行四邊形的判定1、如圖，點(diǎn)a、b、c在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上（小正方形的邊長(zhǎng)為單位1）（1）在圖中確定格點(diǎn)d，并畫出以a、b、c、d為頂點(diǎn)的平行四邊形（2）若以c為原點(diǎn)，bc所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則你確定的點(diǎn)d的坐標(biāo)是_.（【思路點(diǎn)撥】1）分為三種情況：以ac為對(duì)角線時(shí)、以ab為對(duì)角線時(shí)、以bc為對(duì)角線時(shí)，畫出圖形，根據(jù)a、b、c的坐標(biāo)求出即可；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，把y軸向左平移了一個(gè)單位，根據(jù)平移性質(zhì)求出即可【答案與解析】（1）解：從圖中可知a（-3，2），b（-4，0）c（-1，0），以ab為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形

3、acbd1，d1的坐標(biāo)是（-6，2），以ac為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形abcd2，d2的坐標(biāo)是（0，2），以bc為對(duì)角線時(shí)，得出平行四邊形abd3c，d3的坐標(biāo)是（-2，-2），（2）解：以c為原點(diǎn)，bc所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，d的坐標(biāo)是（-1，2），（1，2），（-5，2），資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理故答案為：（-1，2）或（1，2）或（-5，2）【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，注意：一定要進(jìn)行分類討論舉一反三【變式】（2016呼倫貝爾）如圖，分別以abc的直角邊ac及斜邊ab向外作等邊a

4、cd及等邊abe，已知：bac=30，efab，垂足為f，連接df（1）試說明ac=ef；（2）求證：四邊形adfe是平行四邊形【答案】證明：（1）abc中，bac=30，ab=2bc，又abe是等邊三角形，efab，ab=2afaf=bc，在afe和bca中，afebca（hl），ac=ef；（）acd是等邊三角形，dac=60，ac=ad，dab=dac+bac=90又efab，efad，ac=ef，ac=ad，ef=ad，四邊形adfe是平行四邊形2、類比學(xué)習(xí)：一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移1個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為3+（-2）=1若坐標(biāo)平面上的點(diǎn)作如下

5、平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移|a|個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移|b|個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì)a，b叫做這一平移的“平移量”；“平移量”a，b與“平移量”c，d的加法運(yùn)算法則為a，b+c，d=a+c，b+d解決問題：資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（1）計(jì)算：3，1+1，2；1，2+3，1；（2）動(dòng)點(diǎn)p從坐標(biāo)原點(diǎn)o出發(fā)，先按照“平移量”3，1平移到a，再按照“平移量”1，2平移到b；若先把動(dòng)點(diǎn)p按照“平移量”1，2平移到c，再按照“平移量”3，1平移，最后的位置還是點(diǎn)b嗎？在圖1中畫出四邊形oabc證明四邊形oabc是平行四

6、邊形（3）如圖2，一艘船從碼頭o出發(fā)，先航行到湖心島碼頭p（2，3），再從碼頭p航行到碼頭q（5，5），最后回到出發(fā)點(diǎn)o請(qǐng)用“平移量”加法算式表示它的航行過程【思路點(diǎn)撥】（1）本題主要是類比學(xué)習(xí)，所以關(guān)鍵是由給出的例題中找出解題規(guī)律，即前項(xiàng)加前項(xiàng)，后項(xiàng)加后項(xiàng)（2）根據(jù)題中給出的平移量找出各對(duì)應(yīng)點(diǎn)，描出各點(diǎn)，順次連接即可（3）根據(jù)題中的文字?jǐn)⑹隽谐鍪阶樱鶕?jù)（1）中的規(guī)律計(jì)算即可【答案與解析】解：（1）3，1+1，2=4，3；1，2+3，1=4，3（2）畫圖最后的位置仍是b證明：由知，a（3，1），b（4，3），c（1，2）oc=ab=12225，oa=bc=321210，四邊形oabc是平行四

7、邊形（3）從o出發(fā)，先向右平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，可知平移量為2，3，同理得到p到q的平移量為3，2，從q到o的平移量為-5，-5，故有2，3+3，2+-5，-5=0，0【總結(jié)升華】本題考查了幾何變換中的平移變換，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解題目給出的信息，對(duì)于此類題目同學(xué)們不能自己憑空想象著解答，一定要按照題目給出的思路求解，克服思維定勢(shì)舉一反三：【變式】一動(dòng)點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移5個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，相當(dāng)于向右平移3個(gè)單位用實(shí)數(shù)加法表示為5+（-2）=3若平面直角坐標(biāo)系xoy中的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左為負(fù)，平移|a|個(gè)單位），沿y軸方向平移的數(shù)

8、量為b（向上為正，向下為負(fù)，平移|b|個(gè)單位），則把有序數(shù)對(duì)a，b叫做這一平移的“平移量”規(guī)定“平移量”a，b與“平移量”c，d的加法運(yùn)算法則為a，b+c，d=a+c，b+d（1）計(jì)算：3，1+1，2；資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（2）若一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)a（1，1）出發(fā)，先按照“平移量”2，1平移到點(diǎn)b，再按照“平移量”-1，2平移到點(diǎn)c；最后按照“平移量”-2，-1平移到點(diǎn)d，在圖中畫出四邊形abcd，并直接寫出點(diǎn)d的坐標(biāo)；（3）將（2）中的四邊形abcd以點(diǎn)a為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，點(diǎn)b旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)e，連結(jié)ae、be若動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)，沿aeb的三邊ae、eb、ba平移一周請(qǐng)用“平

9、移量”加法算式表示動(dòng)點(diǎn)p的平移過程【答案】解：（1）3，1+1，2=4，3；（2）b點(diǎn)坐標(biāo)為：（1+2，1+1）=（3，2）；c點(diǎn)坐標(biāo)為：（3-1，2+2）=（2，4）；d點(diǎn)坐標(biāo)為：（2-2，4-1）=（0，3）；如圖所示：d（0，3）（3）點(diǎn)a至點(diǎn)e，向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位；點(diǎn)e至點(diǎn)b，向右平移1個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位；點(diǎn)b至點(diǎn)a，向左平移2個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位；故動(dòng)點(diǎn)p的平移過程可表示為：1，-2+1，3+-2，-1資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理3、如圖，平行四邊形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，直線ef經(jīng)過點(diǎn)o，分別與ab，cd的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)e，f求證：四邊

10、形aecf是平行四邊形fdoebo,odob【思路點(diǎn)撥】平行四邊形的判定方法有多種，選擇哪一種解答應(yīng)先分析題目中給的哪一方面的條件多些，本題所給的條件為四邊形abcd是平行四邊形，可證of=oe，oa=oc，根據(jù)條件在圖形中的位置，可選擇利用“對(duì)角線相互平分的四邊形為平行四邊形”來解決【答案與解析】證明：四邊形abcd是平行四邊形，od=ob，oa=oc，abcd，dfo=beo，fdo=ebo，在fdo和ebo中，dfobeofdoebo（aas），of=oe，四邊形aecf是平行四邊形【總結(jié)升華】平行四邊形的判定方法共有五種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地

11、選擇方法類型二、平行四邊形的性質(zhì)定理與判定定理的綜合運(yùn)用、（2015河南模擬）如圖，abc中ab=ac，點(diǎn)d從點(diǎn)b出發(fā)沿射線ba移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)e從點(diǎn)c出發(fā)沿線段ac的延長(zhǎng)線移動(dòng)，已點(diǎn)知d、e移動(dòng)的速度相同，de與直線bc相交于點(diǎn)f（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)d在線段ab上時(shí)，過點(diǎn)d作ac的平行線交bc于點(diǎn)g，連接cd、ge，判定四邊形cdge的形狀，并證明你的結(jié)論；資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（2）過點(diǎn)d作直線bc的垂線垂足為m，當(dāng)點(diǎn)d、e在移動(dòng)的過程中，線段bm、mf、cf有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論（【思路點(diǎn)撥】1）由題意得出bd=ce，由平行線的性質(zhì)得出dgb=acb，由等腰

12、三角形的性質(zhì)得出b=acb，得出b=dgb，證出bd=gd=ce，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：bd=gd=ce，由等腰三角形的三線合一性質(zhì)得出bm=gm，由平行線得出gf=cf，即可得出結(jié)論【答案與解析】解：（1）四邊形cdge是平行四邊理由如下：如圖1所示：d、e移動(dòng)的速度相同，bd=ce，dgae，dgb=acb，ab=ac，b=acb，b=dgb，bd=gd=ce，又dgce，四邊形cdge是平行四邊形；（2）bm+cf=mf；理由如下：如圖2所示：由（1）得：bd=gd=ce，dmbc，bm=gm，dgae，gf=cf，bm+cf=gm+gf=mf資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品

13、文檔用心整理【總結(jié)升華】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵舉一反三【變式】如圖，已知四邊形abcd為平行四邊形，aebd于e，cfbd于f（1）求證：be=df；（2）若m、n分別為邊ad、bc上的點(diǎn)，且dm=bn，試判斷四邊形menf的形狀（不必說明理由）【答案】解：（1）四邊形abcd是平行四邊形，ab=cd，abcd，abd=cdb，aebd于e，cfbd于f，aeb=cfd=90，abecdf（aas），be=df；（2）四邊形menf是平行四邊形證明：由（1）可知：be=df，四邊形abcd為平行四邊形

14、，adbc，mdb=nbd，dm=bn，dmfbne，ne=mf，mfd=neb，mfe=nef，mfne，四邊形menf是平行四邊形5、如圖，已知在abcd中，e、f是對(duì)角線bd上的兩點(diǎn)，be=df，點(diǎn)g、h分別在ba和dc的延長(zhǎng)線上，且ag=ch，連接ge、eh、hf、fg（1）求證：四邊形gehf是平行四邊形；（2）若點(diǎn)g、h分別在線段ba和dc上，其余條件不變，則（1）中的結(jié)論是否成立？（不用說明理由）資料來源于網(wǎng)絡(luò)僅供免費(fèi)交流使用精品文檔用心整理（【思路點(diǎn)撥】1）先由平行四邊形的性質(zhì)，得ab=cd，abcd，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得gbe=hdf再由sas可證gbehdf，利用全等的性質(zhì)，證明gef=hfe，從而得gehf，又ge=hf，運(yùn)用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得證（2）仍成立可仿照（1）的證明方法進(jìn)行證明【答案與解析】（1）證明：四邊形abcd是平行四邊形，ab=cd，abcd，gbe=hdf又ag=ch，bg=dh又be=df，gbehdfge=hf，geb=hfd，gef=hfe，gehf，四邊形gehf是平行四邊形（2）解：仍成立（證法同上）【總結(jié)升華】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形舉一反三【變式】如圖，abcd中，對(duì)角線ac，bd相交于o點(diǎn)，aebd于e，cfbd于f，bgag于g，dhac于h求證：四邊形geh