新人教版八年級數(shù)學(xué)下冊二次根式的知識點(diǎn)匯總

1、精品文檔二次根式的知識點(diǎn)匯總知識點(diǎn)一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被開放數(shù)可以是數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、分式等代數(shù)式，但必須注意：因?yàn)樨?fù)數(shù)沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1 、x （ x0 ）、0、42、-2 、1、xxyx y （x 0， y? 0）分析：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0知識點(diǎn)二：取值范圍1、二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當(dāng)a 0 時(shí)，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要

2、使被開方數(shù)大于或等于零即可。2、二次根式無意義的條件：因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a0 時(shí)，沒有意義。例 2當(dāng) x 是多少時(shí)，3x1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？例 3當(dāng) x 是多少時(shí)，2x3 +1 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？x1知識點(diǎn)三：二次根式（）的非負(fù)性（）表示 a 的算術(shù)平方根，也就是說，（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即0（）。注：因?yàn)槎胃剑ǎ┍硎?a 的算術(shù)平方根，而正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，0 的算術(shù)平方根是0，所以非負(fù)數(shù)（）的算術(shù)平方根是非負(fù)數(shù)，即0（），這個(gè)性質(zhì)也就是非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的性質(zhì)，和絕對值、偶次方類似。這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則 a=0,b=0 ；若，則 a=0,b=0 ；若，

3、則 a=0,b=0 。例 4(1) 已知 y=2x +x2 +5，求 xy的值 (2) 若a1 +b1 =0，求 a2004+b2004 的值.精品文檔知識點(diǎn)四：二次根式（）的性質(zhì)（）文字語言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過來應(yīng)用：若，則，如：，.例 1計(jì)算1（3 ） 22（3 5 ）23（5 ） 24（7 ） 2262例 2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（1） x2-3（ 2） x4-4(3) 2x 2-3知識點(diǎn)五：二次根式的性質(zhì)文字語言敘述為：一個(gè)數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于這個(gè)數(shù)的絕對值。注：1、化簡

4、時(shí)，一定要弄明白被開方數(shù)的底數(shù)a 是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是正數(shù)或0，則等于a 本身，即；若 a 是負(fù)數(shù)，則等于a 的相反數(shù) -a, 即；2、中的 a 的取值范圍可以是任意實(shí)數(shù)，即不論a 取何值，一定有意義；3、化簡時(shí)，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進(jìn)行化簡。例1 化簡（1）9（2） ( 4)2（3） 25（ 4）( 3)2例 2填空：當(dāng) a 0 時(shí)，a2 =_ ；當(dāng) aa，則 a 是什么數(shù)？.精品文檔例 3 當(dāng) x2，化簡( x2)2 - (1 2x)2 知識點(diǎn)六：與的異同點(diǎn)1、不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a 的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中 a

5、可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，而2、相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無意義，而.知識點(diǎn)七：二次根式的乘除1、 乘法a b ab （ a 0， b 0）反過來：ab =a b （a0， b 0）aaaa2、除法b =b （ a 0，b0 ）反過來，b = b （ a 0，b0 ）（思考： b 的取值與 a 相同嗎？為什么？不相同，因?yàn)閎 在分母，所以不能為0）例 1計(jì)算（1）4 5 7（2）1 9（3） 9 27（4）1 632例 2化簡（1） 9 16（2） 16 81（ 3） 9x2 y2（4） 54例 3判斷下列各式是否正確，不正

6、確的請予以改正：（1）( 4)(9)49（2）412 25 =412 25 =412 25=412 =83252525例 4計(jì)算：（ 1）123111643（ 2）8（3）16（ 4）248例 5 化簡：（1）3（2）64b2（3）9x（ 4）5x649a264y2169y29x9xx25x4例 6已知6x，且 x 為偶數(shù)，求（1+x）的值x6x2 1.精品文檔3、最簡二次根式應(yīng)滿足的條件：（ 1）被開方數(shù) 不含 分母或分母中不含二次根式；（ 2）被開方數(shù)中 不含 開得盡方的因數(shù)或因式（熟記 20 以內(nèi)數(shù)的平方；因數(shù)或因式間是乘積的關(guān)系，當(dāng)被開方數(shù)是整式時(shí)要先判斷是否能夠分解因式，然后再觀察各

7、個(gè)因式的指數(shù)是否是 2（或 2 的倍數(shù)），若是則說明含有能開方的因式，則不滿足條件，就不是最簡二次根式）例 1把下列二次根式化為最簡二次根式(1)35 ; (2)x2 y4 x4 y2 ; (3) 8x2 y3124、化簡最簡二次根式的方法：(1) 把被開方數(shù) (或根號下的代數(shù)式 ) 化成積的形式，即分解因式；(2) 化去根號內(nèi)的分母（或分母中的根號） ，即分母有理化；(3) 將根號內(nèi)能開得盡方的因數(shù) (或因式 )開出來（此步需要特別注意的是：開到根號外的時(shí)候要帶絕對值，注意符號問題）5. 有理化因式：一般常見的互為有理化因式有如下幾類：與；與；與；與說明：利用有理化因式的特點(diǎn)可以將分母有理化

8、13、同類二次根式：被開方數(shù)相同的（最簡）二次根式叫同類二次根式。判斷是否是同類二次根式時(shí)務(wù)必將各個(gè)根式都化為最簡二次根式。如8 與18知識點(diǎn)八：二次根式的加減1、二次根式的加減法：先把各個(gè)二次根式化為最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式（即同類二次根式）進(jìn)行合并。（合并方法為：將系數(shù)相加減，二次根式部分不變），不能合并的直接抄下來。例 1計(jì)算（ 1）8 +18（ 2）16x +64x分析：第一步，將不是最簡二次根式的項(xiàng)化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并解：（1） 8 +18 =22 +32 =（2+3）2 =52（2） 16x +64x =4x +8x =（4+8 ）x =12x例 2計(jì)算（1） 3 48 -9120）+（ 12- 5）+3 12 （2）（ 48 +3例 3已知 4x2+y 2-4x-6y+10=0 ，求（2 x9 x +y 2x）