(教師版)小學(xué)奧數(shù)7-7-2 容斥原理之重疊問(wèn)題(二).專(zhuān)項(xiàng)檢測(cè)題及答案解析

1、7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）教學(xué)目標(biāo)1.了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2.掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問(wèn)題在一些計(jì)數(shù)問(wèn)題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成：ab=a+b-ab(其中符號(hào)“”讀作，“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”相當(dāng)于中文“且”的意思)則稱(chēng)這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱(chēng)容斥原理圖示如下:a表示小圓部分，b表示大圓部分，c表示大圓與小圓的公共部分，記為：ab，即

2、陰影面積圖示如下:a表示小圓部分，b表示大圓部分，c表示大圓與小圓的公共部分，記為：ab，即陰影面積1先包含a+b重疊部分ab計(jì)算了2次，多加了1次；2再排除a+b-ab把多加了1次的重疊部分ab減去包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合a、b的并集ab的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合a、b的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求a+b(意思是把a(bǔ)、b的一切元素都“包含”進(jìn)來(lái)，加在一起)；第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去c=ab(意思是“排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù))二、三量重疊問(wèn)題a類(lèi)、b類(lèi)與c類(lèi)元素個(gè)數(shù)的總和=a類(lèi)元素的個(gè)數(shù)+b類(lèi)元素個(gè)數(shù)+c類(lèi)元素個(gè)數(shù)-既是a類(lèi)又是b

3、類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是b類(lèi)又是c類(lèi)的元素個(gè)數(shù)-既是a類(lèi)又是c類(lèi)的元素個(gè)數(shù)+同時(shí)是a類(lèi)、b類(lèi)、c類(lèi)的元素個(gè)數(shù)用符號(hào)表示為：abc=a+b+c-ab-bc-ac+abc圖示如下：7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page1of7圖中小圓表示a的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示b的元素的個(gè)數(shù)，大圓表示c的元素的個(gè)數(shù)1先包含：a+b+c重疊部分ab、bc、ca重疊了2次，多加了1次2再排除：a+b+c-ab-bc-ac重疊部分abc重疊了3次，但是在進(jìn)行a+b+c-ab-bc-ac計(jì)算時(shí)都被減掉了3再包含：a+b+c-ab-bc-ac+abc在解答有關(guān)包含排除問(wèn)題時(shí)，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來(lái)幫助分

4、析思考例題精講模塊一、三量重疊問(wèn)題【例1】一棟居民樓里的住戶(hù)每戶(hù)都訂了2份不同的報(bào)紙。如果該居民樓的住戶(hù)只訂了甲、乙、丙三種報(bào)紙，其中甲報(bào)30份，乙報(bào)34份，丙報(bào)40份，那么既訂乙報(bào)又訂丙報(bào)的有_戶(hù)?！究键c(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】總共有（303440）252戶(hù)居民，訂丙和乙的有523022戶(hù)?！敬鸢浮?2戶(hù)【例2】某班學(xué)生手中分別拿紅、黃、藍(lán)三種顏色的小旗，已知手中有紅旗的共有34人，手中有黃旗的共有26人，手中有藍(lán)旗的共有18人其中手中有紅、黃、藍(lán)三種小旗的有6人而手中只有紅、黃兩種小旗的有9人，手中只有黃、藍(lán)兩種小旗的有4人，手中只有紅、

5、藍(lán)兩種小旗的有3人，那么這個(gè)班共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答abc-【解析】如圖，用a圓表示手中有紅旗的，b圓表示手中有黃旗的，c圓表示手中有藍(lán)旗的如果用手中有紅旗的、有黃旗的與有藍(lán)旗的相加，發(fā)現(xiàn)手中只有紅、黃兩種小旗的各重復(fù)計(jì)算了一次，應(yīng)減去，手中有三種顏色小旗的重復(fù)計(jì)算了二次，也應(yīng)減去，那么，全班人數(shù)為：（34+26+18）（9+4+3）62=50(人)【答案】50人【鞏固】某班有42人，其中26人愛(ài)打籃球，17人愛(ài)打排球，19人愛(ài)踢足球，9人既愛(ài)打籃球又愛(ài)踢足球，4人既愛(ài)打排球又愛(ài)踢足球，沒(méi)有一個(gè)人三種球都愛(ài)好，也沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好問(wèn)：既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球

6、的有幾人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】由于全班42人沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)好，所以全班至少愛(ài)好一種球的有42=-人根據(jù)包含排除法，42（26+17+19）（9+4+既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page2of7+）0，得到既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球的人數(shù)為：49-42=7(人)【答案】7人【例3】四年級(jí)一班有46名學(xué)生參加3項(xiàng)課外活動(dòng)其中有24人參加了數(shù)學(xué)小組，20人參加了語(yǔ)文小組，參加文藝小組的人數(shù)是既參加數(shù)學(xué)小組也參加文藝小組人數(shù)的35倍，又是3項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7倍，既參加文藝小組也參加語(yǔ)文小組的人數(shù)相當(dāng)于3項(xiàng)都參加的人數(shù)的2

7、倍，既參加數(shù)學(xué)小組又參加語(yǔ)文小組的有10人求參加文藝小組的人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】設(shè)參加數(shù)學(xué)小組的學(xué)生組成集合a，參加語(yǔ)文小組的學(xué)生組成集合b，參加文藝小組的學(xué)生組成集合g三者都參加的學(xué)生有z人有abc=46，a=24，b=20，c=3.5，ac=7abc，bc=2abc，ab=10因?yàn)閍bc=a+b+c-ab-ac-bc+abc，所以46=24+20+7x-10-2x-2x+x，解得x=3，即三者的都參加的有3人那么參加文藝小組的有37=21人【答案】21人【鞏固】五年級(jí)三班學(xué)生參加課外興趣小組，每人至少參加一項(xiàng)其中有25人參加自然興趣小組，35人參加美術(shù)興趣

8、小組，27人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有12人，參加自然同時(shí)又參加美術(shù)興趣小組的有8人，參加自然同時(shí)又參加語(yǔ)文興趣小組的有9人，語(yǔ)文、美術(shù)、自然3科興趣小組都參加的有4人求這個(gè)班的學(xué)生人數(shù)【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答a自然b美術(shù)c語(yǔ)文【解析】設(shè)參加自然興趣小組的人組成集合a，參加美術(shù)興趣小組的人組成集合日，參加語(yǔ)文興趣小組的人組成集合ca=25，b=35，c=27，bc=12，ab=8，ac=9，abc=4.abc=a+b+c-ab-ac-bc+abc.所以，這個(gè)班中至少參加一項(xiàng)活動(dòng)的人有25+35+27-12-8-9+4=62，而這個(gè)班每人至少參加一項(xiàng)

9、即這個(gè)班有62人【答案】62人【鞏固】光明小學(xué)組織棋類(lèi)比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行，參加圍棋比賽的有42人，參加中國(guó)象棋比賽的有55人，參加國(guó)際象棋比賽的有33人，同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的有18人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的有10人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的有9人，其中三種棋賽都參加的有5人，問(wèn)參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】根據(jù)包含排除法，先把參加圍棋比賽的42人，參加中國(guó)象棋比賽的55人與參加國(guó)際象棋比賽的33人加起來(lái)，共是42+55+33=130人把重復(fù)加一遍同時(shí)參加圍棋和中國(guó)象棋的18人，同時(shí)參加圍棋和國(guó)

10、際象棋的10人與同時(shí)參加中國(guó)象棋和國(guó)際象棋的9人減去，但是，同時(shí)參加了三種棋賽的5人被加了3次，又被減了3次，其實(shí)并未計(jì)算在內(nèi)，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)上，實(shí)際上參加棋類(lèi)比賽的共有：7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page3of7-+130（18+10+9）5=98(人)或者根據(jù)學(xué)過(guò)的公式：abc=a+b+c-ab-bc-ac+abc，參加棋類(lèi)比賽的總?cè)藬?shù)為：42+55+33-18-10-9+5=98(人)【答案】98人【例4】新年聯(lián)歡會(huì)上，共有90人參加了跳舞、合唱、演奏三種節(jié)目的演出如果只參加跳舞的人數(shù)三倍于只參加合唱的人數(shù)；同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人；只參加演奏的比同時(shí)參加

11、演奏、跳舞但沒(méi)有參加合唱的人多4人；50人沒(méi)有參加演奏；10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏；40人參加了合唱；那么，同時(shí)參加了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)【解析】設(shè)只參加合唱的有x人，那么只參加跳舞的人數(shù)為3x，由50人沒(méi)有參加演奏、10人同時(shí)參加了跳舞和合唱但沒(méi)有參加演奏，得到只參加合唱的和只參加跳舞的人數(shù)和為50-10=40人，即x+3x=40，得x=10，所以只參加合唱的有10人，那么只參加跳舞的人數(shù)為30人，又由“同時(shí)參加三種節(jié)目的人比只參加合唱的人少7人”，得到同時(shí)參加三項(xiàng)的有3人，所以參加了合唱的人中“同時(shí)參加

12、了演奏、合唱但沒(méi)有參加跳舞的”有：40-10-10-3=17人【答案】17人【鞏固】六年級(jí)100名同學(xué)，每人至少愛(ài)好體育、文藝和科學(xué)三項(xiàng)中的一項(xiàng)其中，愛(ài)好體育的55人，愛(ài)好文藝的56人，愛(ài)好科學(xué)的51人，三項(xiàng)都愛(ài)好的15人，只愛(ài)好體育和科學(xué)的4人，只愛(ài)好體育和文藝的17人問(wèn)：有多少人只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)？只愛(ài)好體育的有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】只是a類(lèi)和b類(lèi)的元素個(gè)數(shù)，有別于容斥原理中的既是a類(lèi)又是b類(lèi)的元數(shù)個(gè)-+數(shù)依題意，畫(huà)圖如下設(shè)只愛(ài)好科學(xué)和文藝兩項(xiàng)的有x人由容斥原理，列方程得55+56+51（17+15）（4+15）（x+15）15=100即55+56+

13、51-17-4-x-152=100111-x=100x=11只愛(ài)好體育的有：55-17-15-4=19(人)【答案】11人只愛(ài)好科學(xué)和文藝，19人只愛(ài)好體育?！纠?】在某個(gè)風(fēng)和日麗的日子，10個(gè)同學(xué)相約去野餐，每個(gè)人都帶了吃的，其中6個(gè)人1帶了漢堡，6個(gè)人帶了雞腿，4個(gè)人帶了芝士蛋糕，有3個(gè)人既帶了漢堡又帶了雞腿，個(gè)人既帶了雞腿又帶了芝士蛋糕2個(gè)人既帶了漢堡又帶了芝土蛋糕問(wèn)：三種都帶了的有幾人？只帶了一種的有幾個(gè)？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答abc=-+-41-【解析】如圖，用a圓表示帶漢堡的人，b圓表示帶雞腿的人，c圓表示帶芝士蛋糕的人根據(jù)包含排除法，總?cè)藬?shù)（帶漢堡的人數(shù)+帶

14、雞腿的人數(shù)+帶芝士蛋糕的人數(shù)）（帶漢堡、雞腿的人數(shù)+帶漢堡、芝士蛋糕的人數(shù)+帶雞腿、芝士蛋糕的人數(shù)）三種都帶了的人數(shù)，即10（6+6+）（3+2+）+三種都帶了的人數(shù)，得三種都帶了的人數(shù)為：10-10=0(人)-=求只帶一種的人數(shù)，只需從10人中減去帶了兩種的人數(shù)，即10（3+2+1）4(人)只7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page4of7帶了一種的有4人【答案】（1）0人，（2）4人【鞏固】盛夏的一天，有10個(gè)同學(xué)去冷飲店，向服務(wù)員交了一份需要冷飲的統(tǒng)計(jì)表：要可樂(lè)、雪碧、橙汁的各有5人；可樂(lè)、雪碧都要的有3人；可樂(lè)、橙汁都要的有2人；雪碧、橙汁都要的有2人；三樣都要的只有1

15、人，證明其中一定有1人這三種飲料都沒(méi)有要【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】略【答案】根據(jù)根據(jù)包含排除法，至少要了一種飲料的人數(shù)=(要可樂(lè)的人數(shù)+要雪碧的人數(shù)+-+要橙汁的人數(shù))-(要可樂(lè)、雪碧的人數(shù)+要可樂(lè)、橙汁的人數(shù)+要雪碧、橙汁的人數(shù))+三種都要的人數(shù)，即至少要了一種飲料的人數(shù)為：（5+5+5）（3+2+2）1=9(人)10-9=1(人)，所以其中有1人這三種飲料都沒(méi)有要【例6】全班有25個(gè)學(xué)生，其中17人會(huì)騎自行車(chē)，13人會(huì)游泳，8人會(huì)滑冰，這三個(gè)運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目沒(méi)有人全會(huì)，至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)都及格了，但又都不是優(yōu)秀若全班有6個(gè)人數(shù)學(xué)不及格，那么，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的

16、有幾個(gè)學(xué)生？有幾個(gè)人既會(huì)游泳，又會(huì)滑冰？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】有6個(gè)數(shù)學(xué)不及格，那么及格的有：25-6=19(人)，即最多不會(huì)超過(guò)19人會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一而又因?yàn)闆](méi)人全會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，那么，最少也會(huì)有：（17+13+8）2=19(人)至少會(huì)這三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一于是，至少會(huì)三項(xiàng)運(yùn)動(dòng)之一的只能是19人，而這19人又不是優(yōu)秀，說(shuō)明全班25人中除了19人外，剩下的6名不及格，所以沒(méi)有數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的上面分析可知，及格的19人中，每人都會(huì)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)：會(huì)騎車(chē)的一定有一部分會(huì)游泳，一部分會(huì)滑冰；會(huì)游泳的人中若不會(huì)騎車(chē)就一定會(huì)滑冰，而會(huì)滑冰的人中若不會(huì)騎車(chē)就一定會(huì)游泳，但既會(huì)游泳又會(huì)滑冰的人一

17、定不會(huì)騎自行車(chē)所以，全班有19-17=2(人)既會(huì)游泳又會(huì)滑冰【答案】（1）0人，（2）2人【鞏固】五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有a、b、c、d、e五個(gè)小組，若參加a組的有15人，參加b組的人數(shù)僅次于a組，參加c組、d組的人數(shù)相同，參加e組的人數(shù)最少，只有4人那么，參加b組的有_人【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【解析】參加b，c，d三組的總?cè)藬?shù)是36-15-4=17(人)，c，d每組至少5人，當(dāng)c，d每組6人時(shí)，b組為5人，不符合題意，所以參加b組的有17-5-5=7(人)【答案】7人【例7】五一班有28位同學(xué)，每人至少參加數(shù)學(xué)、語(yǔ)文、自然課外小組中的一個(gè)其中僅

18、參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文小組的人數(shù)等于僅參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)，沒(méi)有同學(xué)僅參加語(yǔ)文或僅參加自然小組，恰有6個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)與自然小組但不參加語(yǔ)文小組，僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)是3個(gè)小組全參加的人數(shù)的5倍，并且知道3個(gè)小組全參加的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，那么僅參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的人有多少人？【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】參加3個(gè)小組的人數(shù)是一個(gè)不為0的偶數(shù)，如果該數(shù)大于或等于4，那么僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)則大于等于20，而僅參加數(shù)學(xué)與自然小組的人有6個(gè)，這樣至少應(yīng)有30人，與題意矛盾，所以參加3個(gè)小組的人數(shù)為2僅參加語(yǔ)文與自然小組的人數(shù)為10，于是僅參加語(yǔ)文與自然、僅參加數(shù)學(xué)與自然和

19、參加3個(gè)小組的人數(shù)一共是18人，剩下的10人是僅參加數(shù)學(xué)與語(yǔ)文以及僅參加數(shù)學(xué)的由于這兩7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page5of7個(gè)人數(shù)相等，所以?xún)H參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文小組的有5人【答案】5人【例8】在一個(gè)自助果園里，只摘山莓者兩倍于只摘李子者；摘了草莓、山莓和李子的人數(shù)比只摘李子的人數(shù)多3個(gè)；只摘草莓者比摘了山莓和草莓但沒(méi)有摘李子者多4人；50個(gè)人沒(méi)有摘草莓；11個(gè)人摘了山莓和李子但沒(méi)有摘草莓；總共有60人摘了李子.如果參與采摘水果的總?cè)藬?shù)是100，你能回答下列問(wèn)題嗎？有人摘了山莓；有人同時(shí)摘了三種水果；有人只摘了山莓；有人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有人只摘了草莓.山莓a(chǎn)e

20、gbf草莓dc李子【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【解析】如圖，根據(jù)題意有a=2cg-c=3b-e=4a+d+c=50d=11c+d+f+g=60a+b+e=40代入求解：a=26，b=9，c=13，d=11，e=5，f=20，g=16所以有a+d+e+g=26+11+5+16=58(人)摘了山莓；有16人同時(shí)摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有9人只摘了草莓.【答案】有58(人)摘了山莓；有16人同時(shí)摘了三種水果；有26人只摘了山莓；有20人摘了李子和草莓，而沒(méi)有摘山莓；有9人只摘了草莓.【例9】某學(xué)校派出若干名學(xué)生參加體育競(jìng)技比賽，比賽一共

21、只有三個(gè)項(xiàng)目，已知參加長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍三個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)分別為10、15、20人，長(zhǎng)跑、跳高、標(biāo)槍每一項(xiàng)的的參加選手中人中都有五分之一的人還參加了別的比賽項(xiàng)目，求這所學(xué)校一共派出多少人參加比賽？體育55人17文藝56人415x科學(xué)51人【考點(diǎn)】三量重疊問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n7-7-2.容斥原理之重疊問(wèn)題（二）.題庫(kù)教師版page6of7x+z+n=3z+y+n=4人.那么有以下方程組：由條件可知，參加長(zhǎng)跑的人中有2人參加其它項(xiàng)目，參加跳高的人中有3人參加其它項(xiàng)目，參加標(biāo)槍的人中有4人還參加別的項(xiàng)目，假設(shè)只參加長(zhǎng)跑和跳高的人數(shù)為x，只參加長(zhǎng)跑和標(biāo)槍的人數(shù)為y，只參加標(biāo)槍和跳高的有z人，三項(xiàng)都參加的有n人.那么有以下方程組：x+y+n=2將3條等式相加則有2（x+y+z）+3n=9，由這個(gè)等式可以得到，n必須是奇數(shù)，所以，n只能是1或3、5、7，如果n3時(shí)x、