高中數(shù)學(xué)講義微專題45均值不等式

1、2微專題 45利用均值不等式求最值一、基礎(chǔ)知識：1、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設(shè)a 0 (i=1,2, i, n)（1）調(diào)和平均數(shù)：h =nn1 1+ +a a1 2+1an（2） 幾何平均數(shù)：（3） 代數(shù)平均數(shù)：g =na =na aan1 2a +a +1 2nn+an（4）平方平均數(shù)：q =na 2 +a 2 + 1 2n+a2n2、均值不等式：h g a q n n nn，等號成立的條件均為：a =a =1 2=an特別的，當(dāng) n =2 時， g a 2 2ab a +b2即基本不等式3、基本不等式的幾個變形：（1 ）a +b 2 ab (a,b 0)：多用在求和式的最小值且涉及求和的

2、項存在乘積為定值的情況（2）ab a +b 2：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項存在和為定值的情況（3）a2 +b 22 ab，本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍a, b r4、利用均值不等式求最值遵循的原則：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的項必須為正數(shù)，如果有負(fù)數(shù)則考慮變形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值時，變形后的一側(cè)不能還含有核心變量，例如：當(dāng) x 0, 求y =x 2 +3x的最小值。此時若直接使用均值不等式，則3y =x 2 + 2 4 xx，右側(cè)依然含有x，則無法找到最值。 求和的式子乘積為定值。例

3、如：上式中y =x2+4 3為了乘積消掉 x ，則要將 拆為兩個 x x2x，則y =x24 2 2 2 2+ =x 2 + + 3 3 x 2 =3 3 4 x x x x x2()() (2x+y ) 乘積的式子和為定值，例如0 x 0, y 0,2 x +3 y =1，求3 2+x y的最小值解：3 2 3 2 9 y 4 x + = + 2 x +3 y =6 + + +6x y x y x y=12 +9 y 4 x 9 y 4 x+ 12 +2 =24 x y x y（3）運用均值不等式將方程轉(zhuǎn)為所求式子的不等式，通過解不等式求解：例如：已知x 0, y 0,2 x +y +xy

4、=4，求2 x +y的最小值解：xy =122x y 1 2x + 2 2y2 2=8所以2 x +y +xy =4 (2x+y )+(2x+y 8)24即(2x+y )2+8(2x+y)-320，可解得 2 x +y 4 3 -4 ，即 (2x+y) =4 3 -4 min注：此類問題還可以通過消元求解：2 x +y +xy =4 y =4 -2 xx +1，在代入到所求表達(dá)式求出最值即可，但要注意y 0的范圍由x承擔(dān)，所以x (0,2)二、典型例題：例 1：設(shè)x -1，求函數(shù) y =( x +5)( x +2) x +1的最小值為_思路：考慮將分式進行分離常數(shù)，y =( x +5)( x

5、+2) 4=x +1 + +5 x +1 x +1，使用均值不等式可得：y 2(x+1)4x +1+5 =9，等號成立條件為4x +1 = x =1 x +1，所以最小值為9答案：9例 2：已知x 0, y 0，且x +y +1 1+ =5x y，則x +y的最大值是_思路：本題觀察到所求x +y與1 1+x y的聯(lián)系，從而想到調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的關(guān)系，即21 1+x yx +y 1 1 4 + 2 x y x +y，代入方程中可得：(x+y)+4 (x+y)5 (x+y)2-5(x+y)+40，解得：1 x +y 4，所以最大值為4答案：4例 3：已知實數(shù)m, n，若m 0, n 0，且

6、m +n =1，則m 2 n 2+ m +2 n +1的最小值為（ ）a.1 4 1 1b. c. d.4 15 8 3思路：本題可以直接代入消元解決，但運算較繁瑣?？紤]對所求表達(dá)式先變形再求值，可用分離常數(shù)法將分式進行簡化。m 2 n 2 4 1 + =m -2 +n -1+ +m +2 n +1 m +2 n +1，結(jié)合分母可將條件m +n =1，變形為(m+2)+(n+1)=4，進而利用均值不等式求出最值解：m 2 n2 m 2 -4 +4 n 2 -1+1 4 1 + = + =m -2 + +n -1+m +2 n +1 m +2 n +1 m +2 n +1( ) ( )4m +2

7、 n +12 2 方程變形為：222()=(m+n)-3+4 1 4 1+ = + -2 m +2 n +1 m +2 n +1m +n =1 (m+2)+(n+1)=44 1 4 1 1 + = + m +2 n +1 m +2 n +1 41 4 (n+1)m +2 m+2+ n +1 =4+ + +1 14 (n+1)m+2 9 5+2 =4 m +2 n +1 4m 2 n 2 9 1 m 2 n 2 + -2 = ，即 +m +2 n +1 4 4 m +2 n +1 答案：a的最小值為14例 4：已知正實數(shù)x, y滿足xy +2 x +y =4，則x +y的最小值為_思路：本題所求

8、表達(dá)式x +y剛好在條件中有所體現(xiàn)，所以考慮將x +y視為一個整體，將等式中的項往 x +y 的形式進行構(gòu)造，xy +2 x +y =xy +x +(x+y)=x(y+1)+(x+y)，而x (y+1)可以利用均值不等式化積為和，從而將方程變形為關(guān)于x +y的不等式，解不等式即可解：xy +2 x +y =4 xy +x +(x+y)=4x(y+1)+(x+y)=4x (y+1)(x+y)+1 (x+y)+1 +(x+y)4 (x+y)+1+4(x+y)16 (x+y)2+6(x+y)-150解得：x +y -6 + 962=2 6 -3答案：(x+y)的最小值為2 6 -3例 5：已知2 a

9、 b 0 ，則 a +4 b(2 a -b)的最小值為_思路一：所求表達(dá)式為和式，故考慮構(gòu)造乘積為定值以便于利用均值不等式，分母為b (2a-b)，所以可將 a 構(gòu)造為1 12a = 2a -b +b 2 2，從而三項使用均值不等式即可求出最小值：24( )( )a +4 1 = (2 a -b ) +b + b(2 a -b ) 28 1 8 33 (2 a -b ) bb(2 a -b ) 2 b (2 a -b )=3思 路 二 ： 觀 察 到 表 達(dá) 式 中 分 式 的 分 母b(2a-b)， 可 想 到 作 和 可 以 消 去b， 可 得b (2a-b)b+(2a-b) =a2，從而

10、4 4 a + a +b(2 a -b ) a 2，設(shè) f (a)=a+ ，可從函a2數(shù) 角 度 求 得 最 小 值 （ 利 用 導(dǎo) 數(shù) ）， 也 可 繼 續(xù) 構(gòu) 造 成 乘 積 為 定 值 ：f (a)=a a 4 a a 4 + + 3 3 =32 2 a 2 2 2 a 2答案：3小煉有話說：（1）和式中含有分式，則在使用均值不等式時要關(guān)注分式分母的特點，并在變 形的過程中傾向于各項乘積時能消去變量，從而利用均值不等式求解（2） 思路二體現(xiàn)了均值不等式的一個作用，即消元（3） 在思路二中連續(xù)使用兩次均值不等式，若能取得最值，則需要兩次等號成立的條件不沖 突。所以多次使用均值不等式時要注意

11、對等號成立條件的檢驗例 6：設(shè)二次函數(shù)f (x)=ax2-4x+c (xr)的值域為0,+)，則1 9+ c +1 a +9的最大值為_思路：由二次函數(shù)的值域可判定 a 0 ，且 d=0 ac =4，從而利用定值化簡所求表達(dá)式：1 9 a +9c +18 a +9c +18 5 + = = =1 +c +1 a +9 ac +a +9c +9 a +9c +13 a +9c +13，則只需確定a +9c的范圍即可求出1 9+ c +1 a +9的最值。由均值不等式可得：a +9c 12，進而解出最值解：二次函數(shù)f (x)=ax2-4 x +c (xr)的值域為0,+)d=16-4ac =0 a

12、c =4 a 01 9 a +9 +9 (c+1) a +9c +18 a +9c +18 5 + = = = =1 +c +1 a +9 c +1 a +9 ac +a +9c +9 a +9c +13 a +9c +13 a +9c 2 9 ac =121 9 5 6 + 1 + =c +1 a +9 12 +13 5答案：65 2例 7：已知x, y, z r+，則m=x2xy +yz +y 2 +z2的最大值是_思路：本題變量個數(shù)較多且不易消元，考慮利用均值不等式進行化簡，要求得最值則需要分子與分母能夠?qū)⒆兞肯?，觀察分子為xy, yz均含y，故考慮將分母中的y2 拆分與 x 2 ,

13、z 2搭配，即m=x2xy +yz +y 2 +z2=xy +yz 1 1 x 2 + y 2 + y 2 +z 2 2 2 ，而x 2 +1 1 1 1y 2 2 x 2 y 2 = 2 xy , z 2 + y 2 2 z 2 y 2 = 2 yz 2 2 2 2，所以mxy +yz 2=2 xy + 2 yz 2答案：22小煉有話說：本題在拆分 y 2 時還有一個細(xì)節(jié)，因為分子 xy, yz 的系數(shù)相同，所以要想分子分母消去變量，則分母中 xy, yz 也要相同，從而在拆分 y 2 的時候要平均地進行拆分（因為 x 2 , z 2系數(shù)也相同）。所以利用均值不等式消元要善于調(diào)整系數(shù)，使之達(dá)

14、到消去變量的目的。 例 8 ： 已 知 正 實 數(shù) x, y 滿 足 x + y +3 =x y， 若 對 任 意 滿 足 條 件 的 x, y ， 都 有( x +y )2-a ( x +y ) +1 0恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍為_思 路 ： 首 先 對 恒 成 立 不 等 式 可 進 行 參 變 分 離 ，a (x+y)+1x +y。 進 而 只 需 求 得(x+y)+1x +y的最小值。將x +y視為一個整體，將x +y +3 =xy中的xy利用均值不等式換成 x +y ，然后解出 x +y 的范圍再求最小值即可解：( x +y )2-a ( x +y ) +1 0 a (x+y)

15、+1x +yx, y 0 xy x +y 2( )m n12mt sn1s t 9s t 9 x +y +3 =xy x +y22 4(x+y)+12 (x+)y2x +y 6 或 x +y -2解得：（舍） 1 1 37 x +y + =6 + =x +y 6 6 min37 a 6（在x +y =6時取得）例 9：已知x +y =1, y 0, x 0，則1 x+ 2 x y +1的最小值是_思路：觀察到所求1 x+ 2 x y +1的兩項中x部分互為倒數(shù)，所以想到利用均值不等式構(gòu)造乘積為定值，所以結(jié)合第二項的分母變形11 x的分子。因為x +y =1，所以(y+1)+x=2，則1 1 x

16、 +(y+1) x y +1= = +2 x 2 x 2 4 x 4 x，所以原式=x y +1 x x y +1 x x+ + +2 = +1 4 x 4 x y +1 4 x 4 x y +1 4 x，因為要求得最小值，所以x m ，且 m, n 是常數(shù)，又 s ts +2t的最小值是1，則m +3n =_思路：條件中有m n+ =9s t，且有(s+2t) =1 min，進而聯(lián)想到求(s+2t)最小值的過程中達(dá)到的最值條件與m, n相關(guān)：(s+2t)=19(s+2t)+=m+2n+ + (m+2n+22 mn )，即 s +2tm +2 n +2 2 mn，所以 1( )5的最小值為19

17、( )m +2 n +2 2 mn =1 9m +2 n =5n m，解得 m =1n =2，所以m +3n =7答案：7三、歷年好題精選1、(2016，天津河西一模）如圖所示，在 dabc 中，ad =db ，點 f 在線段 cd 上，設(shè)ab =a，ac =b，af =xa +yb1 4，則 + 的最小值為（ ） x y +1a. 6 +2 2b. 6 3c. 6 +4 2d. 3 +2 2a b2、（2016，南昌二中四月考）已知 a, b 都是負(fù)實數(shù)，則 + 的最小值是（ ）a +2b a +ba. b. 2 (2-1) c. 2 2 -1 d. 2 (2+1) 63、（2016，重慶萬

18、州二中）已知a , b為正實數(shù)，且a +b =2，則a 2 +2 b 2+ -2a b +1的最小值為_4、（揚州市 2016 屆高三上期末）已知 a b 1且2log b +3log a =7a b，則a +b11 -1的最小值為_5、已知正項等比數(shù)列a滿足 na =a +2 a 7 6 5，若存在兩項a , a ，使得 a a =4a m n m n 1，則1 4+m n的最小值為（ ）a.3 5 25b. c.2 3 6d. 不存在6、設(shè)oa =(1,-2),ob=a(,-1,)oc=-b(,0,a)0,b0，o 為坐標(biāo)原點。若a, b, c三點共線，則1 2+a b的最小值是_7、已知

19、a, b (0,+)，且2a +b =1，則s =2 ab -4 a 2 -b 2的最大值是（ ）a.2 -12b.2 -1c.2 +1d.2 +12( ) 8、設(shè)x, y r , a 1,b 1，若a x =b y =3, a +b =2 3，則1 1+x y的最大值為9、已知 a b ，且 ab =1 ，則a 2 +b 2 a -b的最小值是習(xí)題答案：1、答案：d解析：af =x ab +y ac =2 x ad +y ac，因為c , f , d三點共線，所以2 x +y =1，根據(jù)所求表達(dá)式構(gòu)造等式為2 x +(y+)1=，2所以有 ：1 4 1 1 4 + = +x y +1 2 x

20、 y +11 y +1 8 x2x + y +1 = 2 + + +42 x y +1，由均值不等式可得：( )( )22( )= + 2y +1 8x y +1 8 x+ 2 =4 2 x y +1 x y +12、答案：b，所以1 4 1+ 6 +4 2 =3 +2 2 x y +1 2解析：a b a+ = a +2b a +b a22+2 ab +2b 2=1 -+3ab +2b 2 a2ab +3ab +2b2=1 -1a 2b+ +3b aa, b b 1( ) 2() log b =a12=log aab2=a a +1 1 1=a + =a -1 + +1 2 b2 -1 a -1 a -1(a-1)1a -1+1 =35、答案：a解析：a =a +2 a q 2 a =qa +2 a q 7 6 5 5 5 52=q +2解得：q =2或q =-1（舍） a a =4 a a 2 m n 1 1m -1a21n -1=4 a1