(2021年整理)導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用 編輯整理：尊敬的讀者朋友們：這里是精品文檔編輯中心，本文檔內(nèi)容是由我和我的同事精心編輯整理后發(fā)布的，發(fā)布之前我們對(duì)文中內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對(duì)，但是難免會(huì)有疏漏的地方，但是任然希望（導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用）的內(nèi)容能夠給您的工作和學(xué)習(xí)帶來便利。同時(shí)也真誠(chéng)的希望收到您的建議和反饋，這將是我們進(jìn)步的源泉，前進(jìn)的動(dòng)力。本文可編輯可修改，如果覺得對(duì)您有幫助請(qǐng)收藏以便隨時(shí)查閱，最后祝您生活愉快 業(yè)績(jī)進(jìn)步，以下為導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式與應(yīng)用的全部?jī)?nèi)容。導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)一：函數(shù)的平均變化率（1)概念： 函數(shù)中,如果自變量在處有增量，那么函數(shù)值y也相應(yīng)的有增

2、量y=f(x0+x)f（x0)，其比值叫做函數(shù)從到+x的平均變化率,即。若，則平均變化率可表示為，稱為函數(shù)從到的平均變化率。注意:事物的變化率是相關(guān)的兩個(gè)量的“增量的比值”.如氣球的平均膨脹率是半徑的增量與體積增量的比值;函數(shù)的平均變化率表現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì)，當(dāng)取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況。是自變量在處的改變量,；而是函數(shù)值的改變量，可以是0。函數(shù)的平均變化率是0，并不一定說明函數(shù)沒有變化,應(yīng)取更小考慮。(2）平均變化率的幾何意義函數(shù)的平均變化率的幾何意義是表示連接函數(shù)圖像上兩點(diǎn)割線的斜率.如圖所示，函數(shù)的平均變化率的幾何意義是：直線ab的斜率.事實(shí)上，。作用：根據(jù)平均變化率的幾何意義,

3、可求解有關(guān)曲線割線的斜率。知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的概念： 1導(dǎo)數(shù)的定義： 對(duì)函數(shù)，在點(diǎn)處給自變量x以增量,函數(shù)y相應(yīng)有增量。若極限存在，則此極限稱為在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記作或，此時(shí)也稱在點(diǎn)處可導(dǎo)。即：（或）注意：增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率。2導(dǎo)函數(shù)： 如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè)，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù), 稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)。注意：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不是同一概念，是常數(shù)，是函數(shù)在處的函數(shù)值，反映函數(shù)在附近的變化情況。3導(dǎo)數(shù)幾何意義： (1）曲線的切線曲線上一點(diǎn)p(x0，

4、y0)及其附近一點(diǎn)q（x0+x,y0+y）,經(jīng)過點(diǎn)p、q作曲線的割線pq，其傾斜角為當(dāng)點(diǎn)q（x0+x,y0+y）沿曲線無限接近于點(diǎn)p(x0,y0)，即x0時(shí)，割線pq的極限位置直線pt叫做曲線在點(diǎn)p處的切線。若切線的傾斜角為，則當(dāng)x0時(shí)，割線pq斜率的極限,就是切線的斜率。即:.（2）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)是曲線上點(diǎn)(）處的切線的斜率.注意：若曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，但有切線，則切線與軸垂直。，切線與軸正向夾角為銳角；，切線與軸正向夾角為鈍角；，切線與軸平行。（3）曲線的切線方程如果在點(diǎn)可導(dǎo),則曲線在點(diǎn)（)處的切線方程為：.4瞬時(shí)速度： 物體運(yùn)動(dòng)的速度等于位移與時(shí)間的比,而非勻速直

5、線運(yùn)動(dòng)中這個(gè)比值是變化的，如何了解非勻速直線運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)快慢程度，我們采用瞬時(shí)速度這一概念.如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足s=s(t）(位移公式），那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體t到t+t這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)t0時(shí)平均速度的極限，即。如果把函數(shù)看作是物體的位移公式），導(dǎo)數(shù)表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度。規(guī)律方法指導(dǎo)1如何求函數(shù)的平均變化率求函數(shù)的平均變化率通常用“兩步”法：作差：求出和作商:對(duì)所求得的差作商，即。注意：（1），式子中、的值可正、可負(fù)，但的值不能為零，的值可以為零。若函數(shù)為常數(shù)函數(shù)時(shí)，.（2）在式子中,與是相對(duì)應(yīng)的“增量，即在時(shí)，。（3)在式子中，當(dāng)取定值,取不同的數(shù)值時(shí)，函數(shù)的

6、平均變化率不同；當(dāng)取定值，取不同的數(shù)值時(shí),函數(shù)的平均變化率也不一樣。2如何求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（1）利用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，通常用“三步法”。 計(jì)算函數(shù)的增量:； 求平均變化率:； 取極限得導(dǎo)數(shù):。（2）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是，則表示曲線在點(diǎn)（）處的切線的斜率。設(shè)是位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，則表示物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度；設(shè)是速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù),則表示物體在時(shí)刻的加速度；4利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程的步驟求出在處的導(dǎo)數(shù)；利用直線方程的點(diǎn)斜式得切線方程為。類型一：求函數(shù)的平均變化率1、求在到之間的平均變化率,并求，時(shí)平均變化率的值.

7、 思路點(diǎn)撥：求函數(shù)的平均變化率,要緊扣定義式進(jìn)行操作.舉一反三：【變式1】求函數(shù)y=5x2+6在區(qū)間2,2+內(nèi)的平均變化率.【變式2】已知函數(shù)，分別計(jì)算在下列區(qū)間上的平均變化率： (1）1，3；（2）1，2；（3）1，1。1；（4)1，1.001. 【變式3】自由落體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為，計(jì)算t從3s到3.1s,3.01s，3.001s各段內(nèi)的平均速度(位移s的單位為m）?！咀兪?】過曲線上兩點(diǎn)和作曲線的割線，求出當(dāng)時(shí)割線的斜率。類型二：利用定義求導(dǎo)數(shù)2、用導(dǎo)數(shù)的定義,求函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)（1）求函數(shù)在x=4處的導(dǎo)數(shù).（2)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程?！咀兪?】利用導(dǎo)

8、數(shù)的定義求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；(2）；（3）；（4）。3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程。 思路點(diǎn)撥：從函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義可求得函數(shù)y=x3+2x在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得所求切線的斜率,將x=1代入函數(shù)可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而建立切線方程.舉一反三：【變式】在曲線y=x2上過哪一點(diǎn)的切線：（1）平行于直線y=4x5；(2）垂直于直線2x6y+5=0；（3)與x軸成135的傾斜角。知識(shí)點(diǎn)三:常見基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(c為常數(shù)），(2）（n為有理數(shù)），（3），（4）,(5)，（6），（7），（8），知識(shí)點(diǎn)四：函數(shù)四則運(yùn)算求導(dǎo)法則設(shè),均可導(dǎo)（1）和差的導(dǎo)數(shù):（2）積

9、的導(dǎo)數(shù)：（3)商的導(dǎo)數(shù)：()知識(shí)點(diǎn)五：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則或即復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。注意：選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵。求導(dǎo)時(shí)需要記住中間變量,逐層求導(dǎo)，不遺漏。求導(dǎo)后，要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).規(guī)律方法指導(dǎo)1求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系;分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)）；把中間變量代回原自變量（一般是x)的函數(shù)。整個(gè)過程可簡(jiǎn)記為分解求導(dǎo)回代，熟練以后，可以省略中間過程.若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變量.類型一：利用公式及運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1）； （

10、2） （3）； (4）y=2x33x2+5x4 舉一反三：【變式】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）; （2） （3）y=6x34x2+9x6 2、求下列各函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)(1）； （2)y=x2sinx; （3)y=； （4）y=舉一反三：【變式1】函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于( )a1 b2 c3 d4【變式2】下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）； （2）【變式3】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（1）; （2）； (3）.類型四：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)3、求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù). （1）； （2）;（3)； （4）。舉一反三:【變式1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):（1）； (2）（3)y=ln（x）； （4) 類型五：求曲線的切線方程4、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.舉一反三:【變式1】求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率，并寫出切線方程?！咀兪?】已知，是曲線上的兩點(diǎn),則與直線平行的曲線的切線方程是_.【變式3】已知曲線.（1）求曲線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線的方程；（2）第(1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點(diǎn)？