平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

1、第 3 節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用課時(shí)訓(xùn)練練題感提知能【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)向量的數(shù)量積3、5、7、11長(zhǎng)度及夾角、垂直問(wèn)題1、2、4、9、12、13、 15平面向量的應(yīng)用6、8、10、14、16一、選擇題1.(2013 年高考大綱全國(guó)卷 ) 已知向量 m=(+1,1),n=( +2,2), 若(m+n)(m-n), 則等于 (B)(A)-4 (B)-3 (C)-2 (D)-1解析 :m+n=(2+3,3),m-n=(-1,-1),由題意知 (m+n)(m-n)=0,即-(2 +3)-3=0,因此 =-3. 故選 B.2.(2013 樂(lè)山高中二調(diào) ) 已知兩點(diǎn) A(-1,0),

2、B(1,3),向量 a=(2m-1,2),若a, 則實(shí)數(shù) m的值為 (A)(A)-1 (B)-2 (C)1(D)2解析 :=(2,3),由a, 得 2(2m-1)+3 2=0, 解得 m=-1. 故選 A.3.(2013 年高考湖北卷 ) 已知點(diǎn) A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量在方向上的投影為 (A)(A) (B)(C)- ( D)-解析 :=(2,1),=(5,5),設(shè),的夾角為 , 則在方向上的投影為 |cos=. 故選 A.4. 若向量 a、b 滿足 |a|=|b|=2,a與 b 的夾角為 60, 則|a+b| 等于(B)(A)2(B)2(C)4(D

3、)12解析 :|a+b| 2=|a| 2+|b| 2+2|a|b|cos60=4+4+222 =12,|a+b|=2. 故選 B.5.(2012 年高考遼寧卷 ) 已知兩個(gè)非零向量a、b 滿足 |a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是 (B)(A)a b(B)a b(C)|a|=|b|(D)a+b=a-b解析 : 法一代數(shù)法 : 將原式平方得 |a+b| 2=|a-b| 2,即 a2+2ab+b2=a2-2a b+b2,得 ab=0,故 ab,故選 B.法二幾何法 : 如圖所示 ,在?ABCD中, 設(shè) =a, =b,則 =a+b, =a-b, |a+b|=|a-b|,平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)度

4、相等, 即平行四邊形ABCD為矩形 , ab, 故選 B.6. 已知=2, 且 BAC=30, 則 ABC的面積為 (B)(A)2(B)1(C)(D)解析 : 由題意 |cos 30 =2,則|=4,故 ABC的面積 S= |sin 30=1. 故選 B.7.(2013 成都新津中學(xué)二診 ) 在 ABC中, BAC=60,AB=2,AC=1,E、F為邊 BC的三等分點(diǎn) , 則等于(A)(A)(B)(C)(D)解析 : 由題意可得 BC= ,ACBC,=(+)(+)=+=+=1+3=.故選 A.8.(2013 浙江金麗衢十二校聯(lián)考) 在 ABC中,=(cos 18 ,cos 72 ),=(2co

5、s 63 ,2cos 27 ), 則角 B 等于 (B)(A)(B)(C)(D)解析 :=2cos 18 cos 63 +2cos 72 cos 27 =2sin 27 cos 18 +2cos 27 sin 18 =2sin(27 +18)=2sin 45 =.而|=1,|=2,cos B=,又 B(0, ), B= .故選 B.9.(2013 河北唐山一模 ) 已知向量 a,b 滿足 (a+2b) (a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則 a 與 b 的夾角為 (C)(A)(B)(C)(D)解析 : 設(shè) a 與 b 的夾角為 ,由|a|=1,|b|=2,得(a+2b) (a-b)=a

6、 2 +ab-2b 2=1+12cos -2 4=-6,解得 cos = .再由 0可得 = .故選 C.二、填空題10. 一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力 F1、F2、F3( 單位 : 牛頓 ) 的作用而處于平衡狀態(tài) . 已知 F1、F2 成 60角 , 且 F1、F2 的大小分別為 2 和 4, 則 F3的大小為.解析 : 由題意知 F3=-(F 1+F2), |F 3|=|F 1+F2|, |F 3| 2=|F 1| 2+|F 2| 2+2|F 1|F 2 |cos 60 =28,|F 3|=2.答案 :211.(2014 河南洛陽(yáng)市模擬 ) 正三角形 ABC中,D 是邊 BC上的點(diǎn) ,AB=3

7、,BD=1,則=.解析 : 法一=33cos 60 = ,=+=+=+(-)= + ,=(+)= + = .法二以 B 為原點(diǎn) ,BC 所在的直線為 x 軸, 建立坐標(biāo)系 ,則 B(0,0),A( , ),D(1,0).所以=(- ,-),=(- ,-),所以=(- ) (-)+(-) 2= .答案 :12.(2013 年高考安徽卷 ) 若非零向量 a,b 滿足 |a|=3|b|=|a+2b|,則 a與 b 夾角的余弦值為.解析 : 因|a| 2=|a+2b| 2=|a| 2 +4|b| 2+4ab整理得 cos=-=- .答案 :-13.(2013 年高考天津卷 ) 在平行四邊形 ABCD中

8、,AD=1, BAD=60 ,E為 CD的中點(diǎn) . 若=1, 則 AB的長(zhǎng)為.解析: 如圖=(+)(+)=(+)(-)=-+-=|- |2+1=1.得|=|=,則 AB的長(zhǎng)為 .答案 :14.(2014 河南鄭州市模擬 ) ABC中, A=120,=-1, 則|的最小值為.解析 : A=120,=-1,|cos 120 =-1,|=2,| 2=(-) 2=+-2=| 2+| 2+22| | |+2=6,當(dāng)且僅當(dāng) AB=AC= 時(shí)取等號(hào) ,所以 | 的最小值為 .答案 :三、解答題15. 已知 a=(1,2),b=(-2,n)(n1),a與 b 的夾角是 45.(1) 求 b;(2) 若 c 與

9、 b 同向 , 且 a 與 c-a 垂直 , 求 c.解:(1) ab=2n-2,|a|=,|b|=,cos 45 = , 3n2-16n-12=0(n1). n=6 或 n=- ( 舍). b=(-2,6).(2) 由(1) 知,a b=10,|a| 2 =5.又 c 與 b 同向 ,可設(shè) c=b( 0). (c-a) a=0,ba-|a| 2=0.= = . c= b=(-1,3).16. 在 ABC中, 角 A、B、C的對(duì)邊分別為 a、b、c. 若=k(k R).(1) 判斷 ABC的形狀 ;(2) 若 k=2, 求 b 的值 .解:(1) =cbcos A,=bacos C, bccos A=abcos C,根據(jù)正弦定理