全國卷Ⅰ(理科)

1、全國卷 (理科 )本試卷分第卷 (選擇題 )和第卷(非選擇題 )兩部分，共 150 分 ，考試時間120 分鐘第卷一、選擇題 (本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知集合 A x|x1 ，B x|3x1 ，則 ()A A B x|x1D A B?解析： 集合 A x|x1 ，B x|x0 ，A B x|x0 ， AB x|x1 000的最小偶數(shù)n，那么在和A A1 000 和 n n 1B A1 000 和 n n 2C A 1 000 和 n n 1D A 1 000 和 n n2解析： 程序框圖中 A 3n 2n，故判斷框中

2、應填入A 1 000，由于初始值n0，要求滿足 A 3n 2n1 000 的最小偶數(shù)，故執(zhí)行框中應填入n n 2，選 D.答案： D9已知曲線 C1：y cos x， C2： y sin2x 2,3，則下面結(jié)論正確的是 ()A 把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變， 再把得到的曲線向右平移,6個單位長度，得到曲線C2B 把 C1 上各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移,12個單位長度，得到曲線C2C把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來的1,2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移,6 個單位長度，得到曲線C2D 把 C1 上各點的橫坐標縮短到原來

3、的1,2 倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移,12 個單位長度，得到曲線 C2解析：易知 C1：y cos x sinx ,2，把曲線 C1 上的各點的橫坐標縮短到原來的1,2 倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y sin2x ,2的圖象，再把所得函數(shù)的圖象向左平移,12個單位長度，可得函數(shù)y sin2x ,12 ,2 sin2x2,3 的圖象，即曲線C2，故選D.答案：D10已知F 為拋物線C：y2 4x 的焦點，過F 作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1 與C 交于 A，B兩點，直線l2 與 C 交于 D ，E 兩點，則 |AB| |DE |的最小值為()A 16B 14C 12D 10解析

4、： 拋物線C： y24x 的焦點為F(1,0)，由題意可知l1， l2 的斜率存在且不為0.不妨設直線l1 的斜率為k，則l1： y k(x 1)，l 2：y 1,k(x 1)，由y2 4x，y k( x 1)，消去 y 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0，設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1 x22k2 4,k22 4,k2，由拋物線的定義可知， |AB| x1 x22 2 4,k2 2 4 4,k2.同理得 |DE | 4 4k2，|AB| |DE| 4 4,k24 4k2 8 41,k2 k2 8 8 16，當且僅當1,k2 k2，即 k 1 時取等號，故 |AB| |DE

5、|的最小值為16，故選 A.答案： A11設 x， y， z 為正數(shù)，且2x 3y 5z，則 ()A 2x3y5zB 5z2x3 yC 3y5 z2xD 3y2x1，x log2k， y log3k，z log5k.2x 3y 2log2 k3log3k2,logk2 3,logk3 2logk3 3logk2,log k2log k3 log k32 log k23,logk2log k3logk9,8,logk2logk30 ， 2x3y ； 3y 5z 3log3k 5log5 k 3,logk3 5,logk5 3logk5 5logk3,log k3log k5 log k53 lo

6、g k35,logk3logk5 log k125,243,logk3log k50 ，3y5z；2x5z 2log2 k 5log5 k 2,logk2 5,log k5 2logk5 5logk2,logk2log k5 log k52 logk25,log k2log k5 log k25,32,log k2logk52 x.5z2x3y，故選 D.答案： D12幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16 ，

7、，其中第一項是20，接下來的兩項是20,21，再接下來的三項是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N： N100且該數(shù)列的前N項和為2 的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A 440B 330C 220D 110解析： 設第一項為第1 組，接下來的兩項為第2 組，再接下來的三項為第3 組，依此類推，則第 n 組的項數(shù)為n，前 n 組的項數(shù)和為n(n 1),2.由題意可知， N100，令 n(n 1),2100，n 14， nN *，即 N 出現(xiàn)在第13 組之后易得第n 組的所有項的和為1 2n,1 2 2n1，前 n 組的所有項的和為2(1 2n),1 2 n2n 1 n 2.設滿

8、足條件的N 在第 k 1(kN * ，k 13)組，且第 N 項為第 k 1 組的第 t(tN*) 個數(shù)，第 k 1 組的前 t 項的和 2t 1 應與 2k 互為相反數(shù)， 即 2t 1k 2，2t k 3，t log2(k 3)，當t 4，k 13 時，N 13(13 1),24 955 時，N440，故選 A.答案： A第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第 13 21 題為必考題， 每個試題考生都必須作答第22 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題 (本大題共4 小題，每小題5 分，共 20 分把答案填在題中橫線上)13已知向量a， b 的夾角為60， |a| 2， |b| 1，則

9、|a 2b| _.解析： 易知 |a 2b| |a|2 4ab 4|b|2 4 4 2 11,2 423.答案： 2314設 x，y 滿足約束條件x 2y 1，2x y 1，x y 0，則 z 3x 2y 的最小值為 _解析：畫出不等式組x 2y1，2x y 1，x y 0 所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由可行域知， 當直線 y 3,2x z,2 過點A 時，在 y 軸上的截距最大，此時z 最小，由x 2y 1，2x y 1，解得 x 1，y 1.zmin 5.答案： 515已知雙曲線C：x2,a2 y2,b2 1(a0， b0) 的右頂點為A，以 A 為圓心， b 為半徑作圓 A，圓

10、A 與雙曲線C 的一條漸近線交于M， N 兩點若 MAN 60，則 C 的離心率為_ 解析： 雙曲線的右頂點為A(a,0)，一條漸近線的方程為y b,ax，即 bx ay0，圓心A到此漸近線的距離d |ba a 0|,b2a2 ab,c，因為MAN 60，圓的半徑為b，所以 bsin60 ab,c，即 3b,2ab,c，所以 e 2,323,3.答案： 23,316.如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為 5 cm，該紙片上的等邊三角形 ABC 的中心為 O.D，E，F(xiàn) 為圓 O 上的點， DBC， ECA， FAB 分別是以 BC， CA， AB 為底邊的等腰三角形沿虛線剪開后，分別以BC，CA，

11、 AB 為折痕折起 DBC ， ECA， FAB，使得 D ，E，F(xiàn) 重合，得到三棱錐當 ABC 的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位： cm3) 的最大值為 _解析： 法一： 由題意可知，折起后所得三棱錐為正三棱錐，當ABC 的邊長變化時，設 ABC 的邊長為 a(a0)cm ，則 ABC 的面積為 3,4a2， DBC 的高為 5 3,6a，則正三棱錐的高為 5 3,6a2 3,6a2 25 53,3a， 25 53,3a0 ， 0 a0，即 x4 2x30，得 0x2 ，則當 x0， 5,2 時， f(x) f(2) 80，V 3 80 415.所求三棱錐的體積的最大值為415.答案： 4

12、15三、解答題 (解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17 (本小題滿分 12 分 )ABC 的內(nèi)角 A， B， C 的對邊分別為 a， b，c.已知 ABC 的面積為 a2,3sin A.(1) 求 sin Bsin C；(2) 若 6cos Bcos C1， a3，求 ABC 的周長解析： (1)由題設得 1,2acsin Ba2,3sin A，即 1,2csin B a,3sin A.由正弦定理得1,2sin Csin B sin A,3sin A.故 sin Bsin C 2,3.(2) 由題設及 (1) 得 cos Bcos C sin Bsin C 1,2，即 cos(B C)

13、 1,2.所以 BC 2,3，故 A ,3.由題設得1,2bcsin A a2,3sin A，即 bc 8.由余弦定理得b2 c2 bc 9，即 (b c)2 3bc 9，得 bc 33.故ABC 的周長為 3 33.18.(本小題滿分12 分 )如圖，在四棱錐P-ABCD 中，AB CD，且 BAP CDP 90.(1) 證明：平面 PAB平面 PAD；(2) 若 PA PDAB DC， APD 90，求二面角 A-PB-C 的余弦值解析： (1)證明：由已知 BAPCDP 90，得 AB AP， CDPD .由于 ABCD，故 ABPD ，又 APPD P，從而 AB平面 PAD.又 AB

14、? 平面 PAB，所以平面 PAB平面 PAD.(2) 在平面 PAD 內(nèi)作 PF AD ，垂足為 F.由 (1) 可知， AB平面 PAD ，故 ABPF，可得 PF平面 ABCD .以 F 為坐標原點， FA 的方向為 x 軸正方向， |AB|為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系 F-xyz.由 (1) 及已知可得 A2,2,0,0， P0,0， 2,2， B2,2,1,0， C 2,2,1,0.所以 PC 2,2,1， 2,2， CB (2,0,0) ， PA 2,2,0， 2,2， AB (0,1,0) 設 n (x1， y1， z1)是平面 PCB 的法向量，則nPC 0，nCB

15、 0，即 2,2x1 y12,2z1 0，2x1 0.可取 n (0， 1， 2) 設 m (x2， y2， z2)是平面 PAB 的法向量，則mPA 0，mAB 0，即 2,2x2 2,2z2 0，y2 0.可取 m (1,0,1) 則 cos n，m nm,|n|m| 2,3 2 3,3.所以二面角A-PB-C 的余弦值為3,3.19 (本小題滿分12 分 )為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16 個零件，并測量其尺寸(單位： cm)根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(， 2)(1) 假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X 表示

16、一天內(nèi)抽取的16 個零件中其尺寸在( 3， 3)之外的零件數(shù)，求P(X 1)及X 的數(shù)學期望；(2) 一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在 ( 3， 3)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16 個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x 1,1616,i 1xi 9.97， s 1,1616,i 1 (xi x)2 1,16( 16,i 1x2i 16x

17、2) 0.212，其中 xi 為抽取的第i 個零件的尺寸，i 1,2， ， 16.用樣本平均數(shù)x 作為 的估計值，用樣本標準差s 作為 的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除( 3， 3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和 (精確到0.01)附：若隨機變量Z 服從正態(tài)分布N(，2)，則P(3Zb0) ，四點 P1(1,1) ， P2(0,1) ，P31， 3,2，P41，3,2 中恰有三點在橢圓C 上(1) 求 C 的方程；(2) 設直線 l 不經(jīng)過 P2 點且與 C 相交于 A， B 兩點若直線 P2A 與直線 P2B 的斜率的和為 1，證明： l 過定點解析： (1)由于

18、 P3， P4 兩點關于y 軸對稱，故由題設知C 經(jīng)過 P3， P4 兩點又由 1,a21,b21,a2 3,4b2 知， C 不經(jīng)過點P1，所以點P2 在 C 上因此 1,b21，1,a2 3,4b2 1，解得 a2 4，b2 1.故橢圓 C 的方程為x2,4 y2 1.(2) 證明：設直線 P2A 與直線 P2B 的斜率分別為 k1， k2.如果 l 與 x 軸垂直，設l： x t，由題設知t 0，且 |t|0.設 A(x1， y1)， B( x2， y2)，則 x1 x2 8km,4k2 1，x1x2 4m2 4,4k2 1.而 k1 k2y1 1,x1 y2 1,x2 kx1 m 1,

19、x1 kx2 m 1,x2 2kx1x2 (m 1)(x1 x2),x1x2由題設 k1 k2 1，故 (2k 1)x1x2 (m 1)(x1 x2) 0.即 (2k 1) 4m2 4,4k2 1 (m 1) 8km,4k2 1 0.解得 k m 1,2.當且僅當m 1 時，0，于是 l： y m 1,2xm，即 y 1 m1,2(x 2)，所以 l 過定點 (2， 1)21 (本小題滿分12 分 )已知函數(shù)f(x) ae2x (a 2)exx.(1) 討論 f(x)的單調(diào)性；(2) 若 f(x)有兩個零點，求a 的取值范圍解析： (1)f( x)的定義域為 ( ， )， f (x) 2ae2

20、x (a 2)ex 1 (aex 1)(2ex 1)若 a 0，則 f (x)0 ，則由 f (x)0 得 x ln a.當 x( ， ln a)時， f (x)0. 所以 f(x)在 ( ，ln a)單調(diào)遞減，在( ln a， )單調(diào)遞增(2) 若 a 0，由 (1) 知， f(x)至多有一個零點若 a0 ，由 (1)知，當 x ln a 時， f(x) 取得最小值，最小值為f( ln a) 1 1,a ln a.a當 a 1 時，由于f( ln a) 0，故 f(x)只有一個零點；b當 a(1 ， )時，由于11,a ln a0 ，即 f(ln a)0，故 f(x)沒有零點；c當 a(0,

21、1) 時， 1 1,a ln a0，即 f( ln a) 2e 2 20，故 f(x)在 ( ， ln a)有一個零點設正整數(shù) n0 滿足 n0ln3 ,a 1，則 f(n0) en0(aen0 a 2)n0en0 n02n0 n00.由于 ln3,a 1 ln a，因此 f(x)在 ( ln a， )有一個零點綜上， a 的取值范圍為 (0,1)請考生在第22 23 題中任選一題作答，如果多做， 則按所做的第一題計分作答時請寫清題號22 (本小題滿分10 分 )選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系 xOy 中，曲線 C 的參數(shù)方程為 x 3cos ，y sin (為參數(shù) )，直線 l 的參數(shù)方程為 x a4t，y 1 t(t 為參數(shù) )(1) 若 a 1，求 C 與 l 的交點坐標；(2) 若 C 上的點到l 距離的最大值為