高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破訓(xùn)練——數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法(含詳解)

1、高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破訓(xùn)練數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法1.如圖，曲線上的點(diǎn)與x軸的正半軸上的點(diǎn)及原點(diǎn)構(gòu)成一系列正三角形op1q1，q1p2q2，qn-1pnqn設(shè)正三角形的邊長為,nn(記為),.（1）求的值; （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。2. 設(shè)都是各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列，對任意的正整數(shù)，都有成等差數(shù)列，成等比數(shù)列（1）試問是否成等差數(shù)列？為什么？（2）如果，求數(shù)列的前項(xiàng)和3. 已知等差數(shù)列中，8，66.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)，求證：.4. 已知數(shù)列中，（n2，），數(shù)列，滿足（）（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，并說明理由；（3）記，求5. 已知數(shù)列an中，a10, 且an+1=， ()試

2、求a1的值，使得數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列； ()試求a1的取值范圍,使得an+1an對任何自然數(shù)n都成立； ()若a1 = 2，設(shè)bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以sn表示數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和，求證：sn0.sn是它的前n項(xiàng)和，又與的等比中項(xiàng)是，與的等差中項(xiàng)是6，求an。26. 和分別是等比數(shù)列和等差數(shù)列，它們的前四項(xiàng)和分別為120和60，而第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的和分別是90和34，令集合，求證：27. 已知曲線c：， ： （）。從上的點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，再從點(diǎn)作軸的垂線，交于點(diǎn)，設(shè)。 （i）求的坐標(biāo)； （ii）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（iii）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：答案：1.

3、 解：由條件可得,代入得 ；代入曲線并整理得,于是當(dāng)時(shí),即又當(dāng)；,故 所以數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列, 。2. 由題意，得， （1） （2） （1）因?yàn)?，所以由式?）得，從而當(dāng)時(shí)，代入式（1）得，即，故是等差數(shù)列（2）由及式（1），式（2），易得 因此的公差，從而，得 （3）又也適合式（3），得，所以，從而 3. 解：（）（）， = 而是遞增數(shù)列 ， . 4. （1），而，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列（2）依題意有，而，對于函數(shù)，在x3.5時(shí)，y0，在（3.5，）上為減函數(shù)故當(dāng)n4時(shí)，取最大值3而函數(shù)在x3.5時(shí)，y0，在（，3.5）上也為減函數(shù)故當(dāng)n3時(shí)，取最小值，-1（3），5. (

4、)欲使數(shù)列an是一個常數(shù)數(shù)列，則an+1= an 又依a10，可得an0并解出：an=，即a1 = an = ()研究an+1an= (n2) 注意到0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符號7要使an+1an對任意自然數(shù)都成立,只須a2a10即可.由0，解得：0a1時(shí)，an+1an對任何自然數(shù)n都成立.因此當(dāng)a1=2時(shí)，an+1an0 sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 又：an+2=, 故sn0，t1，原不等式等價(jià)于令f(t)=t-1-lnt，當(dāng)時(shí)，有，函

5、數(shù)f(t)在遞增f(t)f(1)即t-1g(1)=0綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得即得7. (1)易求得（2）作差比較易得：（3）當(dāng)時(shí)，不等式組顯然成立. 當(dāng)由（2）知 再證而同理：，以上各式相加得：即 .8. （1），又 或 若，則，與矛盾； 若，則，顯然， （2）， 當(dāng)時(shí)，歐 時(shí)， 數(shù)列是以9為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。 （3），設(shè)是數(shù)列中的最大項(xiàng)，則 由 可得數(shù)列有最大項(xiàng)，最大項(xiàng)是。9. （1）由是等比數(shù)列。（2）10. （）經(jīng)計(jì)算， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，； 當(dāng)為偶數(shù)，即數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列， 因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）， （1） （2）（1）、

6、（2）兩式相減，得 11. 設(shè)的公差為d，首項(xiàng)為，則 （1） （2）解得，則。（2）當(dāng)時(shí)，在前n-1組中共有項(xiàng)數(shù)為：。故第n組中的第一項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng)，且第n組中共有項(xiàng)。所以當(dāng)n=1時(shí)，也適合上式，故。（3）。即數(shù)列前8組元素之和，且這8組總共有項(xiàng)數(shù)。則12. （）由 得 即可得因?yàn)?，所?解得，因而 （）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)、公比的等比數(shù)列，故則數(shù)列的前n項(xiàng)和 前兩式相減，得 即 13. （1）,當(dāng)時(shí), 又對任意的,總有兩個不同的根,， 由(1), 對任意的,總有兩個不同的根, 對任意的,總有兩個不同的根, 由此可得， （1） 當(dāng)， 當(dāng)，14. （1）. （2），當(dāng)時(shí)，. （3）所給數(shù)列可推廣為無窮數(shù)

7、列，其中是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列. 研究的問題可以是：試寫出關(guān)于的關(guān)系式，并求的取值范圍 15. （1）由已知得 當(dāng)時(shí)， 1分同理可得 3分 猜想 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立當(dāng)時(shí)，由上面的計(jì)算結(jié)果知成立 6分假設(shè)時(shí)，成立，即 ，那么當(dāng)時(shí)，即 當(dāng)時(shí)，也成立 綜合所述，對 ，成立。 （2）由（1）可得 16. （i）解：由得， （ii）由，數(shù)列是以s1+1=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)n=1時(shí)a1=1滿足 （iii），得，則. 當(dāng)n=1時(shí)，即當(dāng)n=1或2時(shí)，當(dāng)n2時(shí)， 17. （1）由條件an12an22an， 得2an114an24an1(2an1)2bn

8、是“平方遞推數(shù)列”lgbn12lgbnlg(2a11)lg50，2lg(2an1)為等比數(shù)列（2）lg(2a11)lg5，lg(2an1)2n1lg5，2an15，an(51)lgtnlg(2a11)lg(2a21)lg(2an1)(2n1)lg5tn5（3）cn2，sn2n12n2n212n22由sn2008得2n222008，n1005，當(dāng)n1004時(shí)，n1005，當(dāng)n1005時(shí)，n1005，n的最小值為100518. （1）b（2）因?yàn)?、成等差?shù)列，所以，所以又，顯然，即、成等差數(shù)列若其為等比數(shù)列，有，所以，與題設(shè)矛盾19. （1） 解得 （2）7分 是公比為8的等比數(shù)列10分 20.

9、（i）， 4分 （ii）當(dāng)k2，3，4，5，時(shí)， ， ， ， ， 21. （i）設(shè)數(shù)列的公差為d，則， 又 由（1）（2）得 數(shù)列的通項(xiàng)公式 （ii） 數(shù)列的前n項(xiàng)和22. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知條件，得得：，所以，得，即或（舍去）由得：23. （1）由已知，得解得：（2）設(shè)存在正數(shù)k，使得對一切均成立，則記，則，f（n）是隨n的增大而增大，當(dāng)時(shí)，即k的最大值為24. （1）f(1),f(2),f(4)成等差數(shù)列，f(1)+f(4)=2f(2).即log2(1+m)+log2(4+m)=log2(2+m)2(m+1)(m+4)=(m+2)2即m2+5m+4=m2+4m+4m=0(2) f

10、(a)+f(c)=log2(a+m)+log2(c+m)=log2(a+m)(c+m),2f(b)=2log2(b+m)=log2(b+m)2,a,b,c成等比數(shù)列，(a+m)(c+m)-(b+m)2=ac+am+cm+m2-b2-2bm-m2=ac+m(a+c)-b2-2bm=m(a+c)-2ma0,c0.a+c2m0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)20, log2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)20,log2(a+m)(c+m)log2(b+m)2f(a)+f(c)2f(b);m=0時(shí)，(a+m)(c+m)-(b+m)2=0log2(a+m)(c+m)=log2(b+m)2f(a)+f(c)=2f(b);25. 即即解之，得把d=2代入a1+2d=6, 得a1=226. 等比數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，化簡得，所以，等差數(shù)列中，解得所以，b9，