微分方程試題及部分應(yīng)用題答案整理版

1、第十章微分方程習(xí)題一.填空題：（ 33）1-1-40 、 微分方程 ( y ) 3y 4x2 y 3x 4的階數(shù)是.1-2-41 、 微分方程 xy22yyxy0 的階數(shù)是.d 2 sdss01-3-42 、 微分方程 dx2dx的階數(shù)是.1-4-43 、 ( y)( 4)4 y 10y 5 ysin x 的階數(shù)是.dy2xy0 1的特解是.1-5-44 、微分方程 dx滿足條件 y |xdyy01-6-45 、微分方程 dx.的通解是1-7-46 、方程 yex y 的通解是.1-8-47 、 方程 yy ln y 的通解是.1-9-48 、方程 y 4 y 4 y0 的通解是.1-10-4

2、9 、方程 y 4 y4 y0 的通解是.1-11-50 、方程 y 4 y13 y0 的通解是.1-12-51 、已知特征方程的兩個(gè)特征根r12, r23, 則二階常系數(shù)齊次微分方程為1-13-52 、微分方程 y ex 的通解為.1-14-53 、微分方程 y e2 xsin x 的通解為.1-15-54 、若 P( x, y)dxQ (x, y) dy0 是全微分方程 ,則 P, Q 應(yīng)滿足.1-16-55 、與積分方程yxx f (x, y)dx等價(jià)的微分方程初值問(wèn)題0是.1-17-56 、方程 ( xyy 2 ) dx( x 22 xy)dy0 化為齊次方程是.1-18-57 、通解

3、為 yC1 exC 2 e2 x (C1 , C2 為任意常數(shù) ) 的微分方程為.1-19-58 、方程 ye2xy 滿足條件 y x 00 的特解是 .1-19-59 、方程 xydx1x 2 dy 0 化為可分離變量方程是1-20-60、方程 y2xy 的通解是1-21-61 、 方程y 2x2 dyxy dydxdx 化為齊次方程是1-22-62 、 若 ycost 是微分方程 y 9y0 的解 , 則.dQ0.03Q1-23-63 、若 QCe kt 滿足 dt, 則 k.1-24-64 、 y 2y 的解是1-25-65 、某城市現(xiàn)有人口 50( 萬(wàn) ), 設(shè)人口的增長(zhǎng)率與當(dāng)時(shí)的人口

4、數(shù)x ( 萬(wàn)) 和1000 x 的積成正比 , 則該城市人口 x(t ) 所滿足的微分方程為1-26-66、 圓 x 2y2r 2滿足的微分方程是x1-27-67 、 y aea滿足的微分方程是dyP( x) yQ( x)1-28-68 、一階線性微分方程 dx.的通解是1-29-69 、已知特征方程的兩個(gè)根 r1 2, r23 ,則二階常系數(shù)線性齊次微分方程為.1-30-70 、方程 y5x 2是微分方程 xy2y 的解.1-31-71 、二階常系數(shù)非齊次微分方程的結(jié)構(gòu)為其一個(gè)特解與之和 .1-32-72 、二階常系數(shù)齊次線性微分方程y pyqy 0 對(duì)應(yīng)的特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則其通解為

5、.1-33-73 、將微分方程 ( xyy 2 )dx(x 22xy)dy0 寫成齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為二.選擇題：（ 29）2-1-56 、微分方程x dy2 y)dx的通解是 (A.y x 2B.y 5x2y Cx2D.y CxC.2-2-57 、 微分方程 xydx1x 2 dy0 的通解是 ()A.ye1 x2B.yCe 1 x2C.yC arcsin xD.yC 1 x22-3-58 、下列方程中是全微分方程的是()A.( x2y)dxxdy0B.ydxxdy0C.(1 xy) ydx(1xy)dy0D.(x 2y 2 )dxxydy 02-4-59 、下列函數(shù)組中 , 線性無(wú)關(guān)的

6、是 ()A.e2 x, e3 xB.cos 2x, sin 2xC.sin 2 x,cos x sin xD.ln x,ln x22-5-60 、方程 y 2 y3 y0 的通解是 ()A.y C1 e xC 2 e 3 xB.y C1exC 2 e3 xC.y C1exC 2 e 3 xD.y C1e xC 2 e3 x2-6-61 、方程 yy0 的通解是 ( )A.yC sin xB.yC cos x C. ysin xC cos xD. yC1 sin xC 2 cos x2-7-62 、 下列方程中是可分離變量的方程是()A.dyx3 y3xyB.(ex3y22xydy 0dx)dx

7、dyx4y3dy1y 2C.dxxy2D.dxxyx3 y2-8-63 、 微分方程 y y cot x0 的通解是 ()A.yC cos xB.yC sin xC.yC tan xD.yC csc xx2-9-64 、已知微分方程 y yp0的通解為 ye 2 (C1C2 x) , 則 p 的值是 ( )11A.1B.0C.2D.42-10-65 、微分方程 y2 y 0 的通解是 ( )A.ysin 2x CB.y4e2xCC. yCe2 xD.y Cexdy2xy2-11-66 、方程 dx)的通解是 (A.ex2B.ex2CC.Cx 2D.e(x C )2Ce2-12-67 、y ex

8、 的通解為 y()A.e xB.e xC.e xC1x C 2D.e xC1 x C 2dye 21 x2-13-68 、微分方程 dx滿足 yx01的特解為 ()A. y2e21 xy 2e21 x2e21 xy1 e1 B.3 C. yC D.21 x2122-14-69 、微分方程 x3 dx - ydy0 的通解是 ()x2y 2Cx 2y 2Cx 2y 20x2y 21A. 42B.42C.42D.422-15-70 、 微分方程 x3 dx - ydy0 的通解是 ( )A. x 2y 2x3y 3x3y 3x 3y 312 B.9C.1D.332-16-71 、 過(guò)點(diǎn) (0, 2

9、) 的曲線 , 使其上每一點(diǎn)的切線斜率都比這點(diǎn)縱坐標(biāo)大5的曲線方程是 ( )A.y x 23B.y x25C.y 3ex5D.y Ce x5dyy tan y應(yīng)作變換 ()2-17-72 、齊次方程 dxxx 化為可分離變量的方程 ,A.y ux 2B.y u 2 x2C.y uxD.y u 3 x 32-18-73 、 設(shè)方程 yP(x) yQ( x) 有兩個(gè)不同的解 y1 , y2 , 若 y1y2 也是方程的解 , 則( )A.B.0C.1D.,為任意常數(shù)2-19-74、 方程 xdyxdx2 ydx 的通解是 ()A.yCx 2x B.yC sin 2x x C.ycos2 x CD.

10、y x 2C2-20-75、下面各微分方程中為一階線性方程的是()A.xy y 2xB. y xysin xC. yyxD.y 2xy2-21-76、曲線上任一點(diǎn) P的切線均與 OP垂直的曲線方程是 ()xxyyyyA.yB.yC.D.yyxx2-22-77 、方程 y y0, y(3)2 的解是 ( )A.y 2e3 xB.y2e3 xC.y 2ex 3D.y2ex 32-23-78 、 微分方程 yyln x 的通解是 ()A.yexln xB.yCe xln xC.yex ln xxD.y Ce x ln x x2-24-79、下列哪個(gè)不是方程 y 4 y 的解 ()A.y 2e2xB.

11、y e2 xC.y e 2xD.y 2ex2-25-80、方程 y (4 )xy 3x 5 y y 6 ysin y0 的階是 ()A. 6B. 5C. 4D. 32x2-26-81、如果一條曲線在它任意一點(diǎn)的切線斜率等于y，則這條曲線是 ( )A.橢圓B.拋物線C.雙曲線D.圓2-27-82 、下列可分離變量的方程是()dyx3y3xy(ex3y2 )dx 2xydy 0A.dxB.dyx ydy1y2C.dxxyD.dxxyx3 y2-28-83 、微分方程 yy cot x0 的通解是 ( )A.yC cos xB.yC sin xC.yC tan xD.yC csc xx2-29-84

12、 、 已知微分方程 y yp 0 的通解為 ye2(C1 C2 x) , 則 p 的值 ( )11A. 1B. 0C.2D.4三.計(jì)算題：（ 59）3-1-52 、sec2 x tan ydxsec2 y tan xdy03-2 - 53、xy y ln y03-3-54 、3ex tan ydx(2ex ) sec2 ydy03-4-55 、(1y2x2x 2 y 2 ) yx 2 ydyxe x3-5-56 、 dxyey3-6-57 、(1x) ydx(1y) xdy03-7-58 、 cos x sin ydy cos y sin xdxy |x0,43-8-59 、( x 21) y

13、 2xy 20, y(0)03-9-60 、y2y ln x, y(e)13-10-61 、 cos x sin ydy cos y sin xdxy |x0,43-11-62 、( xy)dy(x - y)dx0xdyy(ln y ln x)3-12-63 、dx3-13-64 、( y22xy) dxx 2 dy0xy yyx tan3-14-65 、xxy y( xy) lnxy3-15-66 、xy 2x2 dyxy dy3-16-67 、dxdxxyyx ,y |x 1 23-17-68 、yyyyx , y |x e e3-18-69 、x223-19-70 、xy yxy , y

14、 |x 1 2y1ysin xy |x13-20-71 、xx ,y3 y x4 ex3-21-72 、x3-22-73 、y 2 xy4x3y1 y13-23-74 、xln x1xe2 xyxy3-24-75 、x3-25-76 、y y tan xsecx ,y |x 0 0y1ysin xy |x13-26-77 、xx ,y2x2 y1 x2y |x 0 03-27-78 、1 x,xyxyy |x e e3-28-79 、ln x ,3-29-80dy2xy xe x2、 dx3-30-81dyyy 2 (cos xsin x)、 dx3-31-82dyyxy 5、 dx3-32-

15、83dy2xyxy 40、 dxdy1 y1 (12 x) y 43-33-84 、 dx33dyy2x3-34-85 、 dx2xy3-35-86 、 y y x3-36-87 、 yy( y ) 2103-37-88 、 y3 y 1 03-38-89 、 y3y ,y |x 01,y|x 02y3y 2y |x 31,y|x 313-39-90 、2,3-40-91 、 y 2 y03-41-92、 y 4 y13 y03-42-93、 y2 yy03-43-94 、 y 5 y4 y 03-44-95 、 y 3 y4 y 0 , y |x 0 0 , y|x 0 53-45-96 、

16、y 4 y 29 y 0,y |x 00,y|x 0153-46-97 、 4 y 4 y y0 , y |x 02 ,y|x 003-47-98 、4 y 4 y y0,y |x 02,y|x 003-48-99 、 y 4 y 13 y 0 ,y |x 00 ,y|x 033-49-100 、 y 4 y4 y0 ,y |x 00 ,y|x 013-50-101、 2 y yy2ex3-51-102、 yyexcos x3-52-103、 y 6 y9 y( x 1)e3 x3-53-104、 y y 2y2ex3-54-105 、 y 2 y 3y2x13-55-106 、y ysin

17、2x0,y |x1,y |x13-56-107 、 y 3y2 y5 ,y |x01 ,y |x02e2xy |x06y |x0333-57-108 、 y 10 y 9 y,7 ,73-58-109 、 yy4xex,y |x 00 ,y |x 013-59-110 、 y 5y6 yxe2 x四.應(yīng)用解答題：（ 14）4-1-9 、一曲線通過(guò)點(diǎn) (2,3) ,它在兩坐標(biāo)軸間的任一切線段均被切點(diǎn)所平分,求這曲線方程 .x2t134-2-10 、已知 0 1 t 2 y(t)dty x3x,求函數(shù) y(x)4-3-13 、求一曲線 ,這曲線通過(guò)原點(diǎn) ,并且它在點(diǎn) ( x, y) 處的切線斜率等

18、于2xy .yx14-4-14 、試求 yx 的經(jīng)過(guò)點(diǎn) M (0;1)2且在此點(diǎn)與直線相切的積分曲線 .4-5-15、設(shè)某曲線 , 它上面的任一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積總等于2, 求這條曲線的方程所滿足的微分方程 .4-6-16、已知某曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1,1) , 它的切線在縱軸上的截距等于切點(diǎn)的橫坐標(biāo) ,求它的方程 .( x) cos x2xx14-7-17、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)(t ) sin tdt( x) 滿足0, 求 (x) .EQ2 p 24-8-10、已知某商品需求量 Q對(duì)價(jià)格 p 的彈性為 Ep,最大需求量為Q 1000 ,求需求函數(shù) Qf ( p) .4-9-11 、設(shè)質(zhì)量為

19、 m 的物體在高空中靜止下落 , 空氣對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的阻力與速度成正比 . 求物體下落的數(shù)率 v 與時(shí)間 t 的關(guān)系 , 再求物體下落距離與時(shí)間t 的關(guān)系4-10-12、在串聯(lián)電路中 , 設(shè)有電阻 R, 電感 L和交流電動(dòng)勢(shì)E E0 sin t , 在時(shí)刻t 0 時(shí)接通電路 ,求電流 i 與時(shí)間 t 的關(guān)系 ( E0 ,為常數(shù) ).4-11-13、如圖 ,位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于x 軸上 A(1,0)點(diǎn)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷, 魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦 , 設(shè)敵艦以常數(shù) v0 沿平行與 y 軸的直線行馳 ,又設(shè)魚雷的速度為2v0 , 求魚雷的航行曲線方程 .4-12-14、根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知 ,某產(chǎn)品的純利潤(rùn) L

20、 與廣告支出 x 有如下關(guān)系dLk (A L)dx，（其中 k 0, A 0 ）, 若不做廣告 , 即 x 0 時(shí)純利潤(rùn)為 L0 ,且 0 L0A ,試求純利潤(rùn) L 與廣告費(fèi) x 之間的函數(shù)關(guān)系 .4-13-15、在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中 ,知道某地區(qū)的國(guó)民收入 y ,國(guó)民儲(chǔ)蓄 S 和投資 I1均是時(shí)間 t 的函數(shù) ,且在任一時(shí)刻 t ,儲(chǔ)蓄 S(t ) 為國(guó)民收入 y(t ) 的 10 ,dy1投資額 I (t) 是國(guó)民收入增長(zhǎng)率 dt的 3. 設(shè) t0 時(shí)國(guó)民收入為 5( 億元 ), 假定在時(shí)刻 t 的儲(chǔ)蓄全部用于投資 , 試求國(guó)民收入函數(shù) . 4-14-16 、試建立描述市場(chǎng)價(jià)格形成的動(dòng)態(tài)過(guò)程的

21、數(shù)學(xué)模型 .五 .證明題：（ 2）5-1-18 、設(shè) y1 ( x),y2 (x) 是二階齊次線性方程 y p( x) y q( x) y0 的兩個(gè)解 , 令w(x)y1( x) y2 ( x)y1 ( x) y2 ( x) y1 ( x) y2 (x)y1 ( x) y2 (x)證明 :w( x) 滿足方程 w p( x)w 0dyQ ( x)5-2-19 、設(shè) y1 ,y2 ,P( x) yy3 是線性方程 dx的 3 個(gè)相異特解 ,y3y1證明y2y1 為一常數(shù) .部分應(yīng)用題答案487在串聯(lián)電路中 ,設(shè)有電阻 R, 電感 L 和交流電動(dòng)勢(shì)EE0 sint , 在時(shí)刻 t0 時(shí)接通電路 ,

22、 求電流 i 與時(shí)間 t 的關(guān)系 ( E0 ,為常數(shù) ).RidiE0 sintdiRE0sint解. 設(shè) ii (t) ,L即 dt由回路電壓定律dt,LLi(t )eR dtE0sinR tdtC RE0sinRC Lte Le L t te L t dtL=L= CeLR tR2E02 L2 (R sintL cost)將 i |t0 代入通解得CLE00R 22 L2i (t)E0(LeR tR sintL cos t )22L2LR488. 設(shè)質(zhì)量為 m 的物體在高空中靜止下落,空氣對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的阻力與速度成正比. 求物體下落的數(shù)率 v 與時(shí)間 t 的關(guān)系 ,再求物體下落距離與時(shí)間t

23、的關(guān)系解： .物體重力為 wmg , 阻力為 Rkv , 其中 g 是重力加速度 , k 是比例系數(shù) .m dvmgkvdvk vgv |t0由牛頓第二定律得dt,從而得線性方程dtm,0mk dtmkmkmv edttC gedt C g Ce m將 v |t 00 代入通解得gk,km g(1k2ktm gtm2ve mt ), 再積分得Sge mC1kkk,將 S |t 00 代入求得 C1m2gk 2m gt2ktSm2 g(e m1)kk489. 如圖 ,位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于x 軸上 A(1,0) 點(diǎn)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷, 魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦 ,設(shè)敵艦以常數(shù)v0沿平行與y軸的直線行

24、馳 ,又設(shè)魚雷的速度為2v0, 求魚雷的航行曲線方程 .解：設(shè)魚雷的航行曲線方程為yy(x) , 在時(shí)刻 t , 魚雷的坐標(biāo)巍巍 P( x, y) , 敵艦的坐標(biāo)為 Q(1,v0t ) .v0tyx2 dx2v0 t因魚雷始終對(duì)準(zhǔn)敵艦, 故yx,又弧 OP的長(zhǎng)度為1 y10,從以上兩式消去 v0 t(1x) yy11 y 2y(1 x) y 11 y2得2, 即2根據(jù)題意 , 初始條件為 y(0) 0 ,y( 0)0(1x) p11p 2令 y p , 原方程化為2, 它是可分離變量得方程,解得 p 1 p21C1 (1 x) 2, 即 y 1 y21C1 (1 x) 21 y21將 y (0

25、)0 代入上式得 C11,故 y(1x) 211y2y(1 x)112y1(11而 y 1y2(1 x) 2x) 2, 得213y(1 x) 21 (1 x) 2C 2將 y( 0)0 代入上式得C 22積分得3,3 ,y(111 (132x) 2x) 2所以魚雷的航行曲線為33dLL )L 與廣告支出 x 有如下關(guān)系k( A490根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知 ,某產(chǎn)品的純利潤(rùn)dx，（其中k0, A0 ）,若不做廣告 ,即 x0 時(shí)純利潤(rùn)為 L0 , 且 0L0A , 試求純利潤(rùn) L 與廣告費(fèi) x 之間的函數(shù)關(guān)系 .dLk ( A L)L |x0 L0 , 解可分離變量得微分方程解：依題意得dx, 得通解LACe kx ,將 L |x 0L0 代入通解 , 得 CL0 A ,所以純利潤(rùn) L 與廣告費(fèi) x 之間的函數(shù)關(guān)系為 L( x)A( LA)e kx .491在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中, 知道某地區(qū)的國(guó)民收入y , 國(guó)民儲(chǔ)蓄 S 和投資 I 均是時(shí)間 t 的函數(shù) , 且1dy1在任一時(shí)刻 t , 儲(chǔ)蓄 S(t ) 為國(guó)民收入y(t) 的 10 , 投資額 I (t) 是國(guó)