2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(湖南卷)數(shù)學(xué)試題(文科)(解析版)

1、2011 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（文）試題解析本試題包括選擇題、填空題和解答題三部分，共6 頁時(shí)量120 分鐘，滿分150 分參考公式（ 1）柱體體積公式VSh，其中 S 為底面面積， h 為高2V4RR 為球的半徑（ ）球的體積公式3 ，其中3一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1U MN 1,2,3,4,5, MCU N 2,4,則 N （）設(shè)全集A 1,2,3B 1,3,5 1,4,5 2,3,4答案： B解析：畫出韋恩圖，可知N1,3,5 。2若 a, bR, i 為虛數(shù)單位，且(ai)ib

2、 i ，則（） a 1,b1 a1,b1 a 1,b1 a1,b1答案： C解析：因 (a i )i1 aibi ，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件可知a 1,b1 。3 x 1是 | x |1的（）A 充分不必要條件必要不充分條件3C充分必要條件D 既不充分又不必要條件答案： A解析：因 x1|x | 1 ，反之2| x | 1 x1或 x1 ，不一定有 x1 。4設(shè)圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（3）A 942 3618正視圖側(cè)視圖 91291822答案： D解析：有三視圖可知該幾何體是一個(gè)長方體和球構(gòu)成的組合體，4332=9其體積 V（）+3318 。俯視圖322圖 15通過隨機(jī)詢問110

3、名不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好402060不愛好203050總計(jì)6050110n(adbc)211022算得, K2(40 30 20 30)由 Kd )( a c)(b7.8(a b)(cd )60 50 60 50附表：P(K 2k )0 0500 0100 001k3 8416 63510 828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A. 有 99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B. 有 99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”C. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 0 1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”D. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過 01%的前提下，認(rèn)

4、為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”答案： A解析：由 K226.635) 0.010 ，故由獨(dú)立性檢驗(yàn)的意義可知選 A.7.8 6.635，而 P( Kx2y20, 則 a 的值為（）6設(shè)雙曲線1(a 0) 的漸近線方程為 3x 2 ya29A4 B3 C2D 1答案： C解析：由雙曲線方程可知漸近線方程為y3 x ，故可知 a 2 。a7曲線 ysin x1在點(diǎn) M(,0) 處的切線的斜率為（）sin xcos x 241B1C2D 2A 2222答案： B解析： ycos x(sin xcos x)sin x(cos xsin x)1，所以(sin xcos x)2(sin xcos x)2y|

5、11 。x(sincos)224448已知函數(shù) f (x)ex1, g(x)x24x3, 若有 f (a)g(b), 則 b 的取值范圍為（）A 22,22B (22,22)C 1,3D(1,3)答案： B解析： 由題可知)x1122fxe，g( x)x4x3( x 2) 1 1f (a)g(b),則(，若有g(shù)(b) (1,1 ，即b24b31，解得 22b 22 。二、填空題：本大題共8 小題，考生作答7 小題，每小題解分，共青團(tuán)員5 分，把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上（一）選做題（請(qǐng)考生在第9，10 兩題中任選一題作答，如果全做，則按前一題記分）x2cos9在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲

6、線 C1 的參數(shù)方程為( 為參數(shù) ) 在極坐標(biāo)系（與直角y3 sin坐標(biāo)系 xOy 取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O 為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C2 的方程為(cossin)1 0, 則 C1 與 C2 的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為答案： 2解析：曲線 C1: x2y21，曲線 C2 : xy 1 0 ，聯(lián)立方程消 y 得 7x28y 80 ，易得0 ，43故有 2 個(gè)交點(diǎn)。10已知某試驗(yàn)范圍為 10， 90 ，若用分?jǐn)?shù)法進(jìn)行 4次優(yōu)選試驗(yàn)，則第二次試點(diǎn)可以是開始答案： 40 或 60（只填一個(gè)也正確）解析：有區(qū)間長度為 80，可以將其等分8 段，利用分?jǐn)?shù)法選取試點(diǎn)：x15輸入 x1, x2 , x3

7、, x410(90 10) 60 ，8x210906040 ，由對(duì)稱性可知，第二次試點(diǎn)可以是 40 或 60。i 1, x 0(二 )必做題（ 11-16題）x x xi11若執(zhí)行如圖 2 所示的框圖，輸入i i 1x1 1, x2 2, x34, x4 8,則輸出的數(shù)等于答案：154i4?是解析：由框圖功能可知，輸出的數(shù)等于xx1 x2 x3 x415 。4412已知f ( x) 為奇函數(shù)，g( x) f ( x)9, g ( 2)3,則 f (2)答案： 6解析： g ( 2)f ( 2)9 3,則f (2)6 ，又 f (x) 為奇函數(shù)，所以f (2)f (2)6 。否xx4輸出 x結(jié)束

8、圖 213設(shè)向量a,b滿足| a |2 5, b (2,1),ab的方向相反，則a 的坐標(biāo)為且 與答案： ( 4, 2)解析：由題 | b |22 15 ，所以 a2b( 4, 2).yx14設(shè) m 1, 在約束條件ymx 下，目標(biāo)函數(shù)zx 5 y 的最大值為 4，則 m 的值為xy 1答案： 3解析：畫出可行域，可知z x5 y 在點(diǎn) (1,m) 取最大值為4，解得 m 3 。1m 1 m15已知圓 C : x2y212, 直線 l : 4x3y25.（1）圓 C 的圓心到直線l 的距離為(2) 圓 C 上任意一點(diǎn)A 到直線 l 的距離小于2 的概率為答案： 5， 16解析：（ 1）由點(diǎn)到直

9、線的距離公式可得255 ；d3242（2）由（ 1）可知圓心到直線的距離為5，要使圓上點(diǎn)到直線的距離小于2，即 l1 : 4x3y 15 與圓相交所得劣弧上， 由半徑為 2 3 ，圓心到直線的距離為3 可知劣弧所對(duì)圓心角為，故所求概率3為P31.2616、給定 kN * ，設(shè)函數(shù) f : N *N *滿足：對(duì)于任意大于k 的正整數(shù) n ， f (n) nk（1）設(shè) k1 ，則其中一個(gè)函數(shù) f 在 n1 處的函數(shù)值為；（2）設(shè) k4 ，且當(dāng) n 4 時(shí)， 2f (n)3 ，則不同的函數(shù)f 的個(gè)數(shù)為。答案：（ 1） a(a為正整數(shù) ) ，（ 2） 16解析：（ 1）由題可知 f (n)N * ，而

10、 k1時(shí)， n 1則 f (n)n 1N * ，故只須 f (1)N* ，故f (1) a(a為正整數(shù) ) 。（2）由題可知 k 4 ， n 4則 f ( n)n4 N * ，而 n 4時(shí)， 2f (n)3 即 f (n)2,3 ，即n 1,2,3,4， f (n) 2,3，由乘法原理可知，不同的函數(shù)f 的個(gè)數(shù)為 2416 。三、解答題：本大題共6 小題，共75 分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（本小題滿分 12 分）在ABC 中，角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為a, b, c 且滿足 c sin A a cosC.（I ）求角 C 的大??；（II ）求3sin A cos(B

11、) 的最大值，并求取得最大值時(shí)角A, B 的大小4解析：（ I ）由正弦定理得 sin C sin Asin A cosC.因?yàn)?0A, 所以 sin A 0.從而 sin CcosC .又 cosC0, 所以 tan C1,則 C4（II ）由（ I）知 B3A. 于是43sin Acos(B)3sin Acos( A)43sin Acos A2sin( A).60 A3,A11,從而當(dāng) A62,即 A時(shí),4661232sin( A6) 取最大值 25 .綜上所述，3 sin Acos(B) 的最大值為2，此時(shí) A, B431218（本題滿分12 分）某河流上的一座水力發(fā)電站，每年六月份的發(fā)

12、電量雨量 X （單位：毫米）有關(guān)據(jù)統(tǒng)計(jì)，當(dāng)X=70Y （單位：萬千瓦時(shí)）與該河上游在六月份的降時(shí)， Y=460 ； X 每增加 10， Y 增加 5；已知近20 年X 的值為： 140，110， 160， 70，200，160， 140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160， 220，140， 160（ I ）完成如下的頻率分布表：近 20 年六月份降雨量頻率分布表降雨量70110140160200220142頻率202020（ II ）假定今年六月份的降雨量與近20 年六月份的降雨量的分布規(guī)律相同，并將頻率視為概率，求今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低

13、于490（萬千瓦時(shí)）或超過 530（萬千瓦時(shí)）的概率解：（I）在所給數(shù)據(jù)中，降雨量為110 毫米的有3 個(gè)，為 160 毫米的有7 個(gè)，為 200 毫米的有3 個(gè)，故近 20 年六月份降雨量頻率分布表為降雨量70110140160200220134732頻率202020202020P( 發(fā)電量低于 490萬千瓦時(shí)或超過 530萬千瓦時(shí) )（ II ） =P(Y530)=P(X210)= 132320202010490（萬千瓦時(shí)） 或超過 530故今年六月份該水力發(fā)電站的發(fā)電量低于（萬千瓦時(shí)）的概率為3 101912分）如圖3，在圓錐 PO 中，已知PO2,O的（本題滿分直徑 AB2,點(diǎn)C在 A

14、B上, 且 CAB=30, D為AC 的中點(diǎn)（ I ）證明： AC 平面 POD;（ II ）求直線和平面 PAC 所成角的正弦值解析：（ I ）因?yàn)?OAOC, D是AC的中點(diǎn) , 所以 ACOD.又PO底面 O, AC底面O, 所以 ACOD. PO是平面POD 內(nèi)的兩條相交直線，所以AC平面 POD;（II ）由（ I）知， AC平面 POD, 又 AC平面 PAC, 所以平面POD平面 PAC, 在平面 POD 中，過 O 作 OHPD于H,則OH 平面 PAC, 連結(jié) CH ，則 CH 是 OC在平面 PAC 上的射影，所以O(shè)CH 是直線 OC 和平面 PAC 所成的角PO OD21

15、2在中2Rt POD , OHPO2OD 21324在 RtOH2OHC中,sin OCHOC320（本題滿分 13 分）某企業(yè)在第 1 年初購買一臺(tái)價(jià)值為120 萬元的設(shè)備 M ，M 的價(jià)值在使用過程中逐年減少，從第2 年到第6 年，每年初 M 的價(jià)值比上年初減少10 萬元；從第7 年開始，每年初M 的價(jià)值為上年初的 75%（I ）求第 n 年初 M 的價(jià)值 an 的表達(dá)式；（II ）設(shè) Ana1a2an, 若 An 大于 80 萬元，則 M 繼續(xù)使用，否則須在第n 年初對(duì) M 更新，n證明：須在第9 年初對(duì) M 更新解析：（ I ）當(dāng) n6 時(shí)，數(shù)列 an 是首項(xiàng)為 120，公差為10 的

16、等差數(shù)列an120 10(n1) 130 10n;當(dāng) n 6 時(shí)，數(shù)列 an 是以 a6 為首項(xiàng)，公比為3 為等比數(shù)列，又a670 ，所以70 ( 3 )n4an6 ;4因此，第 n 年初， M 的價(jià)值 a120 10(n 1)13010 n, n6的表達(dá)式為 a3n 6nnan70), n 7(4(II) 設(shè) Sn 表示數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得當(dāng) 1n 6時(shí)，Sn1205 (1),An1205(n1)1255;nn nnSnS6(a7a8an )57070341(3)n 6 780 210 (3)n 6當(dāng) n7 時(shí)，210 (3 )n 6444780An4.n

17、因?yàn)?an 是遞減數(shù)列，所以 An 是遞減數(shù)列，又780210 (3)8682 47780210(3)9 676 79A88480, A99480,6496所以須在第9 年初對(duì) M 更新已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn) （1，0）的距離與點(diǎn) P 到y(tǒng)軸的距離的等等于21F1（I ）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；（II ）過點(diǎn) F 作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1, l2 ，設(shè) l1 與軌跡 C 相交于點(diǎn) A, B ， l2 與軌跡 C 相交于點(diǎn) D,E ，求 ADEB 的最小值解析：（ I ）設(shè)動(dòng)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x, y) ，由題意為( x 1)2y2| x | 1.化簡得 y22x2 | x

18、 |,當(dāng) x 0時(shí), y 24x;當(dāng) x0時(shí),y=0. 、所以動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程為 , y 24x( x0)和y=0( x0).（II ）由題意知，直線l1 的斜率存在且不為0，設(shè)為 k ，則 l1 的方程為 y k (x1) yk( x 1)，得 k2x2(2 k24)x k 20.由24xy設(shè) A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), 則 x1 , x2 是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x2 242 , x1 x2 1k因?yàn)?l1l21，所以 l2 的斜率為k設(shè) D( x3 , y3 ), B(x4 , y4 ), 則同理可得 x3 x4 2 4k 2 , x3 x4

19、1 AD EB ( AF FD) (EF FB)AF EFAF FBFD EFFD FB|AF|FB|FD|EF|故 (x1 1)(x21) ( x31)(x41)1 (242 ) 1 1 (2 4k2 ) 1k8 4(k2142 k2116k2 ) 8k2當(dāng)且僅當(dāng) k 21即 k1時(shí)， ADEB 取最小值 16k 222（本小題 13 分）設(shè)函數(shù)f ( x)x1R).a ln x(a(I) 討論 f ( x) 的單調(diào)性；x（II ）若 f (x) 有兩個(gè)極值點(diǎn)x 和 x，記過點(diǎn) A(x , f ( x ), B( x , f ( x ) 的直線的斜率為k ，問：是121122否存在 a，使得 k 2 a ?若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由解